人教新版2021年九年级下册第28章《锐角三角函数》单元练习卷（word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 人教新版2021年九年级下册第28章《锐角三角函数》单元练习卷（word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 354.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 08:17:40 | ||
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文档简介
人教新版九年级下册《第28章 锐角三角函数》2021年单元测试卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（4）
一．选择题（共10小题）
1．sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．计算：cos245°+sin245°＝（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
8．已知tanα＝1，那么的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则sin∠DCB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
二．填空题（共6小题）
11．求值：sin60°﹣tan30°＝ ．
12．比较下列三角函数值的大小：sin40° sin50°．
13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
14．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 米．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝ ．
16．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
三．解答题（共4小题）
17．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
18．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．
19．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
20．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）
人教新版九年级下册《第28章 锐角三角函数》2021年单元测试卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（4）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：sin60°＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．计算：cos245°+sin245°＝（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】首先根据cos45°＝sin45°＝，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°＝sin45°＝，
∴cos245°+sin245°
＝
＝
＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由勾股定理得OA＝＝5，
所以cosα＝．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
4．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选：D．
【点评】理解锐角三角函数的概念．
5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢楼的高度AB．
【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴FG＝＝，
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，
∴CG＝＝AG．
又∵CG﹣FG＝30m，
即AG﹣＝30m，
∴AG＝15m，
∴AB＝（15+2）m．
故选：D．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
【分析】过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，
故CP＝AP＝40（海里），
则PB＝＝40（海里）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴AC＝BC×＝6（米），
∴AB＝＝＝12（米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
8．已知tanα＝1，那么的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】将分子分母同时除以cosα，把原式转化为关于tanα的式子解答．
【解答】解：由于tanα＝＝1，
∴原式＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题利用了同角的三角函数的关系中的tanα＝进行化简求值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则sin∠DCB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用等角的余角得到∠A＝∠DCB，然后根据正弦的定义求出sinA即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
而∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
而sinA＝＝，
∴sin∠DCB＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
10．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM＝3sin50°，利用三角形面积公式得到S1＝BC AM＝sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN＝7sin50°，则S2＝EF DN＝sin50°，于是可判断S1＝S2．
【解答】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B＝，
∴AM＝3sin50°，
∴S1＝BC AM＝×7×3sin50°＝sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN＝180°﹣130°＝50°，
∵sin∠DEN＝，
∴DN＝7sin50°，
∴S2＝EF DN＝×3×7sin50°＝sin50°，
∴S1＝S2．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形面积公式．
二．填空题（共6小题）
11．求值：sin60°﹣tan30°＝ ．
【分析】根据sin60°＝，tan30°＝得到原式＝﹣，然后通分合并即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝，tan30°＝．也考查了二次根式的运算．
12．比较下列三角函数值的大小：sin40° ＜ sin50°．
【分析】根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．
【解答】解：∵40°＜50°，
∴sin40°＜sin50°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大．
13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
14．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 1000 米．
【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB＝200米，∠A＝30°，求出BC的长度即可．
【解答】解：过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB＝2000米，∠A＝30°，
∴BC＝ABsin30°＝2000×＝1000（米）．
故答案为：1000．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识进行求解．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：∵3a＝b，
∴＝；
令a＝，
则b＝3；c＝＝2．
∴sinA＝＝．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
16．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 （15+15） 米（结果保留根号）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三．解答题（共4小题）
17．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
【分析】分别把tan30°＝，sin60°＝，sin45°＝代入原式计算即可．
【解答】解：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
18．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．
【分析】根据零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
19．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）由垂直的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得出AD＝＝12，中由勾股定理得出BD＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，得出BC＝BD+CD＝25，证出AB2+AC2＝BC2，由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∴BD＝＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+9＝25，
∵AB＝20，AC＝15，
∴AB2+AC2＝202+152＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）
【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB，过D作DF⊥AB于F，根据△ADF是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB＝AC sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠ADF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF＝x sin45°，
∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x sin60°﹣x sin45°＝1.6，
解得：x＝10，
∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），
EC＝EB﹣CB＝x cos45°﹣x cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）
答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握三角函数，根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．
2021/11/29 13:53:33；
一．选择题（共10小题）
1．sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．计算：cos245°+sin245°＝（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
