2021-2022学年上海市闵行区九年级（上）期中数学试卷 （Word版含解析）

2021-2022学年上海市闵行区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，那么边AB的长为（　　）
A． B．m cosα C．m sinα D．m cotα
2．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果S△ADE＝S四边形BCED，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2 B．DE：BC＝1： C．DE：BC＝1：3 D．DE：BC＝1：4
3．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）下列正确的有（　　）
①|k|＝k||；
②为单位向量，则＝|| ；
③平面内向量、，总存在实数m使得向量＝m；
④若＝+，∥，∥，则、就是在、方向上的分向量．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（4分）已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（　　）
A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BC
B．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似
C．若，则△AEF与△ABC相似
D．若AF BE＝AE FC，则△AEF与△ABC相似
6．（4分）如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知2x＝3y，则（x+y）：y的值为 　 　．
8．（4分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM：MB＝2：3，AD＝2，BC＝7．求MN的长．
9．（4分）在△ABC中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一点，＝2，＝3，则＝　 　．
10．（4分）如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝　 　．
11．（4分）已知0°＜θ＜90°，且sinθ+cosθ＝m，则tanθ+cotθ＝　 　．
12．（4分）已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB PB，如果AB＝2，那么AP＝　 　．
13．（4分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 　 　．
14．（4分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　 　度．
15．（4分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的方格的格点上，则sin∠ACB的值为 　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，点D为边AC上一点，点P是线段BD的中点，如果∠ABD＝∠ACP，那么AD的长是 　 　．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，联结BB′，则tan∠ABB′＝　 　．
18．（4分）在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tanA＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为　 　．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cot60°﹣|1﹣2cos45°|+4sin230°﹣．
20．（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝．
（1）用向量、分别表示下列向量：
＝　 　，＝　 　，＝　 　．
（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出作图结论）
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是线段AB上的点，DE⊥BC，垂足为点E，联结CD、AE交于点G，且CD⊥AE．
（1）求证：点D在∠ACB的角平分线上．
（2）延长BA与∠ACB外角的平分线交于点F，求证：+＝．
23．（12分）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．
（1）求证：BD CD＝AB BC；
（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF DC＝EF BC．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
2021-2022学年上海市闵行区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，那么边AB的长为（　　）
A． B．m cosα C．m sinα D．m cotα
【分析】利用直角三角形的边角间关系，通过∠B的正弦，变形后求出AB．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，
∵sinB＝，
∴AB＝＝．
故选：A．
2．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果S△ADE＝S四边形BCED，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2 B．DE：BC＝1： C．DE：BC＝1：3 D．DE：BC＝1：4
【分析】由两直线平行得到两三角形相似，即△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
又∵S△ADE＝S四边形BCED，
∴＝（）2＝，
则DE：BC＝1：，
故选：B．
3．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∵CE≠AC，
∴．故本答案错误；
B、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
C、∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴．
∵AD≠DF，
∴，故本答案错误；
D、∵DE∥BC，EF∥CD，
∴，，
∴，故本答案正确．
故选：D．
4．（4分）下列正确的有（　　）
①|k|＝k||；
②为单位向量，则＝|| ；
③平面内向量、，总存在实数m使得向量＝m；
④若＝+，∥，∥，则、就是在、方向上的分向量．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据平面向量的性质进行分析判断．
【解答】解：①|k|＝|k |，不符合题意；
②为单位向量，则＝±|| ，不符合题意；
③若平面内向量、是平行向量时，总存在实数m使得向量＝m，不符合题意；
④若＝+，∥，∥，则、就是在、方向上的分向量，符合题意．
综上所述，只有1个符合题意．
故选：B．
5．（4分）已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（　　）
A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BC
B．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似
C．若，则△AEF与△ABC相似
D．若AF BE＝AE FC，则△AEF与△ABC相似
【分析】根据三角形相似的判定定理一一判断即可．
【解答】解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．
选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．
选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．
选项D正确．理由：∵AF BE＝AE FC，
∴＝，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
故选：D．
6．（4分）如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据梅涅劳斯定理得出＝，再由三角形面积的求法得出S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC，从而得出答案．
【解答】解：对△ADC用梅涅劳斯定理可以得： ＝1，则＝．
设S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，
∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．
故选：D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知2x＝3y，则（x+y）：y的值为 　5：2　．
【分析】直接利用比例的性质分析得出答案．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴x＝y，
∴（x+y）：y＝（y+y）：y＝5：2．
故答案为：5：2．
8．（4分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM：MB＝2：3，AD＝2，BC＝7．求MN的长．
