2021年人教新版九年级下册：26.1《反比例函数》 同步练习卷（word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年人教新版九年级下册：26.1《反比例函数》 同步练习卷（word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 602.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 08:06:27 | ||
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文档简介
人教新版九年级下册《26.1 反比例函数》2021年同步练习卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）
一．选择题（共9小题）
1．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
2．如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
4．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
6．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
7．如图，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，则的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：7 D．3：10
8．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为 ．
11．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为 ．
12．已知双曲线y＝（x＜0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于D、E两点，且BD＝2AD，若矩形OABC的面积为6，则k＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
14．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y＝（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF＝7，k1+3k2＝0，则k1等于 ．
15．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝ ．
三．解答题（共5小题）
16． ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝（m＞0）在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点．
（1）连接OE，若△ABE的面积为S1，△OCE的面积为S2，则S1 S2（直接填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求y1和y2的解析式；
（3）请直接写出当x取何值时y1＞y2．
17．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k1与k2的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．
18．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
20．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
人教新版九年级下册《26.1 反比例函数》2021年同步练习卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
【解答】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y＝﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA＝PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3
∴△POA的面积是6
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
2．如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【分析】依据点C在双曲线y＝上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC＝BC，即可得到﹣＝3a﹣a，进而得出a＝1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC＝BC＝2，进而得到Rt△ABC中，AB＝2．
【解答】解：点C在双曲线y＝上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC＝BC，
∴﹣＝3a﹣a，
解得a＝1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC＝BC＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知y＝x2图象上点横坐标互为相反数，则x1+x2+x3＝x3，再由反比例函数性质可求x3．
【解答】解：设点A、B在二次函数y＝x2图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2＝0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3＝
∴ω＝x1+x2+x3＝x3＝
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的轴对称性，二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称轴对称．
4．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝的系数2＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵k＞0，函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查了由反比例函数的图象和性质确定y2，y1，y3的关系．注意是在每个象限内，y随x的增大而减小．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系．
5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故选：D．
【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
6．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，AB＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
7．如图，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，则的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：7 D．3：10
【分析】（方法一）联立直线AB与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由BD∥x轴可得出点D的坐标，由点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出的值．
（方法二）设点A的坐标为（a，﹣a），则点B的坐标为（﹣a，a），点D的坐标为（0，a），反比例函数解析式为y＝﹣，由点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出的值．
【解答】解：（方法一）联立直线AB及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点B的坐标为（﹣，），点A的坐标为（，﹣）．
∵BD∥x轴，
∴点D的坐标为（0，）．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
将A（，﹣）、D（0，）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
∴＝＝．
（方法二）设点A的坐标为（a，﹣a），则点B的坐标为（﹣a，a），点D的坐标为（0，a），反比例函数解析式为y＝﹣．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
