江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷(Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章相似单元测试卷(Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 601.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 21:16:26 | ||
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文档简介
人教新版九年级下册《第27章 相似》2021年单元测试卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）
一．选择题（共11小题）
1．若2y﹣3x＝0，则x：y的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若l1∥l2∥l3，且＝，则正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（ ）
A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
7．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（ ）
A．8.4米 B．9.6米 C．11.2米 D．12.4米
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
10．如图的各组图形中，相似的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）
11．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
二．填空题（共6小题）
12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是 ．
13．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ ．
15．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 ．
16．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．
17．已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为 ．
三．解答题（共7小题）
18．在△ABC中，已知边BC＝12，该边上的高线AD＝8，同样大小的两个正方形FMNG与EFGH按如图所示方式叠放，其中顶点M、N在BC边上，E、H分别在AB、AC上，求正方形的边长．
19．如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在图甲中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的周长是△ABC的周长的2倍；
（2）在图乙中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2的面积是△ABC的面积的2倍．
20．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF EF．
21．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且EF⊥FG于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．
22．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AE CE＝BE DE；
（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．
23．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝15时，△PEF的面积；
（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
24．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
人教新版九年级下册《第27章 相似》2021年单元测试卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．若2y﹣3x＝0，则x：y的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等式的性质，可得2y＝3x，根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2y＝3x．
两边都除以3y，得
x：y＝2：3，
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．
2．如图，若l1∥l2∥l3，且＝，则正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，且＝，
∴＝，
∴＝；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
3．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．
4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【解答】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
5．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（ ）
A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
【分析】根据∠CDB＝∠DBA，∠C＝∠BDA＝90°，可判定△CDB∽△DBA，利用对应边成比例，即可判断各选项．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠DBA，
又∵∠C＝∠BDA＝90°，
∴△CDB∽△DBA，
∴＝＝，即＝＝，
A、b2＝ac，成立，故本选项正确；
B、b2＝ac，不是b2＝ce，故本选项错误；
C、be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；
D、bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△CDB∽△DBA，注意掌握相似三角形的对应边成比例．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【分析】根据平行四边形性质得出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，推出△DEF∽△BAF，求出＝（）2＝，＝＝，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出＝＝＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（ ）
A．8.4米 B．9.6米 C．11.2米 D．12.4米
【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，
∵FG∥EH，
∴，＝
解得：EH＝9.6，
∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）
答：电视塔的高ED是11.2米，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
【分析】由OA：OC＝OB：OD，利用两边对应成比例，夹角相等，可以证得两三角形相似，①与③相似，问题可求．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD，
∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴①与③相似．
故选：B．
【点评】本题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题．
10．如图的各组图形中，相似的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，各选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：（1）对应边的比相等，但对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；
（2）形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
（3）对应角相等的两个菱形相似，正确；
（4）对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．
故（2）（3）（4）正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
11．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是 ．
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得＝（）2＝，可求＝，通过证明△BDE∽△BAC，可得＝，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
13．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝ 1或4或2.5 时，△ADP与△BCP相似．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝1或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，
