第23章 旋转 单元测试题 2021—2022学年人教版数学九年级上册（word版含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学上册 第二十三章 旋转 单元测试题
一、选择题（30分）
1．下列图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，D，E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3-3 D．3
5．△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝4，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于（ ）
A．4 B． C．2 D．
6．如图，在中，，D为内一点，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接，交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
8．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
9．在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形按如图所示的位置放置，然后绕原点逆时针旋转到的位置，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将正方形绕点逆时针旋转得到．如果，点与的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（15分）
11．如图，绕点A顺时针旋转得到，若，则图中阴影部分的面积等于________．
12．如图，是由ABC旋转而成，连接A、B交点为F，若∠ABC=90°，∠BFA=25°，则∠BAC=________．
13．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是___．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′B C′，其中点A，C的对应点分别为点连接，直线交于点D，点E为AC的中点，连接DE．则DE的最小值为_________
15．如图，Rt△OAB的斜边OA在y轴上，∠AOB＝30°，OA＝2；将Rt△AOB绕原点顺时针旋转60°，则A的对应点A1的坐标为 ___．
三、解答题（75分）
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P．
（1）求线段AC的长；
（2）求线段DP的长．
17．如图1，在ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D是ABC内部一点，∠ADC＝135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE．
（1）求∠CDE的度数，并说明A、D、E三点是否共线；
（2）在（1）的条件下，连接BE，如图2，过点C作CM⊥DE于点M，请判断线段AE，CM和BE之间的数量关系，并说明理由．
18．（1）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A顺时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．
①如图①，若M在线段BC上，且∠MAC＝20°，MC＝2，则∠NAB＝_____，NB＝_____；
②如图②，点E是AB延长线上的一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，求证：NB=MC；
（2）如图③，在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝60°，∠BAC＝75°，P是BC上的任意一点，连接AP，将AP绕点A顺时针旋转75°，得到线段AQ，连接BQ．求线段BQ长度的最小值．
19．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2；
（2）若点P，Q，C恰好在同一条直线上，求证：BP＝AB　．
20．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB．
（1）证明：AHB≌AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数．
21．如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝6，AE＝3．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）．
（1）当正方形AEFG旋转到如图（2）的位置时，求证：BE＝DG；
（2）BE的延长线交直线DG于点Q，当BF＝BC时，
①求证：直线BE是AF的垂直平分线；
②求线段DG的长．
22．如图，等腰Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AB绕点A旋转，得直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接AE，CE，CE交直线AP于点F，连接BF．
（1）连接BE，求∠BEC度数．
（2）①如图1，猜想线段FE，FA，FC之间的数量关系，并说明理由；
②当直线AP旋转到如图2位置时，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的结论，不用说明理由；
（3）若AC＝2，当∠BAP＝30°时，求线段CE的长．
23．综合与实践
已知是等腰三角形，．
（1）特殊情形：如图1，当∥时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数．
【参考答案】
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 9．C 10．D
11．
12．75°
13．
14．1
15．
16．解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC＝∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OB＝AB＝1，
∴OA＝OB＝，
∴AC＝2，
（2）由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AC AE＝2 2，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP＝∠EAG＝60°，
∴∠CEP＋∠ACD＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴PE＝CE＝ 1，PC＝PE＝3 ，
∴DP＝CD PC＝2 （3 ）＝ 1．
17．解：（1）∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝45°，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADC+∠CDE＝180°，
∴A、D、E三点共线；
（2）AE＝BE+2CM，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，
∵CD＝CE，∠DCE＝90°，CM⊥DE，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
18．（1）①∵线段AM绕点A顺时针旋转与∠BAC相等的角度，
∴，，
∴，
∴，
∴在△NAB和△MAC中，
，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴；
②证明：∵∠NAM=∠BAC，
∴，
∴∠NAB=∠MAC，
在△NAB和△MAC中，
，
∴△NAB≌△MAC（SAS），
∴NB=CM，
（2）如图：在AC上取一点E，使AE=AB=8，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，过A作AD⊥BC于D,
∵∠PAQ=∠CAB，
∴∠CAP=∠BAQ，
