5.5.2　简单的三角恒等变换练习2021-2022学年数学必修第一册人教A版2019（Word含解析）

5.5.2　简单的三角恒等变换
基础过关练
题组一　三角函数式的求值问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.已知cos α=,α∈,则sin 等于 (　　)
A. B.- C. D.
2.= (　　)
A.1 B.2 C. D.
3.cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°= (　　)
A.- B. C.- D.
4.已知sin-cos=-,450°<α<540°,则tan的值为　　　　.
5.(2020云南昆明高一下期中)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos与tan的值.
题组二　三角函数式的化简与证明问题
6.(多选)下列各式与tan α相等的是 (　　)
A.
B.
C.·(α∈(0,π))
D.
7.化简=　　　　(其中180°<α<360°).
8.化简下列各式:
(1);
(2).
9.在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4coscos·cos.
题组三　三角恒等变换的综合应用
10.(2020河南郑州高一下期末)下列函数是偶函数且最小正周期为的是 (　　)
A.y=cos24x-sin24x B.y=sin 4x
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=cos 2x
11.(2020湖北武汉高一上期中)函数y=sin 2x+sin2x的值域是 (　　)
A. B.
C. D.
12.已知函数f(x)=sin+2cos2x-1.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合;
(2)若α∈,且f(α)=,求cos 2α的值.
能力提升练
题组一　三角函数式的求值问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2020吉林通化梅河口五中高三月考,)已知=2,则sin 2α= (　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.- C. D.-
2.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)已知α为第三象限角,
且sin α+cos α=2m,sin 2α=m2,则m的值为 (　　)
A. B.- C.- D.-
3.()计算:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°= (　　)
A. B. C. D.1
4.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)设α∈,已知sin α+cos α=.
(1)求tan的值;
(2)求cos的值.
5.(2020河南开封五县高一下期末联考,)已知角α∈(0,π)且3cos 2α-8cos α=5.
(1)求sin的值;
(2)先化简,再求值.
6.(2020山东滨州高一上期末,)在①tan α=4,②7sin 2α=2sin α,③cos=这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.
已知α∈,β∈,cos(α+β)=-,　　　,求cos β.
题组二　三角函数式的化简与证明问题
7.(2019甘肃武威第十八中学单元检测,)若<θ<π,则-= (　　)
A.2sin-cos B.cos-2sin
C.cos D.-cos
8.(2020山东烟台高一上期末,)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°+cos215°-sin 15°sin 15°;
cos280°+cos2(-50°)-sin 80°sin(-50°);
cos2170°+cos2(-140°)-sin 170°sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
题组三　三角恒等变换的综合应用
9.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0= (　　)
A. B. C. D.
10.(2020河南新乡一中高一下期末,)已知-cos(x+φ)=sin x+2cos x对x∈R恒成立,
则cos 2φ= (　　)
A.- B. C.- D.
11.()在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
12.(多选)()已知函数f(x)=cos 2x-2sin xcos x,则下列结论中正确的是 (　　)
A.存在x1,x2,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立
B.f(x)在区间上单调递增
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=对称
13.(2020福建福州八县(市、区)一中高一上期末联考,)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,求cos(α-β)的值.
14.(2020北京人大附中高一下期中,)在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边的两个角α,β的终边分别与单位圆O交于点M,N,已知M,N关于原点对称.
(1)若点M的坐标为,求cos α,cos β的值;
(2)当α∈[0,π]时,求sin α+sin的最大值.
15.()已知f(x)=-+,x∈(0,π).
(1)将f(x)表示成cos x的多项式;
(2)求f(x)的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.A　∵α∈,∴∈,
∴sin ==.
2.C　 原式====.
3.B　cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°
=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)
=sin 22°+-sin 22°=.
4.答案　2
解析　由题意得=,即1-sin α=,∴sin α=.
∵450°<α<540°,∴cos α=-,
∴tan===2.
5.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.
因为<α<π,且0<β<,所以0<α-β<π.
解法一:由0<α-β<π可得0<<,
所以cos==
=,sin==.
所以tan==.
解法二:同解法一,求得cos =.
由0<α-β<π,cos(α-β)=,得
sin(α-β)==.
所以tan===.
6.CD　A不符合,===|tan α|;B不符合,==tan;C符合,因为α∈(0,π),所以原式=·==tan α;D符合,==tan α.故选CD.
7.答案　cos α
解析　原式=
=
=
=.
因为180°<α<360°,所以90°<<180°,
所以cos<0,所以原式=cos α.
8.解析　(1)原式=
===tan.
(2)原式=
=
==.
9.证明　由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),即=90°-,
∴cos=cos=sin.
∴sin A+sin B+sin C
=2sin·cos+sin(A+B)
=2sin·cos+2sin·cos
=2sin
=2cos·2cos·cos
=4coscoscos,
即sin A+sin B+sin C=4coscos·cos.
A　选项A中,易知函数y=cos24x-sin24x=cos 8x是偶函数,最小正周期为=,故正确;选项B中,易知函数y=sin 4x是奇函数,最小正周期为=,故错误;选项C中,易知函数y=sin 2x+
cos 2x=sin2x+是非奇非偶函数,最小正周期为=π,故错误;选项D中,易知函数y=cos 2x是偶函数,最小正周期为=π,故错误.故选A.
11.C　y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=+sin,
∴函数的值域为.
12.解析　(1)f(x)=sin+2cos2x-1
=sin 2xcos-cos 2xsin+cos 2x
=sin 2x+cos 2x=sin.