，即，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ 4或6 ．
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故＝＝，
则＝，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
15．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 7 ．
【分析】先根据边长为9，BD＝3，求出CD的长度，然后根据∠ADE＝60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；
∴CD＝BC﹣BD＝9﹣3＝6；
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
则＝，
即＝，
解得：CE＝2，
故AE＝AC﹣CE＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
16．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 1.4m ．
【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，＝，
即＝，
解得h＝1.4m．
故答案为：1.4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，熟记性质并列出比例式是解题的关键．
17．已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为 3：4 ．
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵正方形ABCD∽正方形EFGH，面积比为9：16，
∴两个正方形边长的相似比为：3：4，
故答案为：3：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
18．在△ABC中，已知边BC＝12，该边上的高线AD＝8，同样大小的两个正方形FMNG与EFGH按如图所示方式叠放，其中顶点M、N在BC边上，E、H分别在AB、AC上，求正方形的边长．
【分析】根据正方形的性质得到EH∥BC，得到△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：设正方形EFGH的边长HG＝x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
解得，x＝3，
答：正方形的边长为3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在图甲中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的周长是△ABC的周长的2倍；
（2）在图乙中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2的面积是△ABC的面积的2倍．
【分析】（1）直接利用相似三角形的周长关系得出相似比为：1：2，进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的面积关系得出相似比：1：，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．
20．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF EF．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得＝，＝，利用等量代换得到＝，然后根据比例的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，
即CF2＝GF EF．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
21．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且EF⊥FG于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．
【分析】（1）证明∠BEF＝∠CFG，结合∠B＝∠C＝90°可证得△BEF∽△CFG；
（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．
【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，EF⊥FG于F，
∴∠B＝∠C＝∠EFG＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△BEF∽△CFG；
（2）解：∵△BEF∽△CFG，
∴，
∴．
【点评】本题考查了正方形的性质与相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AE CE＝BE DE；
（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠A＝∠B，∠D＝∠C，证明△ADE∽△BCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理得到答案；
（2）把已知数据代入（1）中结论，计算即可．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝，
∴AE CE＝BE DE；
（2）解：由（1）得，AE CE＝BE DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），
解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆周角定理、相似三角形判定定理与性质定理是解题关键．
23．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝15时，△PEF的面积；
（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【分析】（1）先根据A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30）得出OA及OB的长，再由EF∥x轴得出EF是△BOA的中位线，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）用t表示出OE及OP的长，再分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），
∴OA＝40，OB＝30．
∵动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴t＝15时，BE＝30﹣15＝15，
∵EF∥x轴，
∴EF是△BOA的中位线，
∴EF＝OA＝20，
∴S△PEF＝EF OE＝×20×15＝150；
（2）∵动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴OE＝t，OP＝40﹣2t，
∴当△EOP∽△BOA时，＝，即＝，解得t＝12（秒）；
当△EOP∽△AOB时，＝，即＝．解得t＝（秒）．
综上所述，当t＝12秒或t＝秒时，△EOP与△BOA相似．
【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到三角形中位线定理、三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．
24．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
【分析】（1）根据∠DEP＝∠GPC，∠D＝∠C＝90°，判定△DEP∽△CPG即可；
（2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得DP：GC＝3：5，再设PD＝3x，得出CG＝5x，PC＝5﹣3x，DE＝PC＝3﹣x，EP＝2+x，最后在Rt△DEP中，根据勾股定理，列出关于x的方程进行求解即可；
（3）根据两角对应相等，判定△BEP∽△CPF，再设EP＝3x，FP＝5x，得出FC＝5﹣5x，EB＝5﹣3x，BP＝CF＝3﹣3x，PC＝2+3x，最后根据相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）△DEP∽△CPG．
∵∠EPG＝90°，
∴∠EPD+∠GPC＝90°，∠EPD+∠DEP＝90°，
∴∠DEP＝∠GPC，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DEP∽△CPG；
（2）∵△DEP∽△CPG，
∴S△DEP：S△CPG＝9：25，
∴DP：GC＝3：5，
设PD＝3x，则CG＝5x，PC＝5﹣3x，DE＝PC＝3﹣x，
∴EP＝2+x，
∴Rt△DEP中，（3﹣x）2+（3x）2＝（2+x）2，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∴DP＝3x＝1，
即当DP＝1时，△DEP与△CPG面积的比是9：25；
（3）由题可得，∠B＝∠C＝∠EPF＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝∠CPF+∠BPE＝120°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BEP∽△CPF，
设EP＝3x，FP＝5x，则FC＝5﹣5x，EB＝5﹣3x，BP＝CF＝3﹣3x，
∴PC＝2+3x，
∴＝＝，
解得x＝，
∴PC＝2+3x＝．
即当PC＝时，△BEP与△CPF面积的比是9：25．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．解决问题的关键是运用方程思想进行求解．
