2019-2020学年安徽省安庆市外国语学校第一学期九年级12月月考数学试卷（Word版 含解析）

安庆市外国语学校19-20学年度第一学期九年级十二月月考
数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知sinA＝，且∠A为锐角，则∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）
3．⊙O的直径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
4．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠B的度数为（　　）
A．50° B．45° C．60° D．70°
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（　　）
A． B．5sinα C． D．5cosα
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM＝DM B． C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝BM
8．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
9．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，且PO＝3，则过点P且弦长为整数的弦有（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，则C′B的长为（　　）
A．2﹣2 B． C．4﹣2 D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝　 　．
12．两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是　 　．
13．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，则OC＝　 　cm．
14．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则sin∠ABC＝　 　．
15．一个三角形一边上的高为，另两边分别为2和，那么这两边的夹角为　 　．
三.解答题（16-17每题6分，18-19每题8分，20题10分，21题12分）
16．计算：
（1）cos230°+tan60° sin60°；
（2）+sin45°－tan30°．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
19．一艘航母在海上由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后达到B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94；cos70°≈0.34；tan70°≈2.75；sin37°≈0.6；cos37°≈0.80；tan37°≈0.75）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠BCD＝．
（1）试求sinB的值；
（2）试求△BCD的面积．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：；
（2）若BD＝4，求EF的长；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
安庆市外国语学校19-20学年度第一学期九年级十二月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．已知sinA＝，且∠A为锐角，则∠A＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据sin30°＝求出∠A的值．
【解答】解：∵sinA＝，且∠A为锐角，sinA＝sin30°＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
2．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（　　）
【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．⊙O的直径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵⊙O的直径为5cm，
∴⊙O的半径为2.5cm，
∵点A到圆心O的距离为3cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故选：C．
4．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠B的度数为（ ）
A．50° B．45° C．60° D．70°
【分析】连OC，由BC＝CD＝DA，得∠AOD＝∠DOC＝∠COB，而AB是⊙O的直径，即∠AOC+∠DOC+∠COB＝180°，这样就可求出∠BOD的度数．
【解答】解：连OC，如图，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB，
又∵AB是⊙O的直径，即∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，
∴∠B＝60°．
故选：C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，
∴BC＝＝＝12．
∴tanB＝＝．
故选：A．
6．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（　　）
A． B．5sinα C． D．5cosα
【分析】已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函数定义解答．
【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在Rt△ABC中，∠BAC＝α，BC＝5，
则AB＝＝，
故选：A．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM＝DM B． C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝BM
【分析】先根据垂径定理得CM＝DM，＝，＝，再根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，＝，＝，
∴∠ACD＝∠ADC．
故选：D．
8．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【解答】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，
∴sinα＝cosα＝，故A正确，
tanC＝＝2，故B正确，
tanα＝1，故D正确，
∵sinβ＝＝，cosβ＝，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选：C．
9．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，且PO＝3，则过点P且弦长为整数的弦有（　　）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点P最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点P的最短的弦是8，故过点P的弦的长度在8和10之间，所以过点P的弦中长度为整数的弦的条数为4．
【解答】解：如图示，
作弦AB⊥OP于P，
则AP＝BP，
在Rt△AOP中，OP＝3，OA＝5，
AP＝＝4，
∴AB＝8，
故过点P的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条，
∴所有过点P的所有弦中取整数的有8，9，10．这三个数，
又∵圆是轴对称图形，
∴过点P的弦中长度为整数的弦的条数为4．
故选：B．
10．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，则C′B的长为（　　）
