3.2.1　函数的单调性练习2021-2022学年数学必修第一册人教A版2019（Word含解析）

3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
基础过关练
题组一　单调性的概念及其应用　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论不正确的是 (　　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.f(x1)≠f(x2)
2.函数f(x)的图象如图所示,则 (　　)
A.函数f(x)在[-1,2]上单调递增
B.函数f(x)在[-1,2]上单调递减
C.函数f(x)在[-1,4]上单调递减
D.函数f(x)在[2,4]上单调递增
3.下列说法正确的是 (　　)
A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),且x1B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),使得x1C.若f(x)在区间I1上单调递增,在区间I2上也单调递增,那么f(x)在I1∪I2上也一定单调递增
D.若f(x)在区间I上单调递增且f(x1)4.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是 (　　)
题组二　单调性的判定与证明
5.(2021天津河东高一上期中)函数y=x2+x+2的单调递减区间是 (　　)
A. B.(-1,+∞)
C. D.(-∞,+∞)
6.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为 (　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,2),(4,+∞)
C.(2,3),(4,+∞) D.(-∞,2],[3,4]
7.(2021北京丰台高一上期中)下列四个函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
A. f(x)=3-x B. f(x)=x2-3x
C. f(x)=-|x| D. f(x)=-
8.(2021江苏徐州六县高一上期中)已知函数f(x)=
(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象;
(2)写出此函数的定义域、单调区间及值域(不需要写过程).
9.(2021北京交大附中高一上期中)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)用函数单调性的定义证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数.
题组三　单调性的综合应用
10.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是 (　　)
A.f(4)>f(-π)>f(3)
B.f(π)>f(4)>f(3)
C.f(4)>f(3)>f(π)
D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
11.已知函数f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-3) B.(0,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
12.已知f(x)=是定义在R上的减函数,那么实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.∪
13.(1)若f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则实数a的值是　　　　;
(2)若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
14.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=x2-2x-3.
(1)设集合A={x|f(x)>0},B={x|f(x)=0},C={x|f(x)<0},分别指出2,3,4是 A,B,C中哪个集合的元素;
(2)若 a∈R, x1,x2∈[a,+∞),当x115.(2021北京丰台高一上期中)已知函数f(x)=x2-4x+1.
(1)当x∈[0,3]时,画出函数y=f(x)的图象并写出值域;
(2)若函数y=f(x)在区间[a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.
16.已知函数f(x)=(a≠1).
(1)若a>0,求函数f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　单调性的判定与证明　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2021北京一零一中学高一上期中,)下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是(　　)
A.y=-3x-1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=|x-1|+2
2.()函数y=的单调递减区间为 (　　)
A. B.
C.[0,+∞) D.(-∞,-3]
3.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=,则f(2-x)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
4.(多选)(2020河南省实验中学高一上期中,)定义[x]为不大于x的最大整数,对于函数f(x)=x-[x]有以下四个结论,其中正确的是 (　　)
A.f(2 019.67)=0.67
B.在每一个区间[k,k+1)(k∈Z)上,函数f(x)都是增函数
C.f < f
D.y=f(x)的定义域是R,值域是[0,1)
5.(2020山西高平一中高一上期中,)已知函数f(x)=2x+.
(1)若a=-2,求满足f(x)=0的x的集合;
(2)若a=4,求证:f(x)在(2,+∞)上单调递增.
题组二　单调性的综合应用
6.(2020黑龙江省实验中学高一上月考,)函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
7.(2020河北承德高一上期末,)二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A. B.
C. D.
8.(2021江苏徐州一中高一上期中,)若f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(2021北京一零一中学高一上期中,)函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则t的取值范围是　　　　.
10.(2020湖南张家界高一上期末,)函数f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D,当x111.(2021安徽合肥八中高一上期中,)定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时, f(x)>0.
(1)求证: f=f(m)-f(n);
(2)讨论函数f(x)的单调性,并说明理由;
(3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(3x)>3.
答案全解全析
基础过关练
1.C　由函数的单调性定义知,若函数f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D中结论都正确.由于x1,x2大小不确定,故选项C中结论不正确.
2.A　由题图可知,函数f(x)在[-1,2]上是“上升”的,则f(x)在[-1,2]上是单调递增的.故选A.
3.D　根据函数单调性的定义和性质来判断,A、B项中的“存在”“有无穷多”与定义中的“任意”不符,C项中也不能确定对任意x14.B　对于A,函数分别在(-∞,1)及[1,+∞)上单调递增,但存在x1∈(0,1),使f(x1)>f(1),故A不符合题意;对于C,函数分别在(-∞,1)及(1,+∞)上单调递增,但存在x1>1,使f(x1)5.C　函数y=x2+x+2的图象是开口向上,且以直线x=-为对称轴的抛物线,
故函数y=x2+x+2的单调递减区间是,故选C.
6.C　作出函数f(x)=|x2-6x+8|的图象,如图所示.
由图象得,函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(2,3)和(4,+∞),故选C.
7.D　对于A, f(x)=3-x为一次函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于B, f(x)=x2-3x为二次函数,在区间上单调递减,不符合题意;对于C, f(x)=-|x|=在区间(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于D, f(x)=-在区间(0,+∞)上单调递增,符合题意.故选D.
8.解析　(1)函数f(x)的图象如图所示:
(2)函数f(x)的定义域为R,单调递增区间为(-∞,-3)和(-1,0),单调递减区间为(-3,-1)和(0,+∞),值域为R.
9.解析　(1)由1-x2≠0,得x≠±1,即f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠±1}.
(2)证明: f(x)===-1.
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-1-+1=.
∵1∴x1-x2<0,1-x2<0,1-x1<0,1+x2>0,1+x1>0,x2+x1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.
