2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步题型分类练习 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步题型分类练习 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 260.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 09:04:55 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》
同步题型分类练习（附答案）
一．二次函数的图象
1．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数y＝ax2+4x+2的图象和一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A．B．C．D．
二．二次函数的性质
3．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
4．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
5．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜
⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
7．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．
三．二次函数图象与系数的关系
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
四．二次函数图象上点的坐标特征
11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”连接）
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
14．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
五．二次函数图象与几何变换
16．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2x2+1 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1
17．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
18．下列关于二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1的说法，正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x＝﹣3
B．图象向右平移3个单位长度则变为y＝2（x﹣3）2﹣4
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．当x＝3时，函数y有最大值﹣1
19．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣）2﹣ B．y＝﹣（x+）2﹣
C．y＝﹣（x﹣）2﹣ D．y＝﹣（x+）2+
20．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
21．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
22．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．
23．抛物线y＝2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是 ．
六．二次函数的最值
24．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
25．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一．二次函数的图象
1．解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
故选：C．
2．解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，，对称轴x＝﹣＜0，和y轴的正半轴相交，故选项正确．
故选：D．
二．二次函数的性质
3．解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
4．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选：D．
5．解：①∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x＝﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
6．解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，
∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，
∵对称轴为直线x＝1
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，
∴4ac﹣b2＝4 a （﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
7．解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x＝2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
三．二次函数图象与系数的关系
8．解：由图象可得：a＞0，c＞0，Δ＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项正确，
∴abc＞0，故B选项正确，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项错误，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项正确，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
10．解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
四．二次函数图象上点的坐标特征
11．解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：D．
12．解：∵y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+1+a，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
13．解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
14．解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
15．解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝2，可得﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），
故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．
五．二次函数图象与几何变换
16．解：y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1．
故选：D．
17．解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
18．解：由二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1可知：开口向上，对称轴为x＝3，当x＝3时有最小值是﹣1；当x＞3时，y随x的增大而增大，
把二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1的图象向右平移3个单位得到函数为y＝2（x﹣3+3）2﹣1，即y＝2x2﹣1．
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
19．解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，
设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），
点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，
将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，
所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0﹣）2+，
∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0﹣）2+﹣3＝﹣（x0﹣）2﹣．
故选：A．
20．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（ x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），
即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．
故选：C．
21．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．
故选：D．
22．解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，
把A（0，3）代入，得
3＝﹣1+b，
解得b＝4，
则该函数解析式为y＝x2+2x+3．
故答案是：y＝x2+2x+3．
23．解：将y＝2x2﹣4x+3化为顶点式，得y＝2（x﹣1）2+1，
抛物线y＝2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣1，
化为一般式，得
y＝﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣2x2﹣4x﹣3．
六．二次函数的最值
24．解：抛物线的对称轴是直线x＝1，
则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．
故选：A．
25．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故选：D．
26．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
27．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
同步题型分类练习（附答案）
一．二次函数的图象
1．已知一次函数y＝x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数y＝ax2+4x+2的图象和一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A．B．C．D．
二．二次函数的性质
3．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
4．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
5．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜
⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
7．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．
三．二次函数图象与系数的关系
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
四．二次函数图象上点的坐标特征
11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 .（用“＜”连接）
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
14．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 ．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
五．二次函数图象与几何变换
16．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2 B．y＝2x2+1 C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝2x2﹣1
17．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
18．下列关于二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1的说法，正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x＝﹣3
B．图象向右平移3个单位长度则变为y＝2（x﹣3）2﹣4
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．当x＝3时，函数y有最大值﹣1
19．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣）2﹣ B．y＝﹣（x+）2﹣
C．y＝﹣（x﹣）2﹣ D．y＝﹣（x+）2+
20．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
21．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
22．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．
23．抛物线y＝2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是 ．
六．二次函数的最值
24．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
25．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
26．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一．二次函数的图象
1．解：观察函数图象可知：＞0、c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
故选：C．
2．解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+4x+2的图象应该开口向上，，对称轴x＝﹣＜0，和y轴的正半轴相交，故选项正确．
故选：D．
二．二次函数的性质
3．解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
4．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选：D．
5．解：①∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x＝﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C．
6．解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，
∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，
∵对称轴为直线x＝1
∴＝1，即b＝﹣2a，
∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，
∴4ac﹣b2＝4 a （﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
7．解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x＝2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
三．二次函数图象与系数的关系
8．解：由图象可得：a＞0，c＞0，Δ＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项正确，
∴abc＞0，故B选项正确，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项错误，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项正确，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
10．解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
四．二次函数图象上点的坐标特征
11．解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：D．
12．解：∵y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+1+a，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
13．解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
14．解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
15．解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝2，可得﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），
故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．
五．二次函数图象与几何变换
16．解：y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1．
故选：D．
17．解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
18．解：由二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1可知：开口向上，对称轴为x＝3，当x＝3时有最小值是﹣1；当x＞3时，y随x的增大而增大，
把二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1的图象向右平移3个单位得到函数为y＝2（x﹣3+3）2﹣1，即y＝2x2﹣1．
故A、B、D错误，C正确，
故选：C．
19．解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，
设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），
点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，
将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，
所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0﹣）2+，
∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0﹣）2+﹣3＝﹣（x0﹣）2﹣．
故选：A．
20．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（ x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），
即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．
故选：C．
21．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．
故选：D．
22．解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，
把A（0，3）代入，得
3＝﹣1+b，
解得b＝4，
则该函数解析式为y＝x2+2x+3．
故答案是：y＝x2+2x+3．
23．解：将y＝2x2﹣4x+3化为顶点式，得y＝2（x﹣1）2+1，
抛物线y＝2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2﹣1，
化为一般式，得
y＝﹣2x2﹣4x﹣3，
故答案为：y＝﹣2x2﹣4x﹣3．
六．二次函数的最值
24．解：抛物线的对称轴是直线x＝1，
则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．
故选：A．
25．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故选：D．
26．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
27．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，
y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，
∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，
将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，
∵a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，
∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，
∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，
y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，
∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．