2021/11/29 13:52:17；
一．选择题（共11小题）
1．若2y﹣3x＝0，则x：y的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，若l1∥l2∥l3，且＝，则正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（ ）
A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
7．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（ ）
A．8.4米 B．9.6米 C．11.2米 D．12.4米
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
10．如图的各组图形中，相似的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）
11．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
二．填空题（共6小题）
12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是 ．
13．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ ．
15．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 ．
16．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．
17．已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为 ．
三．解答题（共7小题）
18．在△ABC中，已知边BC＝12，该边上的高线AD＝8，同样大小的两个正方形FMNG与EFGH按如图所示方式叠放，其中顶点M、N在BC边上，E、H分别在AB、AC上，求正方形的边长．
19．如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在图甲中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的周长是△ABC的周长的2倍；
（2）在图乙中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2的面积是△ABC的面积的2倍．
20．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF EF．
21．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且EF⊥FG于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．
22．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AE CE＝BE DE；
（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．
23．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝15时，△PEF的面积；
（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
24．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
人教新版九年级下册《第27章 相似》2021年单元测试卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．若2y﹣3x＝0，则x：y的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等式的性质，可得2y＝3x，根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2y＝3x．
两边都除以3y，得
x：y＝2：3，
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．
2．如图，若l1∥l2∥l3，且＝，则正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，且＝，
∴＝，
∴＝；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
3．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．
4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【解答】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
5．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（ ）
A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
【分析】根据∠CDB＝∠DBA，∠C＝∠BDA＝90°，可判定△CDB∽△DBA，利用对应边成比例，即可判断各选项．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠DBA，
又∵∠C＝∠BDA＝90°，
∴△CDB∽△DBA，
∴＝＝，即＝＝，
A、b2＝ac，成立，故本选项正确；
B、b2＝ac，不是b2＝ce，故本选项错误；
C、be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；
D、bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△CDB∽△DBA，注意掌握相似三角形的对应边成比例．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【分析】根据平行四边形性质得出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，推出△DEF∽△BAF，求出＝（）2＝，＝＝，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出＝＝＝，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（ ）
A．8.4米 B．9.6米 C．11.2米 D．12.4米
【分析】作AH⊥ED交FC于点G，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，
∵FG∥EH，
∴，＝
解得：EH＝9.6，
∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）
答：电视塔的高ED是11.2米，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似 C．①与④相似 D．②与④相似
【分析】由OA：OC＝OB：OD，利用两边对应成比例，夹角相等，可以证得两三角形相似，①与③相似，问题可求．
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD，
∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴①与③相似．
故选：B．
【点评】本题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题．
10．如图的各组图形中，相似的是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，各选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：（1）对应边的比相等，但对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；
（2）形状相同，但大小不同，符合相似定义，故正确；
（3）对应角相等的两个菱形相似，正确；
（4）对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．
故（2）（3）（4）正确，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
11．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．87° B．60° C．75° D．120°
【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是 ．
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得＝（）2＝，可求＝，通过证明△BDE∽△BAC，可得＝，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．
13．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝ 1或4或2.5 时，△ADP与△BCP相似．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝1或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，
，即，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝ 4或6 ．
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM＝∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故＝＝，
则＝，
解得：MN＝4，
如图2所示：当∠ANM＝∠B时，
