2021北师大版九上数学第二章 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系专练（word版含解析）

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系专练
1.若实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，则 的值为
2.已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 ，则 的值是
3.若一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1 ， x2 ， 且x1+x2＝x1x2 ， 则m的值是
4.等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为
5.在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是
6.已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则 ＝
7.关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值为
8.设 ， 是方程 的两根，则 的值是
9.若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
10.若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一根是 ．
11.已知x1 ， x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则 ＋ ＝ .
12.设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 .
13.如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝ ．
14.一元二次方程 的两根之和为 ，则两根之积为 .
15.已知x1 ， x2是关于x的方程x2＋bx﹣3＝0的两根，且满足 ，那么b的值为 .
16.已知关于的方程x2+(2k+1)x+k2=0的两个实数根的平方和是7，则k= .
17.若方程 的两根是x1、x2 ， 则代数式 的值是 ．
18.方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根x1 ， x2满足x12+x22＝4，则k的值为 ．
19.关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
20.已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
21.（2021九上·路北期中）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.
22.已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在k使得 成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
23.已知：关于x的方程 .
（1）求证：无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的腰长为4，另两边恰好是此方程的两个根，求此三角形的周长.
24.关于x的方程kx2+（k+1）x+ ＝0有实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程有两不等实根且他们的倒数和为0？若存在，求出k值；若不存在，说明理由.
25.关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 为正整数时，求 的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ 实数a，b（a不等b）分别满足方程a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，
∴a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根，
∴a+b=7，ab=2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=45，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出a，b是一元二次方程x2-7x+2=0的两个根， 根据根与系数的关系得出a+b，ab的值，从而得出a2+b2的值，再把化为 ， 再代入进行计算，即可得出答案.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：由根与系数的关系得： ，
,
即 ,
解得： 或 ,
而当 时，原方程 ，无实数根，不符合题意，应舍去，
∴
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以得到 ，再根据求出m的值，再利用一元二次方程根的判别式判断即可。
3.【答案】 B
【解析】【解答】∵一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根
∴
解得：
由根与系数的关系有： ，
由x1+x2＝x1x2 ， 得：
解得：
∵
∴m=3
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式先列出不等式求出m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值即可。
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：当 时， 时，
是关于x的一元二次方程 的两根，
，
不符合；
当 时， ，
是关于x的一元二次方程 的两根，
，
不符合；
当 时，
是关于x的一元二次方程 的两根，
，
，
，
；
故答案为：D.
【分析】当a=4时，根据三角形的三边关系确定出b的范围，根据根与系数的关系可得4+b=12，求出b的值，然后进行验证；当b=4时，根据三角形的三边关系确定出a的范围，根据根与系数的关系可得4+a=12，求出a的值，然后进行验证；当a=b时，根据根与系数的关系可得12=2a=2b，求出a、b的值，然后根据ab=k+2就可得到k的值.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：当x=0时，0≠6
∴x≠0；
∵xy≠1
∴
∵ 3x2+2021x+6＝0
∴
∴ ， y为一元二次方程6x2+2021x+3=0的两个不相等的实数根，
∴×y=.
故答案为：A.
【分析】观察方程可知当x=0时，0≠6，可知x≠0，可推出；由此可将方程组转化为 ， 由此可得到 ， y为一元二次方程6x2+2021x+3=0的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系，可得答案.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1和x2 ．
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当m=1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系再结合倒数的定义求出m的值，再根据根的判别式求解即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出 ， 再代入计算求解即可。
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题意得k 1≠0且Δ＝ 4（k 1）≥0，
解得 且k≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式求解即可得到结果。
二、填空题
10.【答案】 －1
【解析】【解答】解：设方程的另一根为a ，
∵x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，
∴2a＝－2，解得a＝－1，
即方程的另一个根是－1，
故答案为：－1．
【分析】设方程的另一根为a ， 利用一元二次方程根与系数的关系可得2a＝－2，求出a的值即可。
11.【答案】 -2
【解析】【解答】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝ 1，
所以 ＋ ＝ ＝-2.
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1x2＝-1，将待求式变形为 ， 据此计算.
12.【答案】 －2019
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021+1+1＝﹣2019.
故答案为：﹣2019.
【分析】根据根与系数的关系可得a+b＝-1，ab＝-2021，将待求式变形为ab-(a+b)+1，据此计算.