将A（a，﹣a），D（0，a）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+a．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣a，2a）．
∵点A的坐标为（a，﹣a），点B的坐标为（﹣a，a），
∴BC＝＝a，AC＝＝a，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及待定系数法求一次函数解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点的坐标是解题的关键．
8．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【解答】
解：
过点D做DF⊥BC于F
由已知，BC＝5
∵四边形ABCD是菱形
∴DC＝5
∵BE＝3DE
∴设DE＝x，则BE＝3x
∴DF＝3x，BF＝x，FC＝5﹣x
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2
∴（3x）2+（5﹣x）2＝52
∴解得x＝1
∴DE＝1，FD＝3
设OB＝a
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）
∵点D、C在双曲线上
∴1×（a+3）＝5a
∴a＝
∴点C坐标为（5，）
∴k＝
故选：C．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．
【解答】解：连接AC，BD，AC与BD、x轴分别交于点E、F．
由已知，A、B横坐标分别为1，4
∴BE＝3
∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线
∴S菱形ABCD＝4×AE BE＝
∴AE＝
设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）
∵点A、B同在y＝图象上
∴4y＝1 （y+）
∴y＝
∴B点坐标为（4，）
∴k＝5
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．
二．填空题（共6小题）
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为 7 ．
【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG＝DH＝﹣x﹣1，由DG＝BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．
【解答】解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，
设D（x，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB，
∴AG＝DH＝﹣x﹣1，
∴DG＝BM，
∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，
由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，
x＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，
∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为﹣4，
当y＝﹣4时，x＝﹣，
∴E（﹣，﹣4），
∴EH＝2﹣＝，
∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，
∴S△CEB＝CE BM＝××4＝7；
故答案为：7．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．
11．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为 （8，） ．
【分析】解法1：先连接AD并延长，交x轴于E，构造等腰△CDE，进而得到点E的坐标，根据待定系数法求得直线AE的解析式，再解方程组即可得到点D的坐标；
解法2：过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，依据△AOG∽△DCH，即可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，进而得出D（13﹣8k，12k），再根据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，即可得到k的值，进而求得D的坐标．
【解答】解法1：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由A（5，12），可得AO＝＝13，
∴BC＝13，
∵AB∥CE，AB＝BD，
∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，
∴OE＝13，
∴E（13，0），
由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y＝﹣x+，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y＝，
解方程组，可得，，
∴点D的坐标为（8，）．
解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，
∵点A（5，12），
∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，
∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，
∴△AOG∽△DCH，
∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，
∴BD＝13﹣13k，
∴OC＝AB＝13﹣13k，
∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，
∴D（13﹣8k，12k），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，
∴5×12＝（13﹣8k）×12k，
解得k＝，
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
12．已知双曲线y＝（x＜0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于D、E两点，且BD＝2AD，若矩形OABC的面积为6，则k＝ 2 ．
【分析】连接BO，依据BD＝2AD，矩形OABC的面积为6，即可得到△AOD的面积为1，进而得出k的值．
【解答】解：如图，连接BO，
∵矩形OABC的面积为6，
∴△ABO的面积为3，
又∵BD＝2AD，
∴△AOD的面积为1，
即|k|＝1，
解得k＝±2，
又∵k＞0，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过作垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，
在Rt△BCN中，
NC＝BC，
∴＝（3﹣a），
解得：a＝，x＝（舍去）
故答案为：．
【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的a的值．
14．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y＝（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF＝7，k1+3k2＝0，则k1等于 9 ．
【分析】设出点A坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示△BEF的面积，构造方程．
【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0）
由图象可知，点C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），F（﹣，）
矩形ABCD面积为：2a ＝2k1
∴S△DEF＝
S△BCF＝
S△ABE＝
∵S△BEF＝7
∴2k1+﹣+k2＝7 ①
∵k1+3k2＝0
∴k2＝﹣k1代入①式得
解得k1＝9
故答案为：9
【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程．
15．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝ 2 ．
【分析】首先根据a1＝﹣1，求出a2＝2，a3＝，a4＝﹣1，a5＝2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
【解答】解：∵a1＝﹣1，
∴B1的坐标是（﹣1，1），
∴A2的坐标是（2，1），
即a2＝2，
∵a2＝2，
∴B2的坐标是（2，﹣），
∴A3的坐标是（，﹣），
即a3＝，
∵a3＝，
∴B3的坐标是（，﹣2），
∴A4的坐标是（﹣1，﹣2），
即a4＝﹣1，
