广东省潮州市饶平县英才实验中学2020--2021学年人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 广东省潮州市饶平县英才实验中学2020--2021学年人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 843.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 21:39:04 | ||
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文档简介
人教新版九年级下册《27.2 相似三角形》2021年同步练习卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（1）
一．选择题（共12小题）
1．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
2．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（ ）
A．40m B．60m C．120m D．180m
3．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1cm
4．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
5．如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
7．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得△DEF，有下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3；
④△DEF与△ABC的面积比为1：6．
则正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
10．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，则正方形的边长为（ ）
A．280步 B．140步 C．300步 D．150步
11．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
12．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA′：OA＝3：5，四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
二．填空题（共9小题）
13．如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则y轴上OE的长度为 米．
14．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是 ．
15．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D、E，使点A、B、D在一条直线上，且DE∥BC．经测量得BC＝24m，BD＝20m，DE＝40m，则河的宽度AB为 m．
16．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为 m．
17．如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是 cm．
18．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，＝，若AB＝1.5，则DE＝ ．
20．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为 ．
21．以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
22．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
23．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（﹣3，3），以O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的位似比为1：3，并求出四边形OABC的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）计算在（1）中，线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积；
（3）画出△ABC关于原点O的位似图形△A2B2C2，且△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2．
25．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．
26．净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严整，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上）这时测得FG＝6米，GC＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度．
28．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
29．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？
人教新版九年级下册《27.2 相似三角形》2021年同步练习卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得，＝，
解得：x＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
2．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（ ）
A．40m B．60m C．120m D．180m
【分析】先证明△PQR∽△PST，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求PQ．
【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，即＝，
∴PQ＝120（m）．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
3．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD
∴OF⊥CD
∴OE＝12，OF＝2
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD
∵OE，OF分别是它们的高
∴，
∵AB＝6，
∴CD＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
4．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5．如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【分析】根据题意得出△ABP∽△CDP，进而利用相似三角形的性质得出DC的长．
【解答】解：由题意可得：∠APB＝∠CPD，
又∵∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.4m，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
7．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
8．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得△DEF，有下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3；
④△DEF与△ABC的面积比为1：6．
则正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用位似图形的性质以及相似图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，
∴△DEF与△ABC的相似比为：1：3，
∴①△ABC与△DEF是位似图形，正确；
②△ABC与△DEF是相似图形，正确；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3，正确；
④△DEF与△ABC的面积比为1：9，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，正确把握相关定义是解题关键．
9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
10．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，则正方形的边长为（ ）
A．280步 B．140步 C．300步 D．150步
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：设正方形的边长为x步，
∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴＝，
即AM2＝80×245＝19600，
解得：AM＝140，
∴AD＝2AM＝280步；
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
11．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
【分析】设AF＝x，则AC＝3x，利用正方形的性质得EF＝CF＝2x，EF∥BC，再证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到BC＝6x，所以AB＝3x，则3x＝30，解得x＝2，然后用△ABC的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．
