3.3.1抛物线及其标准方程(共17张PPT)

(共17张PPT)
喷泉
3.3.1抛物线及其标准方程
我们知道,椭圆、双曲线都有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数k的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜k＜1
(2) 当k＞1时，是双曲线;
(1)当0(其中定点不在定直线上)
l
F
·
M
k＞1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
·
F
M
l
·
k=1
复习回顾
如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线。 H是l上任意一点，过点F作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
提出问题
M
F
当k=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探究？
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
M
·
F
l
·
e=1
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
问题探究
M
·
F
l
·
e=1
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线
|MF|=d
d 为 M 到 l 的距离
准线
焦点
d
一、抛物线的定义:
新知总结
那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样
1.建:建立直角坐标系.
3. 限:根据几何条件列出等式;
4. 代:代入坐标与数据;
5. 化:化简方程.
2.设:设点(x,y);
回顾求曲线方程一般步骤：
复习回顾
6. 简:检验方程.
l
以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
两边平方,整理得
x
K
y
o
M(x,y)
F
二、标准方程的推导
依题意得
这就是所求的轨迹方程.
学习新知
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:
焦点坐标是
准线方程为:
想一想: 当抛物线的焦点在 坐标轴的其它位置时，标准方程是怎样的 ？
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
焦点到准线的距离
新知总结
相同点：
（1）顶点为原点;
（2）对称轴为坐标轴;
（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.
不同点：（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;
（2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向.
记忆方法：P永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数为开口方向，且开口方向坐标轴的正（负）方向相同
新知总结
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
准线方程
焦点坐标
标准方程
图 形
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
y2=2px
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.
四．四种抛物线的对比
新知总结
二次函数 的图像为什么是抛物线？
当a>0时与当a<0时，结论都为：
P132思考：
y
x
o
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2+bx+c
深入学习
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 =6x，求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.
解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 , 准线方程是
,所以所求抛物线的标准方程是
(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且
例题讲评
课堂练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x = ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x，y2 = -4x，x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= y
(3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
（5，0）
x=-5
（0，—）
1
8
y= - —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
课堂练习
例4：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
例题讲评
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，
使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 ，由已知条件
可得，点A的坐标是（1,2.4），代入方程，得
所以，所求抛物线的标准方程是 y2=5.76x，
焦点的坐标是(1.44,0).
例题讲评
2.42=2p×1
即p=2.88
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
学习小结