∵a4＝﹣1，
∴B4的坐标是（﹣1，1），
∴A5的坐标是（2，1），
即a5＝2，
…，
∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、，
∵2015÷3＝671…2，
∴a2015是第672个循环的第2个数，
∴a2015＝2．
故答案为：2．
【点评】（1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
三．解答题（共5小题）
16． ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝（m＞0）在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点．
（1）连接OE，若△ABE的面积为S1，△OCE的面积为S2，则S1 ＝ S2（直接填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求y1和y2的解析式；
（3）请直接写出当x取何值时y1＞y2．
【分析】（1）应用同底等高的两个三角形面积相等；
（2）用待定系数法求函数关系式；
（3）函数值的大小比较反映到函数图象上是比较函数纵坐标的高低．
【解答】解：（1）由图形可知△ABE和△OCE底边相等，高相等
故答案为：＝
（2）∵A（3，4）在双曲线上
∴m＝xy＝12
∴双曲线y2＝
∵A（3，4），E是BC的中点
∴点E纵坐标为2
∵点E在双曲线y2＝
∴点E坐标为（6，2）
把点E（6，2），A（3，4）代入y1＝kx+b得
解得
∴y1的解析式为：y1＝﹣
（3）当y1＞y2时，y1的图象高于y2的图象．
则对应x的取值范围为：3＜x＜6
【点评】本题综合考察一次函数和反比例函数性质，应用了待定系数法求函数关系式，通过观察两函数图象高低比较函数值大小．
17．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k1与k2的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．
【分析】（1）把点P（2，4）代入直线y＝k1x，把点P（2，4）代入双曲线y＝，可得k1与k2的值；
（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．
【解答】解：（1）把点P（2，4）代入直线y＝k1x，可得4＝2k1，
∴k1＝2，
把点P（2，4）代入双曲线y＝，可得k2＝2×4＝8；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO＝4，BO＝3，
如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P＝AO＝4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点C的横坐标为2+4＝6，
当x＝6时，y＝＝，即C（6，），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
把P（2，4），C（6，）代入可得
，解得，
∴直线PC的表达式为y＝﹣x+；
（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D＝4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E＝2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积＝BO×B'E+AO×A'D＝3×2+4×4＝22．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用以及平移的性质的运用，解决问题的关键是将线段AB扫过的面积转化为平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积．
18．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx﹣1＝2x，整理得：（3m﹣2）x＝1，分两种情况讨论：当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x＝，当3m﹣2＝0，即m＝时，x无解，即可解答．
【解答】解：∵点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a＝4，
∵点M（2，4）在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为．
（2）假设函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有3mx﹣1＝2x，
整理得：（3m﹣2）x＝1，
当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x＝，
当3m﹣2＝0，即m＝时，x无解，
综上所述，当m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（）；
当m＝时，函数图象上不存在“理想点”．
【点评】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解决本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
【分析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，把x＝4代入y＝﹣x+，得y＝，可求点M的坐标为（4，），把y＝2代入y＝﹣x+，得x＝1，可求点N的坐标为（1，2），根据待定系数法可求函数y＝（x＞0）的解析式，再图象过点M，把N（1，2）代入y＝，即得作出判断；
（2）设直线M'N′的解析式为y＝﹣x+b，由得x2﹣2bx+4＝0，再根据判别式即可求解．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），
∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，
把x＝4代入y＝﹣x+，得y＝，
∴点M的坐标为（4，），
把y＝2代入y＝﹣x+，得x＝1，
∴点N的坐标为（1，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象过点M，
∴k＝4×＝2，
∴y＝（x＞0），
把N（1，2）代入y＝，得2＝2，
∴点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）设直线M'N′的解析式为y＝﹣x+b，
由得x2﹣2bx+4＝0，
∵直线y＝﹣x+b与函数y＝（x＞0）的图象仅有一个交点，
∴（﹣2b）2﹣4×4＝0，
解得b＝2，b2＝﹣2（舍去），
∴直线M'N′的解析式为y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．
20．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；
（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据△ACD的面积＝△AOD+△COD的面积，可以求得DM的长，即DM的长就是点D到直线AC的距离．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴3＝，点C与点A关于原点O对称，
∴k＝6，C（﹣2，﹣3），
即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，
∵点A（2，3），k＝6，
∴AN＝2，
∵△APO的面积为2，
∴，
即，得OP＝2，
∴点P（0，2），
设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
，得，
∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝0.5x+2，
当y＝0时，0＝0.5x+2，得x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，0），
∵点A（2，3），
∴OA＝＝，
∵点A和点C关于点O对称，
∴OA＝OC＝，
∴，
即，
解得，DM＝，
即点D到直线AC的直线得距离为．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
2021/11/29 13:52:53；
一．选择题（共9小题）
1．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
2．如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
4．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
6．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