【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB＝＝3x，
∴3x＝30，解得x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．
12．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA′：OA＝3：5，四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形ABCD的面积．
【解答】解：
∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA′：OA＝3：5，
∴S四边形A′B′C′D′：S四边形ABCD＝9：25，
∵四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，
∴四边形ABCD的面积＝25cm2，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
二．填空题（共9小题）
13．如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则y轴上OE的长度为 2.5 米．
【分析】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出＝，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可．
【解答】解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N，
∵CD∥EO，
∴△BND∽△BME，
∴＝，
∵点A（﹣10，0），
∴BM＝10米，
∵眼睛距地面1.5米，
∴AB＝CN＝MO＝1.5米，
∵DC＝2米，
∴DN＝2﹣1.5＝0.5米，
∵他的前方5米处有一堵墙DC，
∴BN＝5米，
∴＝，
∴EM＝1米，
∴EO＝1+1.5＝2.5米．
故答案为：2.5．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的应用以及盲区问题等知识，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用已知作出相似三角形进而得出EM的长．
14．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是 2.16 ．
【分析】利用两三角形相似得到＝，然后利用比例性质求b即可．
【解答】解：根据题意得＝，
所以b＝×3.6＝2.16（cm）．
故答案为2.16．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长．
15．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D、E，使点A、B、D在一条直线上，且DE∥BC．经测量得BC＝24m，BD＝20m，DE＝40m，则河的宽度AB为 30 m．
【分析】先证明△ABC∽△ADE，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求AB的长度．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝30（m）．
故答案为：30．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
16．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为 4.6 m．
【分析】作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，易得EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，则AG＝0.9，再证明△EAG∽△EHC，利用相似比计算出CH＝3，然后利用CD＝CH+DH进行计算．
【解答】解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，
则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，
所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
∵AG∥CH，
∴△EAG∽△EHC，
∴＝，即＝，
解得：CH＝3，
∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．
故答案为：4.6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
17．如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是 3 cm．
【分析】利用三角尺上的刻度和相似三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：由题意得：ED∥BA，
∴△ECD∽△BCA，
∴CD：CA＝ED：AB，
即：40：60＝ED：4.5，
解得：ED＝3，
故答案为：3．
【点评】考查了相似三角形的应用的知识，解题的关键是从图形中整理出有关的数据，难度不大．
18．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为 60mm ．
【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故答案为：60mm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，＝，若AB＝1.5，则DE＝ 4.5 ．
【分析】利用位似的性质得＝，然后利用比例的性质计算DE的长．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝3×1.5＝4.5．
故答案为4.5．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
20．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为 3：1 ．
【分析】由位似的定义可得其位似比为3：1，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．
【解答】解：
由题意可知△ABC∽△A′B′C′，
∵AA′＝2OA′，
∴OA＝3OA′，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：3：1．
【点评】本题主要考查位似变换，由位似变换的定义求得相似三角形的相似比是解题的关键．
21．以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为 （12，3）或（﹣12，﹣3） ．
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为，若点C的坐标为（4，1），
∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），
故答案为：（12，3）或（﹣12，﹣3）；
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
三．解答题（共8小题）
22．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
【分析】根据题意得出DE∥BC，于是得到△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：设宽度AB为x米，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40，
∴＝，
解得x＝18，
答：河的宽度为18米．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．
23．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（﹣3，3），以O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的位似比为1：3，并求出四边形OABC的面积．
【分析】利用位似比结合A，B，C点的位置进而得出点A1、B1、C1的位置，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图所示：四边形OA1B1C1、OA2B2C2即为所求；
四边形OABC的面积＝9×6﹣3×6﹣3×6﹣3×3＝31.5．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）计算在（1）中，线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积；
（3）画出△ABC关于原点O的位似图形△A2B2C2，且△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到图形△AB1C1；
（2）设线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积为S，依据S++S△ABC＝+，S△ABC＝，即可得到线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积；
（3）利用位似图形的性质，依据△ABC关于原点O的位似图形为△A2B2C2，且△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2，即可得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）设线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积为S，则
