5.3.3 用二分法求函数的零点 “四基”测试题（含解析）2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 【建议用时：40分钟】
【学生版】
《第 5 章　函数的概念 性质及应用》【5.3.3 用二分法求函数的零点】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　)
A. B. C. D.
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
2、利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 …
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
那么方程2x＝x2有一个根位于区间（ ）
A．(－1.6，－1.2)内 B．(－1.2，－0.8)内 C．(－0.8，－0.6)内 D．(－0.6，－0.2)内
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【说明】；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f(x0)＝_______
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
4、已知二次函数在区间[1，5]上的图象是一条连续的曲线，且，，由零点存在性定理可知函数在[1，5]内有零点，用二分法求解时，取（1，5）的中点a，则___________
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
5、在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_____．
【提示】；
【答案】；
【解析】；
【考点】；
6、用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
7、某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是
8、关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________.
①“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有根得到；
②“二分法”求方程的近似解有可能得到在内的重根；
③“二分法”求方程的近似解有可能得到在内没有根；
④“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
10、已知方程2x＋2x＝5.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间；
（2）用二分法求出方程的近似解（精确度0.1）；
参考数值：
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
【附录】相关考点
考点一 零点存在定理 如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一段连续曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点；
考点二 二分法 二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.（2）求区间(a，b)的中点c.（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）；
【教师版】
《第 5 章　函数的概念 性质及应用》【5.3.3 用二分法求函数的零点】
一、选择题（每小题6分，共12分）
1、下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　)
A. B. C. D.
【提示】初步理解二分法的应用；
【答案】D；
【解析】对于A，解方程，得，对于B，解方程，得，对于C，解方程，得，对于D，无法通过方程直接得到零点，故选D；
【考点】通过本题说明二分法适用于近似计算；
2、利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 …
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
那么方程2x＝x2有一个根位于区间（ ）
A．(－1.6，－1.2)内 B．(－1.2，－0.8)内 C．(－0.8，－0.6)内 D．(－0.6，－0.2)内
【提示】熟悉函数的表示与会数据处理；
【答案】C；
【解析】设f(x)＝2x－x2，则f(－1.2)＝0.4353－1.44<0，f(－0.8)＝0.5743－0.64<0，f(－0.6)＝0.6598－0.36>0，
所以，函数f(x)在区间(－0.8，－0.6)内必有一个零点；所以方程2x＝x2有一个根位于区间(－0.8，－0.6)，
故选：C；
【说明】会使用已知数据结合零点存在定理进行解答；
二、填充题（每小题10分，共60分）
3、已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f(x0)＝_______
【提示】了解二分法的操作步骤；
【答案】－1.625；
【解析】由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625；
【考点】其本质就是已知自变量求函数值；
4、已知二次函数在区间[1，5]上的图象是一条连续的曲线，且，，由零点存在性定理可知函数在[1，5]内有零点，用二分法求解时，取（1，5）的中点a，则___________
【提示】了解二分法的操作步骤；
【答案】0；
【解析】由于（1，5）的中点为3，则=0．故答案为：0；
【考点】依据二分法的操作步骤求函数值；
5、在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_____．
【提示】了解二分法的操作步骤；并关注“精确到0.1”；
【答案】0.7
【解析】已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，
又，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7；因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值；故答案为：0.7；
【考点】解答本题审题与明确题意是关键；
6、用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
【提示】了解二分法的操作步骤；并关注“下一个有根区间”；
【答案】
【解析】因为，，，，
所以下一个有根区间为，故答案为：
7、某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是
【提示】了解二分法的操作步骤；
【答案】1．5，1.75，1.875，1.812 5；
【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)；
【考点】本题说明了如何规范操作二分法；
8、关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________.
①“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有根得到；
②“二分法”求方程的近似解有可能得到在内的重根；
③“二分法”求方程的近似解有可能得到在内没有根；
④“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；
【提示】了解二分法的操作步骤；
【答案】④；
【解析】利用二分法求方程在内的根，即在区间内肯定有根存在，
而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解；故答案为：④；
【考点】通过本题说明：对于二分法关键是理解与按步骤操作；
三、解答题（第9题12分，第10题16分）
9、以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
【解析】因为方程为x3＋3x－5＝0，令f(x)=x3＋3x－5，
所以f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1，125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.
故答案为：－5，－1，9，31，，表见解析；
【考点】本题属于二分法求方程近似解的过程；
10、已知方程2x＋2x＝5.
（1）判断该方程解的个数以及所在区间；
（2）用二分法求出方程的近似解（精确度0.1）；
参考数值：
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
【提示】注意二分法的操作步骤；理解“精确度0.1；|b－a|<0.1”
【解析】（1）令f(x)＝2x＋2x－5,因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．
因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内;
（2）用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
(1,2) 1.5 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函数的零点近似值为1.312 5，即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5；
【附录】相关考点
考点一 零点存在定理 如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一段连续曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在区间(a，b)上一定有零点；
考点二 二分法 二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.（2）求区间(a，b)的中点c.（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）；
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普通高中教科书 数学 必修 第一册（上海教育出版社）