7．如图，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，则的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：7 D．3：10
8．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为 ．
11．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为 ．
12．已知双曲线y＝（x＜0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于D、E两点，且BD＝2AD，若矩形OABC的面积为6，则k＝ ．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
14．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y＝（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF＝7，k1+3k2＝0，则k1等于 ．
15．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝ ．
三．解答题（共5小题）
16． ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝（m＞0）在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点．
（1）连接OE，若△ABE的面积为S1，△OCE的面积为S2，则S1 S2（直接填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求y1和y2的解析式；
（3）请直接写出当x取何值时y1＞y2．
17．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k1与k2的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．
18．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
20．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
人教新版九年级下册《26.1 反比例函数》2021年同步练习卷（江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
【解答】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y＝﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA＝PO
∴B为OA中点．
∴S△PAB＝S△POB
由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3
∴△POA的面积是6
故选：B．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数k的几何意义．
2．如图，点A，B在双曲线y＝（x＞0）上，点C在双曲线y＝（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB等于（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【分析】依据点C在双曲线y＝上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a，），则B（3a，），A（a，），依据AC＝BC，即可得到﹣＝3a﹣a，进而得出a＝1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC＝BC＝2，进而得到Rt△ABC中，AB＝2．
【解答】解：点C在双曲线y＝上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，），则B（3a，），A（a，），
∵AC＝BC，
∴﹣＝3a﹣a，
解得a＝1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC＝BC＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
3．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为（ ）
A．1 B．m C．m2 D．
【分析】三个点的纵坐标相同，由图象可知y＝x2图象上点横坐标互为相反数，则x1+x2+x3＝x3，再由反比例函数性质可求x3．
【解答】解：设点A、B在二次函数y＝x2图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．因为AB两点纵坐标相同，则A、B关于y轴对称，则x1+x2＝0，因为点C（x3，m）在反比例函数图象上，则x3＝
∴ω＝x1+x2+x3＝x3＝
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象的轴对称性，二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称轴对称．
4．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】先根据反比例函数y＝的系数2＞0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵k＞0，函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查了由反比例函数的图象和性质确定y2，y1，y3的关系．注意是在每个象限内，y随x的增大而减小．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系．
5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．9 C． D．
【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，AC＝，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝＝，
∴OD＝3+＝
∴B（，）代入y＝得：k＝，
故选：D．
【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
6．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，AB＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
7．如图，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，则的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：7 D．3：10
【分析】（方法一）联立直线AB与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由BD∥x轴可得出点D的坐标，由点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出的值．
（方法二）设点A的坐标为（a，﹣a），则点B的坐标为（﹣a，a），点D的坐标为（0，a），反比例函数解析式为y＝﹣，由点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出的值．
【解答】解：（方法一）联立直线AB及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点B的坐标为（﹣，），点A的坐标为（，﹣）．
∵BD∥x轴，
∴点D的坐标为（0，）．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
将A（，﹣）、D（0，）代入y＝mx+n，
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣，2）．
∴＝＝．
（方法二）设点A的坐标为（a，﹣a），则点B的坐标为（﹣a，a），点D的坐标为（0，a），反比例函数解析式为y＝﹣．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
将A（a，﹣a），D（0，a）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+a．
联立直线AD及反比例函数解析式成方程组，，
解得：，，
∴点C的坐标为（﹣a，2a）．
∵点A的坐标为（a，﹣a），点B的坐标为（﹣a，a），
∴BC＝＝a，AC＝＝a，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及待定系数法求一次函数解析式，联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点的坐标是解题的关键．