S++S△ABC＝+，
又∵S△ABC＝，
∴S＝﹣＝﹣＝﹣＝；
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换以及位似变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
25．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比，因而作DE⊥AB于点E，则AE与DE的比值，即同一时刻物高与影长的比值，即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E，
根据题意得：＝，
＝，
解得：AE＝8米．
则AB＝AE+BE＝8+2＝10米．
即旗杆的高度为10米．
【点评】同一时刻物高与影长成正比，是在相似部分经常出现的问题，直角梯形的问题可以通过作高线转化为三角形的问题求解．
26．净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严整，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上）这时测得FG＝6米，GC＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出 ＝，列出方程求出CA＝40（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．
【解答】解：∵△EDC∽△EBA，
∴＝，
∵△FHG∽△FBA，
∴＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝40（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝22（米），
答：古塔的高度AB为22米．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度．
【分析】求出△ACD和△FED相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，再求出BC＝DG，然后根据旗杆的高度AB＝AC+BC代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，
∴△ACD∽△FED，
∴，
即，
解得AC＝20，
∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，
∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，
∴四边形BGDC是矩形，
∴BC＝DG＝3，
∴AB＝AC+BC＝20+3＝23米．
答：旗杆AB的高度是23米
【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．
28．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出BN即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，
∴AP＝AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴＝，即＝，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
29．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？
【分析】分别写出BP、BQ的关系式，
（1）△PBQ是等腰三角形，则根据BP＝BQ即可求得t的大小，即可解题；
（2）写出△PQB的面积的表达式，根据BQ、BP的关系式和面积为10cm2即可求得t的大小，即可解题
（3）要使得△BPQ∽△BAC，则使得＝即可．
【解答】解：设t秒后，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，则BP＝BQ即6﹣t＝2t，解得t＝2；
（2）△PQB的面积为BP BQ＝（6﹣t）（2t）＝5，即（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t＝1或5．
（3）①△BPQ∽△BAC，则＝，即2t＝2（6﹣t），解得t＝3．
②△BPQ∽△BCA，则有BP：BC＝BQ：AB，∴6﹣t：12＝2t：6，解得t＝1.2
∴当t＝3秒或t＝1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似．
【点评】本题考查了三角形面积的计算，考查了等腰三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中正确列出关于t的方程式是解题的关键．
2021/11/29 13:53:07；
一．选择题（共12小题）
1．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
2．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（ ）
A．40m B．60m C．120m D．180m
3．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1cm
4．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
5．如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
7．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得△DEF，有下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3；
④△DEF与△ABC的面积比为1：6．
则正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
10．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，则正方形的边长为（ ）
A．280步 B．140步 C．300步 D．150步
11．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
12．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA′：OA＝3：5，四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
二．填空题（共9小题）
13．如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则y轴上OE的长度为 米．
14．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是 ．
15．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D、E，使点A、B、D在一条直线上，且DE∥BC．经测量得BC＝24m，BD＝20m，DE＝40m，则河的宽度AB为 m．
16．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为 m．
17．如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是 cm．
18．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，＝，若AB＝1.5，则DE＝ ．
20．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为 ．
21．以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为 ．
三．解答题（共8小题）
22．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
23．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（﹣3，3），以O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的位似比为1：3，并求出四边形OABC的面积．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）计算在（1）中，线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积；
（3）画出△ABC关于原点O的位似图形△A2B2C2，且△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2．
25．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．
26．净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严整，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上）这时测得FG＝6米，GC＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度．
28．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
29．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？
人教新版九年级下册《27.2 相似三角形》2021年同步练习卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得，＝，
解得：x＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．
2．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（ ）