在△BAQ和△EAP中，
，
∴△BAQ≌△EAP（SAS），
∴BQ=EP，
要使BQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，
∴当EP⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，BQ最小，最小值为EF，
∵AB=8，∠ABC=60°，
∴，
∴BD=，AD=，
∵∠BAC=75°，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴AC，
∴EC，
又∵∠C=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴EF=，
故线段BQ长度最小值是．
19．解：（1）连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1+∠DAP=∠2+∠DAP=90°。
∴∠1＝∠2，
∴△ADQ≌△ABP（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝AB2+AD2=2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2；
（2）结论：BP＝AB．
理由：如图3中，连接AC，延长CD到N，使得DN＝CD，连接AN，QN．
∵AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∴∠AQP=∠APQ=45°，
∵ND=CD，AD⊥NC，
∴AN=AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ANC=∠CAN=45°，
∴∠NAC=90°，
∴∠NAQ+∠QAC=∠QAC+∠PAC=90°，
∴∠NAQ=∠CAP，
又∵AN=AC，AQ=AP，
∴△ANQ≌△ACP（SAS），
同（1）可知△ADQ≌△ABP，
∴DQ＝PB，∠AQN＝∠APC＝45°，
∵∠AQP＝45°，
∴∠NQC＝90°，
∵CD＝DN，
∴D是CN的中点，
∴DQ＝CD＝DN＝AB，
∴PB＝AB．
20．（1）证明：如图1，
由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH=∠CAG，
∵AB=AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°，
∵∠EAH=∠FAG，AH=AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG=∠AEH=45°，
∴∠HFG=45°+45°=90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ=QG时，
∵AQ=QG，
∴∠QAG=∠AGQ，
∵AG⊥AH且AG=AH，
∴∠AHG=∠AGH=45°，
∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°，
∴∠EAH=∠FAH=45°，
∵AE=AF，AH=AH，
∴△AEH≌△AFH（SAS），
∴∠AHE=∠AHF，
∵∠AHE+∠AHF=180°，
∴∠AHE=∠AHF=90°；
ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG，
∵∠AEH=∠AGQ=45°，
∴∠GAQ=∠AQG==67.5°，
∵∠EAQ=∠HAG=90°，
∴∠EAH=∠GAQ=67.5°，
∴∠AHE=∠AQG=67.5°；
∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），
∴不存在AG=AQ的情况．
综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°．
21．（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，∠DAG+∠EAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；
（2）①在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴AB=BC，AE=EF，
∵BF=BC，
∴BF=BA，
∴直线BE是AF的垂直平分线；
②∵直线BE是AF的垂直平分线，
∴QF=QA，
∵正方形AEFG中，
∴GF=GA，
∴点G与点Q重合，
正方形AEFG中，AE=3．
∴OA=OE=3，
在Rt△BOA中，,即,
∴OB=3，
由（1）得BE=DG，
∴DG=BE=OB-OE=．
22．解：（1）如图，设AB交CE于点O，
∵点B关于直线AP的对称点为E，
∴AE=AB，∠E=∠ABF，∠AFE=∠AFB，EF=BF，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∴∠ABF=∠ACE，
∵∠AOC=∠BOF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BFO=∠BFE=∠OAC=90°，
∴ ；
（2）①，理由如下：
如图，过点A作AT⊥AF交EC于点T，设AB交CE于点O，
由（1）得：∠BFO=∠OAC=90°，
∴ ，
∴∠AFT=∠AFB-∠BFO=45°，
∵AT⊥AF，
∴∠FAT=90°，
∴∠ATF=45°，
∴∠AFT=∠ATF，
∴AF=AT，
∵ ，
∴ ，
∵∠BAC=∠FAT=90°，
∴∠FAB=∠TAC，
在△FAB和△TAC中，
∵AF=AT，∠FAB=∠TAC，AB=AC，
∴△FAB≌△TAC（SAS），
∴BF=CT，
∵EF=BF，
∴EF=CT，
∴CF-EF=CF-CT=FT= ，
即 ；
②（1）中结论不成立，，理由如下：
如图，过点A作AH⊥AF交EC于点H，设AB交CE于点O，
∵点B关于直线AP的对称点为E，
∴AE=AB，∠E=∠ABF，∠AFE=∠AFB，EF=BF，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴∠E=∠ACE，
∴∠ABF=∠ACE，
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BFC=∠OAB=90°，
∴ ，
∵AH⊥AF，
∴∠FAH=90°，
∴∠AHF=∠AFH=45°，
∴AF=AH，
∵ ，
∴ ，
∵∠BAC=∠FAH=90°，
∴∠FAB=∠HAC，
在△FAB和△HAC中，
∵AF=AH，∠FAB=∠HAC，AB=AC，
∴△FAB≌△HAC（SAS），
∴BF=CH，
∵EF=BF，
∴EF=CH，
∴ ，
即 ；
（3）如图，过点C作CR⊥AE交EA的延长线于点R，
∵∠PAB=∠PAE=30°，
∴∠BAE=60°，
∴∠CAE=∠CAB+∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠CAR=180°-150°=30°，
∵CR⊥AR，AC＝2，
∴ ，
∴ ，
由（1）知：AE=AC=2，
∴ ，
∴ ，
如图，过点C作CS⊥AE交EA的延长线于点S，
∵∠PAB=∠PAE=30°，∠BAC=90°，
∴∠CAE=90°-30°-30°=30°，
∵AE=AAC=2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，EC的长为 或．
23．解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴DB=EC，
故答案为：=；
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE；
（3）如图，
将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE，
∴△APB≌△AEC，
∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=2，
在△PEC中，PE2=（2）2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，
∵PE2+CE2=PA2，
∴△PEC是直角三角形，
∴∠PEC=90°，
∴∠AEC=135°，
又∵△APB≌△AEC，
∴∠BPA=∠CEA=135°