8．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
【解答】
解：
过点D做DF⊥BC于F
由已知，BC＝5
∵四边形ABCD是菱形
∴DC＝5
∵BE＝3DE
∴设DE＝x，则BE＝3x
∴DF＝3x，BF＝x，FC＝5﹣x
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2
∴（3x）2+（5﹣x）2＝52
∴解得x＝1
∴DE＝1，FD＝3
设OB＝a
则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a）
∵点D、C在双曲线上
∴1×（a+3）＝5a
∴a＝
∴点C坐标为（5，）
∴k＝
故选：C．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数k值性质．解题关键是通过勾股定理构造方程．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】根据题意，利用面积法求出AE，设出点B坐标，表示点A的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为k构造方程求k．
【解答】解：连接AC，BD，AC与BD、x轴分别交于点E、F．
由已知，A、B横坐标分别为1，4
∴BE＝3
∵四边形ABCD为菱形，AC、BD为对角线
∴S菱形ABCD＝4×AE BE＝
∴AE＝
设点B的坐标为（4，y），则A点坐标为（1，y+）
∵点A、B同在y＝图象上
∴4y＝1 （y+）
∴y＝
∴B点坐标为（4，）
∴k＝5
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与k之间的关系．
二．填空题（共6小题）
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为 7 ．
【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG＝DH＝﹣x﹣1，由DG＝BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．
【解答】解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，
设D（x，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
易得△AGD≌△DHC≌△CMB，
∴AG＝DH＝﹣x﹣1，
∴DG＝BM，
∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，
由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，
x＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，
∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，
∴点E的纵坐标为﹣4，
当y＝﹣4时，x＝﹣，
∴E（﹣，﹣4），
∴EH＝2﹣＝，
∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，
∴S△CEB＝CE BM＝××4＝7；
故答案为：7．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．
11．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB＝BD，则点D的坐标为 （8，） ．
【分析】解法1：先连接AD并延长，交x轴于E，构造等腰△CDE，进而得到点E的坐标，根据待定系数法求得直线AE的解析式，再解方程组即可得到点D的坐标；
解法2：过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，依据△AOG∽△DCH，即可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，进而得出D（13﹣8k，12k），再根据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，即可得到k的值，进而求得D的坐标．
【解答】解法1：如图，连接AD并延长，交x轴于E，
由A（5，12），可得AO＝＝13，
∴BC＝13，
∵AB∥CE，AB＝BD，
∴∠CED＝∠BAD＝∠ADB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
∴AB+CE＝BD+CD＝13，即OC+CE＝13，
∴OE＝13，
∴E（13，0），
由A（5，12），E（13，0），可得AE的解析式为y＝﹣x+，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k＝12×5＝60，
∴反比例函数的解析式为y＝，
解方程组，可得，，
∴点D的坐标为（8，）．
解法2：如图，过D作DH⊥x轴于H，过A作AG⊥x轴于G，
∵点A（5，12），
∴OG＝5，AG＝12，AO＝13＝BC，
∵∠AOG＝∠DCH，∠AGO＝∠DHC＝90°，
∴△AOG∽△DCH，
∴可设CH＝5k，DH＝12k，CD＝13k，
∴BD＝13﹣13k，
∴OC＝AB＝13﹣13k，
∴OH＝13﹣13k+5k＝13﹣8k，
∴D（13﹣8k，12k），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（5，12）和点D，
∴5×12＝（13﹣8k）×12k，
解得k＝，
∴D的坐标为（8，）．
故答案为：（8，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
12．已知双曲线y＝（x＜0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于D、E两点，且BD＝2AD，若矩形OABC的面积为6，则k＝ 2 ．
【分析】连接BO，依据BD＝2AD，矩形OABC的面积为6，即可得到△AOD的面积为1，进而得出k的值．
【解答】解：如图，连接BO，
∵矩形OABC的面积为6，
∴△ABO的面积为3，
又∵BD＝2AD，
∴△AOD的面积为1，
即|k|＝1，
解得k＝±2，
又∵k＞0，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
13．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过作垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，
在Rt△BCN中，
NC＝BC，
∴＝（3﹣a），
解得：a＝，x＝（舍去）
故答案为：．
【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的a的值．
14．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，反比例函数y＝（x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF＝7，k1+3k2＝0，则k1等于 9 ．
【分析】设出点A坐标，根据函数关系式分别表示各点坐标，根据割补法表示△BEF的面积，构造方程．
【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0）
由图象可知，点C（a，），E（﹣a，﹣），D（﹣a，），F（﹣，）
矩形ABCD面积为：2a ＝2k1
∴S△DEF＝
S△BCF＝
S△ABE＝
∵S△BEF＝7
∴2k1+﹣+k2＝7 ①
∵k1+3k2＝0
∴k2＝﹣k1代入①式得
解得k1＝9
故答案为：9
【点评】本题是反比例函数综合题，解题关键是设出点坐标表示相关各点，应用面积法构造方程．
15．如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y＝x﹣1上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线y＝﹣上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若a1＝﹣1，则a2015＝ 2 ．
【分析】首先根据a1＝﹣1，求出a2＝2，a3＝，a4＝﹣1，a5＝2，…，所以a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a2015是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．
【解答】解：∵a1＝﹣1，
∴B1的坐标是（﹣1，1），
∴A2的坐标是（2，1），
即a2＝2，
∵a2＝2，
∴B2的坐标是（2，﹣），
∴A3的坐标是（，﹣），
即a3＝，
∵a3＝，
∴B3的坐标是（，﹣2），
∴A4的坐标是（﹣1，﹣2），
即a4＝﹣1，
∵a4＝﹣1，
∴B4的坐标是（﹣1，1），
∴A5的坐标是（2，1），
