3.2.1几类不同增长的函数模型

(共20张PPT)
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3.2.1几类不同增长的函数模型
湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰主讲
1.了解指数函数、对数函数、线性函数 (一次函数) 的增长差异.
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。
3.了解函数的建模过程。
有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？
“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ ”
　“爱卿，你所求的并不多啊！”
例1.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
提 出 问 题
x/天 方案一 方案二 方案三
y/元 增量/元 y/元 增量/元 y/元 增量/元
1 40 10 0.4
2 40 20 0.8
3 40 30 1.6
4 40
5 40
6 40
7 40
8 40
9 40
… … … …
30 40 300 214748364.8
40
50
60
70
80
90
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
102.4
列表法比较三种方案的日回报量
0
0
0
0
0
0
0
0
…
0
10
10
10
10
10
10
10
10
…
10
0.4
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
…
107374182.4
1
2
3
4
6
5
7
8
9
10
20
0
40
60
80
100
120
140
y
x 方案一:y=40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
…
x 方案二
y=10x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
…
x y=0.4*2x-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
0.4
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
102.4
204.8
图象法比较三种方案日回报量
y=40
y=10x
y=0.4×2x-1
x
…
　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30
方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
方案三 0 1 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729.2
例1累计回报表
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天（含11天）以上，应选择方案三。
进行下一个？
例1体会：
确定函数模型
利用数据表格、函数图象讨论模型
体会直线上升、指数爆炸等不同函数类、模型增长的含义
学以致用
这个初夏，甲型H1N1流感袭来.
数学家建立模型来预测未来感染者的人数。在这个模型中，最重要的因素之一是流行病的传播能力，也就是一个患者平均可以传染几个人，这个数值叫做再生数(通俗理解即为增长率)。这一次甲型H1N1流感，专家初步估计这个数值大约在0.4～1.5之间。
若截至今天杭州已确认感染者50个，假如杭州的再生数是0.4，且不进行任何防控措施，请同学计算一下，第31天感染者总人数？第36天感染者总人数呢？
一次函数
对数函数
指数函数
①例2涉及了哪几类函数模型？
用3分钟时间认真阅读例2，边阅读边思考下面的问题：
②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗
[例2] 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定
一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万
元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)
随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金
总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。
现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,
其中哪个模型能符合公司的要求？
1、销售利润达到10万元时进行奖励；
2、奖金总数不超过5万元；
3、奖金不超过利润的25%；
4、公司总的利润目标为1000万元。
从1和4知道只需在区间[10，1000]上检
验三个模型是否符合公司的要求（即2
和3两条）即可。
▲ 借助计算机作出它们的图象。通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
6
7
8
1
0
①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,
当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;
②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,
观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此
该模型不符合要求;
③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,
观察图象并结合计算可知,当x=1000时,
y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过
5万元的要求。
200
400
600
800
1000
2
3
4
5
6
7
8
1
0
对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。
是否满足条件3，即
“奖金不超过利润的25%”呢？
y
x
1
2
3
4
5
6
7
8
0
f(x)=log7x+1－0.25x
1
-1
根据图象观察,f(x)=log7x+1－0.25x的图象在区间[10,1000]内的确在x轴的下方.
f(x)=log7x+1－0.25x
这说明,按模型y=log7x+1奖励,奖金不会超过利润的25%.
所以，模型 确实能符合公司的要求。
观察下表，某人身高用一次函数、指数型函数、对数型函数哪个刻画比较好，为什么？
某人年龄和身高(cm)
年龄 21 23 25 27
身高 160 162 163 163.5
学以致用
1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指数函数、对数函数）差异的认识。
2. 几类增长函数建模的步骤
列解析式
具体问题
画出图像（形）
列出表格（数）
不同增长
确定模型
预报和决策
控制和优化
3. 你还有其他感悟吗？
随 堂 小结
常数函数 一次函数 指数函数 对数函数
增长量为零 增长量相同 增长量迅速增加 增长量减少
没有增长
直线增长
指数爆炸
对数增长
课外活动:收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用。
作 业
教材Ｐ107 习题3.2 1-4