8．已知tanα＝1，那么的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则sin∠DCB的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
二．填空题（共6小题）
11．求值：sin60°﹣tan30°＝ ．
12．比较下列三角函数值的大小：sin40° sin50°．
13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 ．
14．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 米．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝ ．
16．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）．
三．解答题（共4小题）
17．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
18．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．
19．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
20．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）
人教新版九年级下册《第28章 锐角三角函数》2021年单元测试卷（广东省潮州市饶平县英才实验中学）（4）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．sin60°的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：sin60°＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．计算：cos245°+sin245°＝（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】首先根据cos45°＝sin45°＝，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°＝sin45°＝，
∴cos245°+sin245°
＝
＝
＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．
【解答】解：由勾股定理得OA＝＝5，
所以cosα＝．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
4．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值．
【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
若各边长都扩大2倍，则sinA的值不变．
故选：D．
【点评】理解锐角三角函数的概念．
5．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢楼的高度AB．
【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，
∴FG＝＝，
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，
∴CG＝＝AG．
又∵CG﹣FG＝30m，
即AG﹣＝30m，
∴AG＝15m，
∴AB＝（15+2）m．
故选：D．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．40海里 C．80海里 D．40海里
【分析】过点P作垂直于AB的辅助线PC，利三角函数解三角形，即可得出答案．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，
故CP＝AP＝40（海里），
则PB＝＝40（海里）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键．
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴AC＝BC×＝6（米），
∴AB＝＝＝12（米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
8．已知tanα＝1，那么的值等于（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】将分子分母同时除以cosα，把原式转化为关于tanα的式子解答．
【解答】解：由于tanα＝＝1，
∴原式＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题利用了同角的三角函数的关系中的tanα＝进行化简求值．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则sin∠DCB的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用等角的余角得到∠A＝∠DCB，然后根据正弦的定义求出sinA即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
而∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
而sinA＝＝，
∴sin∠DCB＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
10．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM＝3sin50°，利用三角形面积公式得到S1＝BC AM＝sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN＝7sin50°，则S2＝EF DN＝sin50°，于是可判断S1＝S2．
【解答】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B＝，
∴AM＝3sin50°，
∴S1＝BC AM＝×7×3sin50°＝sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN＝180°﹣130°＝50°，
∵sin∠DEN＝，
∴DN＝7sin50°，
∴S2＝EF DN＝×3×7sin50°＝sin50°，
∴S1＝S2．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形面积公式．
二．填空题（共6小题）
11．求值：sin60°﹣tan30°＝ ．
【分析】根据sin60°＝，tan30°＝得到原式＝﹣，然后通分合并即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝，tan30°＝．也考查了二次根式的运算．
12．比较下列三角函数值的大小：sin40° ＜ sin50°．
【分析】根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．
【解答】解：∵40°＜50°，
∴sin40°＜sin50°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：对于正弦函数，当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大．
13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为 2 ．
【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
14．如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了 1000 米．
【分析】过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB＝200米，∠A＝30°，求出BC的长度即可．
【解答】解：过点B作BC⊥水平面于点C，
在Rt△ABC中，
∵AB＝2000米，∠A＝30°，
∴BC＝ABsin30°＝2000×＝1000（米）．
故答案为：1000．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识进行求解．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果3a＝b，那么sinA＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：∵3a＝b，
∴＝；
令a＝，
则b＝3；c＝＝2．
∴sinA＝＝．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；
sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
16．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 （15+15） 米（结果保留根号）．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15；可得CE＝BE×tan45°＝15米．
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15米．
答：教学楼AC的高度是（15）米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三．解答题（共4小题）
17．计算：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
【分析】分别把tan30°＝，sin60°＝，sin45°＝代入原式计算即可．
【解答】解：6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查的是特殊角的三角函数值的知识点，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
18．计算：﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．
【分析】根据零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣1+4﹣2
＝3．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
19．如图，在△ABC中；AD⊥BC，AB＝20，AC＝15，CD＝9
（1）求BD的长；
（2）求∠BAC的度数．
【分析】（1）由垂直的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得出AD＝＝12，中由勾股定理得出BD＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，得出BC＝BD+CD＝25，证出AB2+AC2＝BC2，由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝12，
∴BD＝＝＝16；
（2）由（1）得：BD＝16，
∴BC＝BD+CD＝16+9＝25，
∵AB＝20，AC＝15，
∴AB2+AC2＝202+152＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）
【分析】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB，过D作DF⊥AB于F，根据△ADF是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设绳子AC的长为x米；
在△ABC中，AB＝AC sin60°，
过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠ADF＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF＝x sin45°，
∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x sin60°﹣x sin45°＝1.6，
解得：x＝10，
∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），
EC＝EB﹣CB＝x cos45°﹣x cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）
答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握三角函数，根据题意得出方程是解决问题的关键，本题难度适中．
2021/11/29 13:53:33；