即a5＝2，
…，
∴a1，a2，a3，a4，a5，…，每3个数一个循环，分别是﹣1、2、，
∵2015÷3＝671…2，
∴a2015是第672个循环的第2个数，
∴a2015＝2．
故答案为：2．
【点评】（1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
三．解答题（共5小题）
16． ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y1＝kx+b与双曲线y2＝（m＞0）在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点．
（1）连接OE，若△ABE的面积为S1，△OCE的面积为S2，则S1 ＝ S2（直接填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求y1和y2的解析式；
（3）请直接写出当x取何值时y1＞y2．
【分析】（1）应用同底等高的两个三角形面积相等；
（2）用待定系数法求函数关系式；
（3）函数值的大小比较反映到函数图象上是比较函数纵坐标的高低．
【解答】解：（1）由图形可知△ABE和△OCE底边相等，高相等
故答案为：＝
（2）∵A（3，4）在双曲线上
∴m＝xy＝12
∴双曲线y2＝
∵A（3，4），E是BC的中点
∴点E纵坐标为2
∵点E在双曲线y2＝
∴点E坐标为（6，2）
把点E（6，2），A（3，4）代入y1＝kx+b得
解得
∴y1的解析式为：y1＝﹣
（3）当y1＞y2时，y1的图象高于y2的图象．
则对应x的取值范围为：3＜x＜6
【点评】本题综合考察一次函数和反比例函数性质，应用了待定系数法求函数关系式，通过观察两函数图象高低比较函数值大小．
17．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k1与k2的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．
【分析】（1）把点P（2，4）代入直线y＝k1x，把点P（2，4）代入双曲线y＝，可得k1与k2的值；
（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．
【解答】解：（1）把点P（2，4）代入直线y＝k1x，可得4＝2k1，
∴k1＝2，
把点P（2，4）代入双曲线y＝，可得k2＝2×4＝8；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO＝4，BO＝3，
如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P＝AO＝4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点C的横坐标为2+4＝6，
当x＝6时，y＝＝，即C（6，），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
把P（2，4），C（6，）代入可得
，解得，
∴直线PC的表达式为y＝﹣x+；
（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D＝4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E＝2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积＝平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积＝BO×B'E+AO×A'D＝3×2+4×4＝22．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用以及平移的性质的运用，解决问题的关键是将线段AB扫过的面积转化为平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积．
18．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；
（2）假设函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx﹣1＝2x，整理得：（3m﹣2）x＝1，分两种情况讨论：当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x＝，当3m﹣2＝0，即m＝时，x无解，即可解答．
【解答】解：∵点M（2，a）是反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，
∴a＝4，
∵点M（2，4）在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为．
（2）假设函数y＝3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），
则有3mx﹣1＝2x，
整理得：（3m﹣2）x＝1，
当3m﹣2≠0，即m≠时，解得：x＝，
当3m﹣2＝0，即m＝时，x无解，
综上所述，当m≠时，函数图象上存在“理想点”，为（）；
当m＝时，函数图象上不存在“理想点”．
【点评】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解决本题的关键是理解“理想点”的定义，确定点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y＝﹣x+与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
【分析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，把x＝4代入y＝﹣x+，得y＝，可求点M的坐标为（4，），把y＝2代入y＝﹣x+，得x＝1，可求点N的坐标为（1，2），根据待定系数法可求函数y＝（x＞0）的解析式，再图象过点M，把N（1，2）代入y＝，即得作出判断；
（2）设直线M'N′的解析式为y＝﹣x+b，由得x2﹣2bx+4＝0，再根据判别式即可求解．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），
∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，
把x＝4代入y＝﹣x+，得y＝，
∴点M的坐标为（4，），
把y＝2代入y＝﹣x+，得x＝1，
∴点N的坐标为（1，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象过点M，
∴k＝4×＝2，
∴y＝（x＞0），
把N（1，2）代入y＝，得2＝2，
∴点N也在函数y＝（x＞0）的图象上；
（2）设直线M'N′的解析式为y＝﹣x+b，
由得x2﹣2bx+4＝0，
∵直线y＝﹣x+b与函数y＝（x＞0）的图象仅有一个交点，
∴（﹣2b）2﹣4×4＝0，
解得b＝2，b2＝﹣2（舍去），
∴直线M'N′的解析式为y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中．
20．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点
（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；
（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．
【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；
（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据△ACD的面积＝△AOD+△COD的面积，可以求得DM的长，即DM的长就是点D到直线AC的距离．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，
∴3＝，点C与点A关于原点O对称，
∴k＝6，C（﹣2，﹣3），
即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；
（2）过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，
∵点A（2，3），k＝6，
∴AN＝2，
∵△APO的面积为2，
∴，
即，得OP＝2，
∴点P（0，2），
设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝kx+b，
，得，
∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y＝0.5x+2，
当y＝0时，0＝0.5x+2，得x＝﹣4，
∴点D的坐标为（﹣4，0），
∵点A（2，3），
∴OA＝＝，
∵点A和点C关于点O对称，
∴OA＝OC＝，
∴，
即，
解得，DM＝，
即点D到直线AC的直线得距离为．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
2021/11/29 13:52:53；