5.2.2 函数的单调性 “四基”测试题（含解析） 2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 【建议用时：40分钟】
【学生版】
《第 5 章　函数的概念 性质及应用》【5.2.2 函数的单调性】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
2、对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、函数y＝的单调递增区间是
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
4、已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图像与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
5、已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的严格增函数，且f(x－2)【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
6、已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是严格增函数，若a，b∈R且a＋b>0，
则有f(a)＋f(b) f(－a)＋f(－b) ；
7、已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是
8、已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的严格减函数，则实数a的取值范围是_
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、证明f(x)＝在其定义域上是严格增函数。
10、用定义证明函数在上单调递减，则，上单调递增；
【附录】相关考点
考点一 增函数与减函数 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1考点二 严格增函数与严格减函数 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数；
【说明】“严格增”、“严格减”、“增”及“减”统称为函数的单调性；.
考点三 单调函数与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数；
并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间；
【教师版】
《第 5 章　函数的概念 性质及应用》【5.2.2 函数的单调性】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
【提示】注意：识图；
【答案】B；
【解析】对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；
对于C，存在x1>1，f(x1)对于D，存在x1＝－1，x2＝1，f(x1)只有B完全符合单调性定义
【考点】体验函数单调性的图像特征。
2、对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
【提示】理解单调性的定义；
【答案】D；
【解析】由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值；
【考点】函数单调性的定义；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、函数y＝的单调递增区间是
【提示】注意：分解“复合函数”；
【答案】
【解析】函数由t＝2x－3与y＝复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求；
首先由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上
是增函数，所以y＝的单调递增区间是；
【考点】 “复合函数”的单调性。
4、已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图像与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是
【提示】注意审题“一次函数”；
【答案】(－1，0)；
【解析】依题意得解得－1【考点】注意“增函数”与“图像与x轴的正半轴相交”。
5、已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的严格增函数，且f(x－2)【提示】注意：增函数的定义；
【答案】；
【解析】由题意，得解得1≤x<，故满足条件的x的取值范围是1≤x<；
【考点】注意利用严格增函数进行等价。
6、已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是严格增函数，若a，b∈R且a＋b>0，
则有f(a)＋f(b) f(－a)＋f(－b) ；
【提示】注意：理解严格增函数；
【答案】f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)；
【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)；
【考点】主要是灵活运用“严格增函数”；
7、已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是
【提示】判别已知函数的单调性；
【答案】(－∞，2)；
【解析】画出f(x)的图像(图略)可判断f(x)在R上单调递增，
故f(4－a)>f(a) 4－a>a，解得a<2；
【考点】注意数形结合地判断。
8、已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的严格减函数，则实数a的取值范围是_
【提示】结合“分段函数”与“严格减函数”；
【答案】；
【解析】当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0；
当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤；
【考点】数形结合分析。
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、证明f(x)＝在其定义域上是严格增函数。
【证明】f(x)＝的定义域为[0，＋∞)；设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝ .
因为，0≤x10，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)＝在它的定义域[0，＋∞)上是严格增函数．
【考点】运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x110、用定义证明函数在上单调递减，则，上单调递增；
【证明】设，则．
由，可得，，所以，，，
故函数在上单调递减．
设，同理可得，
即，故函数在，上单调递增．
【考点】函数单调性的定义与证明方法。
【附录】相关考点
考点一 增函数与减函数 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1考点二 严格增函数与严格减函数 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集；对于区间I上的任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数；
【说明】“严格增”、“严格减”、“增”及“减”统称为函数的单调性；.
考点三 单调函数与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x)在区间I上是单调函数；
并称区间I是函数y=f(x)的一个单调区间；
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）