A．2﹣2 B． C．4﹣2 D．2
【分析】如图，作辅助线；证明△ABB′为等边三角形，此为解决问题的关键性结论；证明△BB′C′≌△BAC，得到∠B′BC′＝∠ABC′，即可证明BC'是等腰三角形边上的角平分线，即高线，延长BC'交AB'于点D，则BC'＝BD﹣C'D．
【解答】解：如图，连接BB′，延长BC'交AB'于点D；由题意得：
AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC中，
，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，即BD是等边△ABB′边上的高．
又∵AB′＝AB＝＝＝4，
∴C′D＝AB′＝2，BD＝AB sin60°＝4×＝2．
∴BC′＝BD﹣C′D＝2﹣2．
故选：A．
填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝　　．
【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设BC＝x，则AC＝2x，
∴AB＝＝x．
∴sinB＝＝．
12．两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是　10　．
【分析】根据勾股定理求出三角形的斜边长，根据圆周角定理解答．
【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝10，
由圆周角定理得，这个直角三角形的外接圆直径为10，
故答案为：10．
13．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，则OC＝　5　cm．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2＝42+（R﹣2）2，计算求出R即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD＝AB＝4cm，
设⊙O的半径为R，
由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，
∴R2＝42+（R﹣2）2，
解得R＝5
∴OC＝5cm．
故答案为5．
14．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则sin∠ABC＝　 　．
【分析】如图，根据菱形的性质，已知AC，BD的长，然后根据菱形的面积公式可求解．
【解答】解：读图可知，AC＝4，BD＝6，AC＝，
则该菱形的面积为4×6×＝12，
菱形的面积为 ×× sin∠ABC＝6，
sin∠ABC＝．
故答案为．
15．一个三角形一边上的高为，另两边分别为2和，那么这两边的夹角为　90°或30°　．
【分析】首先画出示意图，①高在三角形内的情况，根据sinB＝＝可求出B的度数，根据sinC＝＝可求出C的度数，从而利用三角形的内角和定理可求出两边的夹角．②高在三角形外的情况，②根据sinB＝＝可求出B的度数，根据sin∠ACD＝＝可求出C的度数，从而利用三角形的外角定理可求出AB和AC的夹角．
【解答】解：①由题意得：AB＝2，AC＝2，AD＝，
∵在RT△ABD中，sinB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵在RT△ADC中，sinC＝＝，
∴∠C＝30°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣90°＝90°，
即这两边的夹角为90°．
②由题意得：AB＝2，AC＝2，AD＝，
∵在RT△ABD中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵在RT△ADC中，sin∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，即两边夹角为30°．
故答案为：90°或30°．
三.解答题（16-17每题6分，18-19每题8分，20题10分，21题12分）
16．计算：
（1）cos230°+tan60° sin60°；
（2）+sin45°－tan30°．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝+×＝；
（2）原式＝+﹣×＝+1．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【分析】（1）作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4）
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2（﹣2，﹣4）．
18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解直角△ACB求出BC，在直角△BMC中求出CM，BM，推出BM＝DM，即可求出答案．
【解答】解：
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC tan60°＝10，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC sin30°＝10×＝5，
CM＝BC cos30°＝10×＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．
19．一艘航母在海上由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后达到B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94；cos70°≈0.34；tan70°≈2.75；sin37°≈0.6；cos37°≈0.80；tan37°≈0.75）
【分析】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【解答】解：由题意知∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝．
∴≈0.34，
∴CD＝27.2（海里）
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝．
∴≈0.75，
∴BD＝20.4（海里）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠BCD＝．
（1）试求sinB的值；
（2）试求△BCD的面积．
【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB；
（2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC＝BE+EC，即4k+6k＝8，求得k的值即可求△BCD的面积．
【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB＝AC＝5，∴BH＝BC＝4，
在△ABH中，AH＝＝3，
∴．
（2）作DE⊥BC，垂足为E，
在△BDE中，sinB＝，令DE＝3k，
BD＝5k，则BE＝＝4k，
又在△CDE中，tan∠BCD＝，
则CE＝＝6k，
于是BC＝BE+EC，即4k+6k＝8，
解得，
∴．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：；
（2）若BD＝4，求EF的长；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
【分析】（1）根据垂径分弦定理；
（2）根据垂径分弦定理，等弧对等弦得到EF＝BD；
（3）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．
解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
（2）由（1）可知CD＝BF，
∵，
∴，
∴BD＝CF；
∴EF＝CF＝BD＝2．
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF＝＝2，
∴BF＝＝＝2．
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