5.2.3 函数的最值 “四基”测试题（含解析） 2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 【建议用时：40分钟】
【学生版】
《第 5 章　函数的概念 性质及应用》【5.2.3 函数的最值】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、函数f(x)=x+1在x∈[－1，1]上的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
2、已知函数f(x)在区间[－2,2]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是________
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
4、函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是_______
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
5、用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_____________m.
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
6、函数f(x)＝的最大值为
7、若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．
8、已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围是
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值；
10、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]；
（1）当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）若y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围。
【附录】相关考点
考点一 函数的最大值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0)，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≤f(x0)都成立，那么f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最大值；
考点二 函数的最小值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0)，对于定义域内任意给定的x，如果f(x) ≥f(x0)都成立，那么f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最小值；
备注：若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值（只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值）
【教师版】
《第 5 章　函数的概念 性质及应用》【5.2.3 函数的最值】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、函数f(x)=x+1在x∈[－1，1]上的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【提示】注意易错函数的性质；
【答案】D
【解析】因为，f(x)=x+1在x∈[－1,1]上单调递增，所以，f(x)max=f(1)=2；
【考点】本题属于利用函数单调性求最值；
2、已知函数f(x)在区间[－2,2]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2
【提示】注意：函数的图像表示与最值的关联；
【答案】C；
【解析】由图像可知,该函数的最小值为f(－2)，最大值为f(1)=2；
【考点】通过本题理解，从函数图像如何“看”与求函数的最值；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、函数f(x)＝2－在区间[1，3]上的最大值是________
【提示】注意函数的单调性；
【答案】1；
【解析】因为f(x)＝2－在[1，3]上为单调增函数，所以f(x)的最大值为f(3)＝2－1＝1；
【考点】本题揭示利用函数单调性求最值；
4、函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是_______
【提示】注意函数的单调性；
【答案】；
【解析】易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝，ymax＝1，所以ymax－ymin＝1－＝
【考点】本题揭示利用函数单调性求最值；
5、用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_____________m.
【提示】注意先建立函数关系，再据解析式求最值；
【答案】3；
【解析】设隔墙的长为x m，矩形面积为S m2，则S＝x·＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，S有最大值18；
【考点】本题是利用一元二次函数在给定区间上求最值；
6、函数f(x)＝的最大值为
【提示】利用两个初等函数在给定区间上求最值；
【答案】2；
【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2；综上可得，f(x)的最大值为2；
【考点】对于分段函数求最值主要是分别求之，然后再综合归纳；
7、若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．
【提示】按一元二次函数，配方解之；
【答案】6
【解析】函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是直线x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6；故实数m的值为6；
8、已知－x2＋4x＋a≥0在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围是
【提示】注意等价转化；
【答案】[0，＋∞)；
【解析】方法1、－x2＋4x＋a≥0，即a≥x2－4x，x∈[0，1]，也就是a应大于或等于f(x)＝x2－4x在[0，1]上的最大值，函数f(x)＝x2－4x在x∈[0，1]的最大值为0，所以，a≥0；
方法2、设f(x)＝－x2＋4x＋a，由题意知解得a≥0，答案：[0，＋∞)
【考点】函数最值的应用之一；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、求函数f(x)＝在区间[2，5]上的最大值与最小值；
【提示】利用求最值的基本方法：证明单调性；
【解析】任取2≤x1因为2≤x10，x1－1>0，所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)＝在区间[2，5]上是单调减函数；所以f(x)max＝f(2)＝＝2，f(x)min＝f(5)＝＝；
【考点】本题说明，求函数最值的基本方法是：先证明函数的单调性；再注意给定函数的定义域；
10、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]；
（1）当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）若y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围。
【提示】注意：先将已知的一元二次函数进行配方；
【解析】（1）当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5，5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值为1，当x＝－5时，f(x)取得最大值为37；
（2）函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图像的对称轴为直线x＝－a，
因为f(x)在[－5，5]上是单调的，故－a≤－5或－a≥5；
即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5，即：(－∞,－5]或[5，+∞)；
【附录】相关考点
考点一 函数的最大值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0)，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≤f(x0)都成立，那么f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最大值；
考点二 函数的最小值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0)，对于定义域内任意给定的x，如果f(x) ≥f(x0)都成立，那么f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最小值；
备注：若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值（只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值）
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）