A．40m B．60m C．120m D．180m
【分析】先证明△PQR∽△PST，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求PQ．
【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PST，
∴＝，即＝，
∴PQ＝120（m）．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
3．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（ ）
A． B． C． D．1cm
【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长．
【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
依题意AB∥CD
∴OF⊥CD
∴OE＝12，OF＝2
而AB∥CD可以得△AOB∽△COD
∵OE，OF分别是它们的高
∴，
∵AB＝6，
∴CD＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例．
4．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
5．如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，然后，后退至点B，从点A经平面镜刚好看到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
【分析】根据题意得出△ABP∽△CDP，进而利用相似三角形的性质得出DC的长．
【解答】解：由题意可得：∠APB＝∠CPD，
又∵∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
6．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则＝，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.4m，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
7．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
8．如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得△DEF，有下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3；
④△DEF与△ABC的面积比为1：6．
则正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用位似图形的性质以及相似图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，
∴△DEF与△ABC的相似比为：1：3，
∴①△ABC与△DEF是位似图形，正确；
②△ABC与△DEF是相似图形，正确；
③△DEF与△ABC的周长比为1：3，正确；
④△DEF与△ABC的面积比为1：9，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，正确把握相关定义是解题关键．
9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
10．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME＝80步，NF＝245步，则正方形的边长为（ ）
A．280步 B．140步 C．300步 D．150步
【分析】根据题意，可知Rt△AEN∽Rt△FAN，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：设正方形的边长为x步，
∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴AM＝AD，AN＝AB，
∴AM＝AN，
由题意可得，Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴＝，
即AM2＝80×245＝19600，
解得：AM＝140，
∴AD＝2AM＝280步；
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
11．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（ ）
A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
【分析】设AF＝x，则AC＝3x，利用正方形的性质得EF＝CF＝2x，EF∥BC，再证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到BC＝6x，所以AB＝3x，则3x＝30，解得x＝2，然后用△ABC的面积减去正方形的面积得到剩余部分的面积．
【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB＝＝3x，
∴3x＝30，解得x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用对应边成比例求相应线段的长．也考查了正方形的性质．
12．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA′：OA＝3：5，四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形ABCD的面积．
【解答】解：
∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA′：OA＝3：5，
∴S四边形A′B′C′D′：S四边形ABCD＝9：25，
∵四边形A′B′C′D′的面积为9cm2，
∴四边形ABCD的面积＝25cm2，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相似比，位似图形的面积比等于位似比的平方．
二．填空题（共9小题）
13．如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则y轴上OE的长度为 2.5 米．
【分析】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出＝，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可．
【解答】解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N，
∵CD∥EO，
∴△BND∽△BME，
∴＝，
∵点A（﹣10，0），
∴BM＝10米，
∵眼睛距地面1.5米，
∴AB＝CN＝MO＝1.5米，
∵DC＝2米，
∴DN＝2﹣1.5＝0.5米，
∵他的前方5米处有一堵墙DC，
∴BN＝5米，
∴＝，
∴EM＝1米，
∴EO＝1+1.5＝2.5米．
故答案为：2.5．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的应用以及盲区问题等知识，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用已知作出相似三角形进而得出EM的长．
14．根据测试距离为5m的标准视力表制作一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的长a是3.6cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是 2.16 ．
【分析】利用两三角形相似得到＝，然后利用比例性质求b即可．
【解答】解：根据题意得＝，
所以b＝×3.6＝2.16（cm）．
故答案为2.16．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长．
15．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D、E，使点A、B、D在一条直线上，且DE∥BC．经测量得BC＝24m，BD＝20m，DE＝40m，则河的宽度AB为 30 m．
【分析】先证明△ABC∽△ADE，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求AB的长度．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即＝，
∴AB＝30（m）．
故答案为：30．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
16．如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为 4.6 m．
【分析】作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，易得EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，则AG＝0.9，再证明△EAG∽△EHC，利用相似比计算出CH＝3，然后利用CD＝CH+DH进行计算．
【解答】解：作EH⊥CD于H，交AB于G，如图，
则EG＝BF＝3m，GH＝BD＝7m，GB＝HD＝EF＝1.6m，
所以AG＝AB﹣GB＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
∵AG∥CH，
∴△EAG∽△EHC，
∴＝，即＝，
解得：CH＝3，
∴CD＝CH+DH＝4.6（m）．
故答案为：4.6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
17．如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是 3 cm．
【分析】利用三角尺上的刻度和相似三角形的性质求得答案即可．
【解答】解：由题意得：ED∥BA，