【分析】过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，可以得出四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，从而求出MN．
【解答】解：过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，
∵AD∥BC，AF∥DC，
∴四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，
∴AD＝EN＝2．AD＝FC＝2．
∵BC＝7，
∴BF＝5．
∵ME∥BF，
∴△AME∽△ABF
∴＝．
∵AM：MB＝2：3，
∴AM：AB＝2：5，
∴＝，
∴ME＝2
∴MN＝4．
9．（4分）在△ABC中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一点，＝2，＝3，则＝　　．
【分析】由“高相等的两个三角形的面积之比等于底边长之比”得到BD：CD，CE：AE，AF：BF，然后由已知比值求得AF：DC的值．
【解答】解：如图，∵△ABD底边BD上的高和△ACD底边CD上的高相等，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴＝1，
∴＝1，
∴×2×3＝1，
∴＝．
故答案为：．
10．（4分）如图，△ABC三边的中点分别为D，E，F．连接CD交AE于点G，交EF于点H，则DG：GH：CH＝　2：1：3　．
【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF＝AB，证明△CHE∽△CDB，根据相似三角形的性质得到CH＝DH，证明△EGH∽△AGD，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵E，F分别为CB、CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∴△CHE∽△CDB，
∴＝＝＝，
∴CH＝DH，
∵AD＝DB，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EGH∽△AGD，
∴＝＝，
∴DG：GH：CH＝2：1：3，
故答案为：2：1：3．
11．（4分）已知0°＜θ＜90°，且sinθ+cosθ＝m，则tanθ+cotθ＝　　．
【分析】sinθ+cosθ＝m求出（sinθ+cosθ）2＝m2，求出sinθ cosθ＝，求出tanθ+cotθ＝+，通分后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵0°＜θ＜90°，sinθ+cosθ＝m，
∴（sinθ+cosθ）2＝m2，
∴sin2θ+cos2θ+2sinθ cosθ＝m2，
∴1+2sinθ cosθ＝m2，
解得：sinθ cosθ＝，
∴tanθ+cotθ
＝+
＝
＝
＝，
故答案为：．
12．（4分）已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB PB，如果AB＝2，那么AP＝　﹣1　．
【分析】设AP＝x，则PB＝2﹣x，根据AP2＝AB PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．
【解答】解：设AP＝x，则PB＝2﹣x，
由题意，x2＝2（2﹣x），
解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃）
故答案为：﹣1．
13．（4分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为 　　．
【分析】过点Q作QE⊥AD，垂足为E，可以得到△MDN∽△NEQ，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DM和DN，根据勾股定理可求MN的长．
【解答】解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，
在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，
∴△MDN∽△NEQ，
∴＝＝＝，
∴DN＝×10＝2，
在△MDN和△PBQ中，
，
∴△MDN≌△PBQ（ASA），
∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，
∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，
∴DM＝×6＝，
∴MN＝＝＝．
∴每个小正方形的边长为．
故答案为：．
14．（4分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　145　度．
【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到∠ABD＝∠DBC，∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠ADC的度数．
【解答】解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵对角线BD是它的相似对角线，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠ADC，
又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，
∴∠ADC＝145°，
故答案为：145．
15．（4分）如图，△ABC的顶点都在边长为1的方格的格点上，则sin∠ACB的值为 　　．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D．利用勾股定理先求出AC、BC的长，再通过△ABC的面积求出BD，最后在Rt△CBD中求出∠C的正弦．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
由格点可求得：BC＝＝2，
AC＝＝2．
∵S△ABC＝×2×2＝2，
S△ABC＝AC×BD＝×2×BD＝BD，
∴BD＝2，
∴BD＝．
∴sinC＝＝＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，点D为边AC上一点，点P是线段BD的中点，如果∠ABD＝∠ACP，那么AD的长是 　3﹣　．
【分析】通过证明△ABD∽△ECP，可得，可求AE的长，即可求解．
【解答】解：如图，取AD中点E，连接PE，
∵点P是BD的中点，点E是AD的中点，
∴PE＝AB＝1，PE∥AB，AE＝DE＝AD，
∴∠A＝∠PEC，
又∵∠ABD＝∠ACP，
∴△ABD∽△ECP，
∴，
∴，
∴2＝2AE（3﹣AE），
∴AE＝或AE＝（舍去），
∴AD＝2AE＝3﹣，
故答案为：3﹣．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，联结BB′，则tan∠ABB′＝　3　．
【分析】如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通过证明△ABP∽△CBA，可得∠PAB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的长，由相似三角形的性质可求B'D，BD的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，
∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
∵点M是AC中点，
∴AM＝，
∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，
∴AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，
∵AP2＝AB2+PB2，
∴PB＝1，
∵，且∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴△ABP∽△CBA，
∴∠PAB＝∠C，
∴∠C＝∠CAE，
∴CE＝AE，
∵AE2＝AB2+BE2，
∴CE2＝4+（4﹣CE）2，
∴CE＝AE＝，
∴BE＝，
∵B'D∥BC，
∴△AB'D∽△AEB，
∴，
∴＝＝，
∴AD＝，B'D＝，
∴BD＝，
∴tan∠ABB′＝＝＝3，
故答案为：3．
18．（4分）在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tanA＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为　　．
【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣，求得DE＝﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：如图，∵EF∥AD，
∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE＝∠BFE，
∴∠A＝∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形，
∴AF＝FM，
作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD＝∠DQB＝90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ＝90°．
∵∠B＝90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，
∴AQ＝10﹣2＝8，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD＝＝10，