13.【答案】 4
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
，
，
故答案为：4．
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出 ，将其带入即可求出结论。
14.【答案】 6
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根之和为 ，
∴ ，
解得：a=2，
∴ ，
∴两根之积为6，
故答案为：6.
【分析】一元二次方程根与系数的关系是：x1+x2= ， x1x2= ， 进而再根据方程的两根之和为7-a建立关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出方程的两根之积.
15.【答案】 4
【解析】【解答】解：根据题意得：x1+x2＝ b，x1x2＝ 3，
∵x1+x2 3 x1x2＝5，
∴ b 3×（ 3）＝5，
解得b＝4.
故答案是：4.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝ b，x1x2＝ 3，将其代入原式得出关于b的一元一次方程求解即可.
16.【答案】 1
【解析】【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两个实数根为x1 ， x2 ，
∴x1+x2=-（2k+1）， x1·x2=k2 ，
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=7，
∴［-（2k+1）]2-2k2=7，
∴k=-3或k=1，
∵ =（2k+1）2-4k2≥0，
∴k≥- ，
∴k=1.
【分析】设方程x2+（2k+1）x+k2=0的两个实数根为x1 ， x2 ， 根据根与系数的关系得出x1+x2和 x1·x2的值，利用x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=7，列出方程求出k的值，再根据根的判别式求出k的取值范围，即可得出答案.
17.【答案】 6
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系知： ，
．
故答案为：6．
【分析】根据根与系数的关系得出 ，将其代入中即可得出答案。
18.【答案】 1
【解析】【解答】解：∵方程x2+2kx+k2﹣2k+1＝0的两个实数根，
∴△＝4k2﹣4（k2﹣2k+1）≥0，
解得 k≥ ．
∵x12+x22＝4，
∴x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，
又∵x1+x2＝﹣2k，x1 x2＝k2﹣2k+1，
代入上式有4k2﹣2（k2﹣2k+1）＝4，
整理得k2+2k-3=0,
解得k＝1或k＝﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：1．
【分析】由x12+x22＝x12+2x1 x2+x22﹣2x1 x2＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．
19.【答案】 m＜9
【解析】【解答】解：根据题意得△=62-4×1×m＞0，
解得m＜9，
故答案为：m＜9.
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
20.【答案】 且
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
，且
解得： 且
故答案为： 且
【分析】根据一元二次方程有两个不同的实数根，利用根的判别式列出不等式求解即可。
三、综合题
21.【答案】 （1）证明：∵ ，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ， .
∵方程两个根的绝对值相等，
∴ .
∴ 或-1.
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）先求出 ， ，再求出 ，最后计算求解即可。
22.【答案】 （1）解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
即 ，
，
整理得 ，
解得 ，
又∵ ，
.
【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，代入求解就可得到k的范围；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，代入3x1x2-x12-x22+10=0中可求出k的值，然后结合k的范围对求出的值进行取舍.
23.【答案】 （1）解：证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4.
组成三角形的三边长度为2、4、4；
周长为2+4+4=10；
【解析】【分析】（1）求出判别式，根据其正负即可确定方程根的情况；
（2）将x＝4代入原方程可得关于m的方程，求出m的值，代入原方程中求出方程的根，进而可得三角形的三边，据此可求出周长.
24.【答案】 （1）解：当k＝0时，方程是一元一次方程，此时方程的根为x＝0.
∴方程有根；
当k≠0时，方程为一元二次方程，
∵方程有实数根，
∴Δ＝（k+1）2﹣4k ＝2k+1≥0，
解得：k≥﹣ 且k≠0.
综上所述，k的取值范围是k≥﹣ .
（2）解：设方程的两根分别是x1和x2 ， 则：
x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝ ， + ＝ ＝﹣ ＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣ ，
∴k＝﹣1（不合题意）.
∴不存在.
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论： 当k＝0时，方程是一元一次方程，方程的根为x＝0； 当k≠0时，方程为一元二次方程，根据根的判别式得出Δ＝2k+1≥0，解不等式得出k的取值范围，即可得出答案；
（2） 设方程的两根分别是x1和x2 ， 根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝- ，x1 x2＝ ， 根据题意得出+＝＝-＝0 ，得出k＝﹣1，再根据（1）中k的取值范围进行判断，即可得出答案.


25.【答案】 （1）解：由题意知，△=（-2）2-4（m-2）＞0，
∴m＜3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m＜3且m≠2；
（2）解：∵m为正整数，
∴m=1，
∴方程为 ，即 ，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-1，
∴ ．