∴△ECD∽△BCA，
∴CD：CA＝ED：AB，
即：40：60＝ED：4.5，
解得：ED＝3，
故答案为：3．
【点评】考查了相似三角形的应用的知识，解题的关键是从图形中整理出有关的数据，难度不大．
18．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为 60mm ．
【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，设AD交PN于点K．
∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝20mm，
∴PM＝3k＝60mm，
故答案为：60mm．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，＝，若AB＝1.5，则DE＝ 4.5 ．
【分析】利用位似的性质得＝，然后利用比例的性质计算DE的长．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝3×1.5＝4.5．
故答案为4.5．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
20．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为 3：1 ．
【分析】由位似的定义可得其位似比为3：1，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．
【解答】解：
由题意可知△ABC∽△A′B′C′，
∵AA′＝2OA′，
∴OA＝3OA′，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：3：1．
【点评】本题主要考查位似变换，由位似变换的定义求得相似三角形的相似比是解题的关键．
21．以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为 （12，3）或（﹣12，﹣3） ．
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'相似比为，若点C的坐标为（4，1），
∴点C′的坐标为（4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），
∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），
故答案为：（12，3）或（﹣12，﹣3）；
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
三．解答题（共8小题）
22．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
【分析】根据题意得出DE∥BC，于是得到△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：设宽度AB为x米，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40，
∴＝，
解得x＝18，
答：河的宽度为18米．
【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．
23．在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（﹣3，3），以O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的位似比为1：3，并求出四边形OABC的面积．
【分析】利用位似比结合A，B，C点的位置进而得出点A1、B1、C1的位置，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图所示：四边形OA1B1C1、OA2B2C2即为所求；
四边形OABC的面积＝9×6﹣3×6﹣3×6﹣3×3＝31.5．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）计算在（1）中，线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积；
（3）画出△ABC关于原点O的位似图形△A2B2C2，且△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2．
【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到图形△AB1C1；
（2）设线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积为S，依据S++S△ABC＝+，S△ABC＝，即可得到线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积；
（3）利用位似图形的性质，依据△ABC关于原点O的位似图形为△A2B2C2，且△ABC与△A2B2C2的相似比为1：2，即可得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）设线段BC旋转到B1C1位置时扫过图形的面积为S，则
S++S△ABC＝+，
又∵S△ABC＝，
∴S＝﹣＝﹣＝﹣＝；
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换以及位似变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
25．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比，因而作DE⊥AB于点E，则AE与DE的比值，即同一时刻物高与影长的比值，即可求解．
【解答】解：作DE⊥AB于点E，
根据题意得：＝，
＝，
解得：AE＝8米．
则AB＝AE+BE＝8+2＝10米．
即旗杆的高度为10米．
【点评】同一时刻物高与影长成正比，是在相似部分经常出现的问题，直角梯形的问题可以通过作高线转化为三角形的问题求解．
26．净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严整，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上）这时测得FG＝6米，GC＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出 ＝，列出方程求出CA＝40（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．
【解答】解：∵△EDC∽△EBA，
∴＝，
∵△FHG∽△FBA，
∴＝，
∵DC＝HG，
∴＝，
∴＝，
∴CA＝40（米），
∵＝，
∴＝，
∴AB＝22（米），
答：古塔的高度AB为22米．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝1米，EF＝0.5米，测点D到地面的距离DG＝3米，到旗杆的水平距离DC＝40米，求旗杆的高度．
【分析】求出△ACD和△FED相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，再求出BC＝DG，然后根据旗杆的高度AB＝AC+BC代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，
∴△ACD∽△FED，
∴，
即，
解得AC＝20，
∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，
∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，
∴四边形BGDC是矩形，
∴BC＝DG＝3，
∴AB＝AC+BC＝20+3＝23米．
答：旗杆AB的高度是23米
【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，主要利用了相似三角形对应边成比例．
28．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
【分析】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出BN即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
＝，即＝，
∴AP＝AB，
∵NQ∥AC，
∴△BNQ∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴＝，即＝，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
29．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？
【分析】分别写出BP、BQ的关系式，
（1）△PBQ是等腰三角形，则根据BP＝BQ即可求得t的大小，即可解题；
（2）写出△PQB的面积的表达式，根据BQ、BP的关系式和面积为10cm2即可求得t的大小，即可解题
（3）要使得△BPQ∽△BAC，则使得＝即可．
【解答】解：设t秒后，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，则BP＝BQ即6﹣t＝2t，解得t＝2；
（2）△PQB的面积为BP BQ＝（6﹣t）（2t）＝5，即（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t＝1或5．
（3）①△BPQ∽△BAC，则＝，即2t＝2（6﹣t），解得t＝3．
②△BPQ∽△BCA，则有BP：BC＝BQ：AB，∴6﹣t：12＝2t：6，解得t＝1.2
∴当t＝3秒或t＝1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似．
【点评】本题考查了三角形面积的计算，考查了等腰三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中正确列出关于t的方程式是解题的关键．
2021/11/29 13:53:07；