∵tanA＝，
∴tan∠EFB＝＝，
设EB＝3x，
∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，
∴AF＝MF＝10﹣4x，
∴GM＝8x﹣10，
∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，
∴△DGM∽△DQA，
∴＝，
∴GD＝6x﹣，
∴DE＝﹣3x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，
解得：3x＝，
∴当EG过点D时BE＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cot60°﹣|1﹣2cos45°|+4sin230°﹣．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝×﹣|1﹣2×|+4×（）2﹣
＝﹣（﹣1）+1+（2+）
＝﹣+1+1+2+
＝+4．
20．（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝．
（1）用向量、分别表示下列向量：
＝　　，＝　﹣　，＝　﹣　．
（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出作图结论）
【分析】（1）根据AE＝BA即可求出，根据＝+即可求出，先证明EG＝EC，即可求出；
（2）首先过点G作GM∥AB，NN∥BC，根据平行四边形法则即可求得答案．
【解答】解：（1）∵＝，AE＝BA，
∴＝，，
∵＝+，EB＝﹣，＝，
∴＝﹣，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵CD∥EB，
∴△BEG∽△DCG，
∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，
∴EG：EC＝4：7，
∴＝﹣，
故答案分别为：，﹣，﹣；
（2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值．
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；
（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C＝∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，
在Rt△ABD中，
∵sinB＝，AD＝12，
∴，
∴AB＝15，
∴BD＝，
又∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝5；
（2）在Rt△ACD中，
∵E为斜边AC的中点，
∴ED＝EC＝AC，
∴∠C＝∠EDC，
∴tan∠EDC＝tanC＝．
22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是线段AB上的点，DE⊥BC，垂足为点E，联结CD、AE交于点G，且CD⊥AE．
（1）求证：点D在∠ACB的角平分线上．
（2）延长BA与∠ACB外角的平分线交于点F，求证：+＝．
【分析】（1）根据两个角分别相等，证明△DAG∽△DCA，得AD2＝DG×DC，同理可得DE2＝DG×DC，即可得出AD＝DE，从而证明结论；
（2）根据角平分线定理知，，对两个比例式进行变形即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AE，
∴∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADG+∠ACD＝90°，
∴∠DAG＝∠ACD，
又∵∠DAC＝∠AGD，
∴△DAG∽△DCA，
∴AD2＝DG×DC，
同理可得DE2＝DG×DC，
∴AD＝DE，
又∵DE⊥BC，DA⊥AC，
∴点D在∠ACB的角平分线上；
（2）∵CD平分∠ACB，
∴，
∴，
即，
∵CF是∠ACB外角的平分线，
∴，
∴，
即，
∴+＝．
23．（12分）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．
（1）求证：BD CD＝AB BC；
（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF DC＝EF BC．
【分析】（1）证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）证明△ADB∽△EDF，由相似三角形的性质得出∠ABD＝∠EFD，证明△EDF∽△DBC，得出，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△DCB，
∴，
即BD CD＝AB BC；
（2）证明：∵∠ADB＝∠DBF，∠ADB＝∠BDF，∠BFD＝90°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴∠DBF＝ADE＝45°，
∴△AED和△BFD都是等腰直角三角形，
∴，
又∵∠ADE＝∠BDF，
∴△ADB∽△EDF，
∴∠ABD＝∠EFD，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠EDF＝∠DBC，
∴△EDF∽△DBC，
∴，
∴DF DC＝EF BC．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．
（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；
（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；
（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．
【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可；
（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．
【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，
得，
解得，m＝﹣，n＝5，
则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；
（2）AC＝＝5，BC＝＝，AB＝＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y 轴于点Q，
∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，
∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，
∵∠QAP+∠QPA＝90°，
∴∠QPA＝∠CAB，
又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，
∴△PQA∽△ACB；
（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，
由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），
将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，
∴k＝﹣，
∴yAB'＝﹣x+5，
联立，
解得，x1＝，x2＝0（舍去），
则F'（，﹣），
将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，
得，，
解得，k＝1，b＝﹣5，
∴yBB'＝x﹣5，
由题意知，kFF'＝KBB'，
∴设yFF'＝x+b，
将点F'（，﹣）代入，
得，b＝﹣，
∴yFF'＝x﹣，
联立，
解得，x＝，y＝，
∴F（，），
则FF'＝＝．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB＝DC＝15，DE＝DF＝5知，从而得，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP＝CP＝9，DP＝12，由知BG＝CH＝2x，BH＝18+2x，根据得，即，再根据知，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN＝∠FGH和∠ADN＝∠GFH两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB＝DC＝15，DE＝DF＝5，
∴，
∴．
∴BG＝CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB＝DC＝15，BC＝18，
∴BP＝CP＝9，DP＝12．
∵，
∴BG＝CH＝2x，
∴BH＝18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠DBC，
∴sin∠ADN＝sin∠DBC，
∴，
∴．
∴．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠FHG．
（i）当∠ADN＝∠FGH时，
∵∠ADN＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG＝6，
∴AD＝3．
（ii）当∠ADN＝∠GFH时，
∵∠ADN＝∠DBC＝∠DCB，
又∵∠AND＝∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴，整理得x2﹣3x﹣29＝0，
解得 ，或（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．