所以当2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时, f(x)max=1,
相应的x的取值集合为xx=kπ+,k∈Z.
(2)由(1)知f(α)=sin=.
由<α<,得<2α+<,
所以cos=-.
因此cos 2α=cos
=cos2α+cos+sin·sin=-×+×=.
能力提升练
1.D　由=2,可得=2,即tan α=-4,
所以sin 2α===-.
2.B　依题意得sin 2α=2sin αcos α=m2,
又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+m2=4m2,∴m2=.
由α是第三象限角知,sin α+cos α=2m<0,
∴m=-,故选B.
解题模板　利用sin α+cos α与sin αcos α的关系列等式,解方程求m的值,解题时要运用角的范围确定m的符号,防止符号错误导致结论错误.
3.C　sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°
=2sin 30°cos 10°+2cos 70°sin(-10°)
=cos 10°-2cos(60°+10°)sin 10°
=cos 10°-2sin 10°
=cos 10°-sin 20°+(1-cos 20°)
=-+cos 10°
=-(sin 30°sin 20°+cos 30°cos 20°)+cos 10°
=-cos(30°-20°)+cos 10°
=-cos 10°+cos 10°=.
4.解析　(1)因为sin α+cos α=,
所以sin=.
因为α∈,所以α+∈,所以cos=.
所以tan=.
(2)cos=2cos2α+-1
=2×-1=.
因为α∈,所以2α+∈,所以sin=,
所以cos=cos
=coscos-sin2α+·
sin=×-×=.
5.解析　(1)∵3cos 2α-8cos α=3(2cos2α-1)-8cos α=5,
∴3cos2α-4cos α-4=0,
∴cos α=-(cos α=2舍去),
∵α∈(0,π),∴sin α==,
∴sin=(sin α+cos α)=×= .
(2)=
=
==tan α+.
由(1)知tan α==-,
∴=×+=.
6.解析　方案一:选条件①.
解法一:因为tan α=4,所以=4,
则
解得或
因为α∈,所以
因为cos(α+β)=-,且sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,
所以sin2(α+β)=.
因为α∈,β∈,
所以0<α+β<π,
所以sin(α+β)=.
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×
=.
解法二:因为α∈,tan α=4,
所以点P(1,4)在角α的终边上,
所以cos α==,
sin α==.
以下同解法一.
方案二:选条件②.
因为7sin 2α=2sin α,
所以14sin αcos α=2sin α.
因为α∈,所以sin α≠0 ,
所以cos α=.
又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=.
因为α∈,所以sin α=.
以下同方案一的解法一.
方案三:选条件③.
因为cos=,
所以cos α=2cos2-1=.
由sin2α+cos2α=1,得sin2α=.
因为α∈,所以sin α=.
以下同方案一的解法一.
7.D　∵<θ<π,∴<<,∴sin>cos>0.
∵1-sin θ=sin2+cos2-2sincos=,(1-cos θ)=sin2,
∴-
=-
=sin-cos-sin
=-cos.
8.解析　 (1)cos215°+cos215°-sin 15°·sin 15°
=2cos215°-sin215°
=1+cos 30°-(1-cos 30°)
=1+-×=.
(2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-sin αsin β=.
证明:∵α+β=30°,∴β=30°-α,
∴cos2α+cos2β-sin αsin β
=cos2α+cos2(30°-α)-sin αsin(30°-α)
=cos2α+-sin α·
=cos2α+cos2α+cos αsin α+sin2α-cos αsin α+sin2α
=cos2α+sin2α=.
9.A　f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,
当x0+φ=+2kπ,k∈Z,即x0=-φ+2kπ,k∈Z时,函数取得最大值,
此时sin x0=sin=cos φ=.故选A.
10.D　-cos(x+φ)=-cos xcos φ+×sin xsin φ=sin x+2cos x,
则cos φ=-,所以cos 2φ=2cos2φ-1=-1=,故选D.
11.B　由已知得[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cos C),
因为A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.又-π12.AC　易知f(x)=2sin
=2sin,∴f(x)的最小正周期T=π,A正确;令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z),B错误;
∵对称中心的横坐标满足2x+=kπ(k∈Z),∴x=-(k∈Z),当k=1时,x=,C正确; f=2sin2×+=-≠±2,D错误.故选AC.
13.解析　设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.
因此4cos α-4sin α=3 cos α-sin α=,①
4sin β-4cos β=3 sin β-cos β=.②
①×②,得sin βcos α-sin βsin α-cos αcos β+sin αcos β=.
又sin α=cos β,cos α=sin β,
∴sin2β-(cos αcos β+sin αsin β)+cos2β=,
∴cos(α-β)=1-=.
思路探究　利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.
14.解析　(1)由点M的坐标为,得cos α=,因为M,N关于原点对称,所以β=π+α,
故cos β=cos(π+α)=-cos α=-.
即cos α=,cos β=-.
(2)由cos β=cos(π+α)=-cos α,
得sin α+sin=sin α+cos β=sin α-cos α=2sin,
由α∈[0,π],得α-∈,则2sin∈[-1,2],
故当α-=,即α=时,sin α+sin取得最大值,最大值为2.
解析　(1)f(x)=-+====2cos·cos
=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1.
(2)由(1)知f(x)=2cos2x+cos x-1
=2-,
∵x∈(0,π),∴cos x∈(-1,1),
∴当cos x=-时, f(x)取得最小值,为-.