又∵∠A＝∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：MN＝6，
故答案为：4或6．
【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
15．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为 7 ．
【分析】先根据边长为9，BD＝3，求出CD的长度，然后根据∠ADE＝60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；
∴CD＝BC﹣BD＝9﹣3＝6；
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
则＝，
即＝，
解得：CE＝2，
故AE＝AC﹣CE＝9﹣2＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
16．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 1.4m ．
【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，＝，
即＝，
解得h＝1.4m．
故答案为：1.4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，熟记性质并列出比例式是解题的关键．
17．已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为 3：4 ．
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵正方形ABCD∽正方形EFGH，面积比为9：16，
∴两个正方形边长的相似比为：3：4，
故答案为：3：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
18．在△ABC中，已知边BC＝12，该边上的高线AD＝8，同样大小的两个正方形FMNG与EFGH按如图所示方式叠放，其中顶点M、N在BC边上，E、H分别在AB、AC上，求正方形的边长．
【分析】根据正方形的性质得到EH∥BC，得到△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：设正方形EFGH的边长HG＝x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
解得，x＝3，
答：正方形的边长为3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．如图，△ABC是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似．
（1）在图甲中画△A1B1C1，使得△A1B1C1的周长是△ABC的周长的2倍；
（2）在图乙中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2的面积是△ABC的面积的2倍．
【分析】（1）直接利用相似三角形的周长关系得出相似比为：1：2，进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的面积关系得出相似比：1：，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．
20．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2＝GF EF．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得＝，＝，利用等量代换得到＝，然后根据比例的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，
即CF2＝GF EF．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
21．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且EF⊥FG于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB＝12，AE＝3，CF＝4，求CG的长．
【分析】（1）证明∠BEF＝∠CFG，结合∠B＝∠C＝90°可证得△BEF∽△CFG；
（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．
【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，EF⊥FG于F，
∴∠B＝∠C＝∠EFG＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△BEF∽△CFG；
（2）解：∵△BEF∽△CFG，
∴，
∴．
【点评】本题考查了正方形的性质与相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
22．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．
（1）求证：AE CE＝BE DE；
（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠A＝∠B，∠D＝∠C，证明△ADE∽△BCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理得到答案；
（2）把已知数据代入（1）中结论，计算即可．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝，
∴AE CE＝BE DE；
（2）解：由（1）得，AE CE＝BE DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），
解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆周角定理、相似三角形判定定理与性质定理是解题关键．
23．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t＝15时，△PEF的面积；
（2）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【分析】（1）先根据A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30）得出OA及OB的长，再由EF∥x轴得出EF是△BOA的中位线，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）用t表示出OE及OP的长，再分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），
∴OA＝40，OB＝30．
∵动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴t＝15时，BE＝30﹣15＝15，
∵EF∥x轴，
∴EF是△BOA的中位线，
∴EF＝OA＝20，
∴S△PEF＝EF OE＝×20×15＝150；
（2）∵动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴OE＝t，OP＝40﹣2t，
∴当△EOP∽△BOA时，＝，即＝，解得t＝12（秒）；
当△EOP∽△AOB时，＝，即＝．解得t＝（秒）．
综上所述，当t＝12秒或t＝秒时，△EOP与△BOA相似．
【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到三角形中位线定理、三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．
24．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
【分析】（1）根据∠DEP＝∠GPC，∠D＝∠C＝90°，判定△DEP∽△CPG即可；
（2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得DP：GC＝3：5，再设PD＝3x，得出CG＝5x，PC＝5﹣3x，DE＝PC＝3﹣x，EP＝2+x，最后在Rt△DEP中，根据勾股定理，列出关于x的方程进行求解即可；
（3）根据两角对应相等，判定△BEP∽△CPF，再设EP＝3x，FP＝5x，得出FC＝5﹣5x，EB＝5﹣3x，BP＝CF＝3﹣3x，PC＝2+3x，最后根据相似三角形对应边成比例，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）△DEP∽△CPG．
∵∠EPG＝90°，
∴∠EPD+∠GPC＝90°，∠EPD+∠DEP＝90°，
∴∠DEP＝∠GPC，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DEP∽△CPG；
（2）∵△DEP∽△CPG，
∴S△DEP：S△CPG＝9：25，
∴DP：GC＝3：5，
设PD＝3x，则CG＝5x，PC＝5﹣3x，DE＝PC＝3﹣x，
∴EP＝2+x，
∴Rt△DEP中，（3﹣x）2+（3x）2＝（2+x）2，
解得x1＝（舍去），x2＝，
∴DP＝3x＝1，
即当DP＝1时，△DEP与△CPG面积的比是9：25；
（3）由题可得，∠B＝∠C＝∠EPF＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝∠CPF+∠BPE＝120°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BEP∽△CPF，
设EP＝3x，FP＝5x，则FC＝5﹣5x，EB＝5﹣3x，BP＝CF＝3﹣3x，
∴PC＝2+3x，
∴＝＝，
解得x＝，
∴PC＝2+3x＝．
即当PC＝时，△BEP与△CPF面积的比是9：25．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．解决问题的关键是运用方程思想进行求解．
2021/11/29 13:52:17；