10.D　由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,得 f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.
11.C　因为函数f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),
所以2m>-m+9,解得m>3.故选C.
12.C　要使f(x)在R上为减函数,必须同时满足3个条件:
①g(x)=(3a-1)x+4a在(-∞,1)上为减函数;
②h(x)=-x+1在[1,+∞)上为减函数;
③g(1)≥h(1).
所以
解得≤a<.
13.答案　(1)-1　(2)
解析　(1)∵f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,
∴a=-1.
(2)函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,对称轴方程为x=-,且函数在区间(-∞,2]上是减函数,∴2≤-,解得a≤-.
易错警示　注意函数在某区间是增(减)函数与函数的单调增(减)区间为某区间的区别,正确理解函数的单调性是解题关键.
14.解析　(1)由f(x)=x2-2x-3,得f(2)=22-2×2-3=-3<0,∴2∈C;f(3)=32-2×3-3=0,∴3∈B; f(4)=42-2×4-3=5>0,∴4∈A.故2∈C,3∈B,4∈A.
(2)∵f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.由 a∈R, x1,x2∈[a,+∞),当x1解题模板　解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴方程,确定对称轴方程后,发现单调区间与对称轴之间的关系是解题的突破口.
15.解析　(1)当x∈[0,3]时,画出函数y=f(x)=x2-4x+1的图象如图:
由图象可知, f(x)的值域为[-3,1].
(2)二次函数f(x)=x2-4x+1图象的对称轴为直线x=2.
因为函数y=f(x)在区间[a,a+1]上单调,
所以a≥2或a+1≤2,
解得a≥2或a≤1,
所以a的取值范围是{a|a≤1或a≥2}.
16.解析　(1)当a>0且a≠1时,由3-ax≥0得x≤,即函数f(x)的定义域为.
(2)当a-1>0,即a>1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需3-a×1≥0,此时1当a-1<0,即a<1时,要使f(x)在(0,1]上是减函数,则需-a>0,且3-a×0≥0,此时a<0.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].
能力提升练
1.D　由一次函数的性质可知,y=-3x-1在区间(1,+∞)上为减函数,故A错误;由反比例函数的性质可知,y=在区间(1,+∞)上为减函数,故B错误;由二次函数的性质可知,y=x2-4x+5在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,当x>1时,y=x+1,函数在(1,+∞)上单调递增,故D正确.故选D.
2.D　由x2+3x≥0,得x≤-3或x≥0,即函数y=的定义域为(-∞,-3]∪[0,+∞),又二次函数t=x2+3x图象的对称轴方程为x=-,所以函数t=x2+3x(x∈(-∞,-3]∪[0,+∞))在区间(-∞,-3]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增,又函数y=(t≥0)为增函数,所以函数y=的单调递减区间为(-∞,-3].
3.D　因为f(x)=,所以f(2-x)==,
由-x2+3x>0,得0又t=-x2+3x=-+(00)为减函数,所以函数y=f(2-x)的单调递增区间为.故选D.
4.ABD　在A中, f(2 019.67)=2 019.67-2 019=0.67,故选项A正确;
在B中,任取x∈[k,k+1),则x=k+t,0≤t<1,因此f(x)=k+t-k=t=x-k,是增函数,故选项B正确;
在C中,f=--(-1)=, f=-0=,而>,故选项C错误;
在D中,显然f(x)的定义域为R,任取x∈[k,k+1)(k∈Z),则f(x)=x-k∈[0,1),故选项D正确.故选ABD.
5.解析　(1)当a=-2时,f(x)=2x-,令f(x)=2x-=0,解得x=±1,所以满足f(x)=0的x的集合为{-1,1}.
(2)证明:当a=4时,f(x)=2x+,
任取x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=2x1+-
=2(x1-x2)+4
=2(x1-x2)+4·
=2(x1-x2),
∵24,∴0<<,∴0<<,∴1->0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)∴f(x)在(2,+∞)上单调递增.
6.B　f(x)===a+,依题意有1-2a<0,即a>.故选B.
7.D　∵二次函数f(x)在(-∞,4]上为减函数,
∴∴08.答案　[4,5]
解析　∵f(x)=是R上的增函数,
∴
解得4≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[4,5].故答案为[4,5].
易错警示　研究分段函数的单调性,不仅要分别研究每段函数的单调性,还要考虑在分段点处的函数值.
9.答案　[1,+∞)
解析　由题意可得解得t≥1.故答案为[1,+∞).
10.答案　;
解析　∵f(0)=0, f(x)+f(1-x)=1,
∴f(0)+f(1-0)=1,即f(1)=1.
又f=f(x),
∴f=f(1)=.
在f(x)+f(1-x)=1中,令x=,
得2f=1,∴f=.
在f=f(x)中,令x=,得f=f=;令x=,得f=f=.
∵f(x)在[0,1]上是非减函数,
∴f≤f≤f,
即≤f≤,因此f=.
故f=,f=.
11.解析　(1)证明:由m=·n,
可得f(m)=f=f+f(n),
∴f=f(m)-f(n).
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x11.
由(1)及已知可得f(x2)-f(x1)=f>0,即f(x2)>f(x1).
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)由f(2)=1,可得f(4)=f(2)+f(2)=2,
令m=4,n=2,
则f(8)=f(4)+f(2)=3,
∴不等式f(x+3)-f(3x)>3,即f(x+3)-f(3x)>f(8),
即f>f(8).
由(2)可知f(x)在定义域内单调递增,
∴解得0∴不等式f(x+3)-f(3x)>3的解集为.
解题模板　解决抽象函数问题的关键是“赋值”,即在已知的等式(或不等式)中取特定的未知数的值,而“赋值”要根据结论(目标)选择应赋的值,平时学习中要积累“赋值”的经验.