2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.3 确定二次函数表达式》同步达标训练 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.3 确定二次函数表达式》同步达标训练 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 194.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 09:09:25 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数表达式》
同步达标训练（附答案）
1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
2．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
3．如图，已知二次函数的图象，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝ax2+bx﹣（a﹣b） B．y＝（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝（x﹣m）2+m2+1 D．y＝x2+（a+2）x+a
4．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
5．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣x2﹣x+2
C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2
6．已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2020），它对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2020 B．y＝5（x﹣1） 2+2020
C．y＝5（x+1） 2+2020 D．y＝﹣5（x+1）2+2020
7．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3
8．若|m+3|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2
C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
9．当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
10．二次函数部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
11．小聪做作业时不小心将墨水滴在一道数学题上，题目变为：“已知二次函数y＝x2□x□的图象如图所示”，则题目中二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+x﹣2 B．y＝x2﹣x﹣2 C．y＝x2+x+2 D．y＝x2﹣x+2
12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
15．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
16．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： ．
17．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
参考答案
1．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
2．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
3．解：A、y＝ax2+bx﹣（a﹣b）＝（ax﹣a+b）（x+1），令（ax﹣a+b）（x+1）＝0得x1＝，x2＝﹣1，即图象与x轴一个交点横坐标应等于﹣1，故A不符合题意；
B、令y＝0得x1＝﹣a，x2＝a﹣1，若﹣1＜﹣a＜0，则0＜a＜1，可得﹣1＜a﹣1＜0，同理若﹣1＜a﹣1＜0，则可得﹣1＜﹣a＜0，即抛物线与x轴两个交点横坐标都在﹣1到0之间，故B不符合题意；
C、抛物线y＝（x﹣m）2+m2+1顶点为（m，m2+1），而m2+1＞0，顶点在x轴上方，故C不符合题意；
D、图象可能为y＝x2+（a+2）x+a，故D符合题意．
故选：D．
4．解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
5．解：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到y＝a（x2﹣x﹣2）的形式，而D选项中a＝﹣1，
故选：D．
6．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2020），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2020，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，
∴a＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2020．
故选：D．
7．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a 1 （﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
故选：A．
8．解：∵|m+3|+＝0，
∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣2，
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），
即当x＝k+1时，y＝k2+2，
∴k＝x﹣1，
把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3上．
故选：C．
10．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
11．解：设二次函数的解析式为y＝x2+bx+c，
把（0，﹣2）和（3，0）代入可得，
，
解得：，
∴题目中二次函数的表达式为：y＝x﹣2，
故选：B．
12．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
13．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
14．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
15．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
16．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵经过原点，
∴c＝0，
∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，
∴a＜0，﹣＝0，
即：b＝0，
只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，
所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
17．解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
18．解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
19．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
20．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；
同步达标训练（附答案）
1．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
2．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
3．如图，已知二次函数的图象，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝ax2+bx﹣（a﹣b） B．y＝（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝（x﹣m）2+m2+1 D．y＝x2+（a+2）x+a
4．如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
5．抛物线的图象如图，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y＝x2﹣x+2 B．y＝﹣x2﹣x+2
C．y＝﹣x2﹣x+1 D．y＝﹣x2+x+2
6．已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2020），它对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣5（x﹣1） 2+2020 B．y＝5（x﹣1） 2+2020
C．y＝5（x+1） 2+2020 D．y＝﹣5（x+1）2+2020
7．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2﹣2x+3 D．y＝﹣x2﹣2x﹣3
8．若|m+3|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点P′为二次函数图象顶点，则二次函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2
C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2
9．当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2x+1 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
10．二次函数部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
11．小聪做作业时不小心将墨水滴在一道数学题上，题目变为：“已知二次函数y＝x2□x□的图象如图所示”，则题目中二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+x﹣2 B．y＝x2﹣x﹣2 C．y＝x2+x+2 D．y＝x2﹣x+2
12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
13．已知一个二次函数的图象形状与抛物线y＝4x2相同，且顶点坐标为（2，3），则这个二次函数的解析式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
15．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
16．已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： ．
17．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x＝1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当y＜3时，直接写出x的取值范围．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
参考答案
1．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
2．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
3．解：A、y＝ax2+bx﹣（a﹣b）＝（ax﹣a+b）（x+1），令（ax﹣a+b）（x+1）＝0得x1＝，x2＝﹣1，即图象与x轴一个交点横坐标应等于﹣1，故A不符合题意；
B、令y＝0得x1＝﹣a，x2＝a﹣1，若﹣1＜﹣a＜0，则0＜a＜1，可得﹣1＜a﹣1＜0，同理若﹣1＜a﹣1＜0，则可得﹣1＜﹣a＜0，即抛物线与x轴两个交点横坐标都在﹣1到0之间，故B不符合题意；
C、抛物线y＝（x﹣m）2+m2+1顶点为（m，m2+1），而m2+1＞0，顶点在x轴上方，故C不符合题意；
D、图象可能为y＝x2+（a+2）x+a，故D符合题意．
故选：D．
4．解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
可设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），
可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
5．解：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），
对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到y＝a（x2﹣x﹣2）的形式，而D选项中a＝﹣1，
故选：D．
6．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2020），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2020，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，
∴a＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2020．
故选：D．
7．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a 1 （﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3．
故选：A．
8．解：∵|m+3|+＝0，
∴m＝﹣3，n＝2，即P（﹣3，2），
关于x轴对称点P′的坐标为（﹣3，﹣2），
则以P′为顶点的二次函数解析式为y＝（x+3）2﹣2，
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点是（k+1，k2+2），
即当x＝k+1时，y＝k2+2，
∴k＝x﹣1，
把k＝x﹣1代入y＝k2+2得y＝（x﹣1）2+2＝x2﹣2x+3，
所以（k，﹣3k2）在抛物线y＝x2﹣2x+3上．
故选：C．
10．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
11．解：设二次函数的解析式为y＝x2+bx+c，
把（0，﹣2）和（3，0）代入可得，
，
解得：，
∴题目中二次函数的表达式为：y＝x﹣2，
故选：B．
12．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
13．解：图象顶点坐标为（2，3），
可以设函数解析式是y＝a（x﹣2）2+3，
又∵形状与抛物线y＝4x2相同，即二次项系数绝对值相同，
∴|a|＝4，
∴这个函数解析式是：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝4（x﹣2）2+3或y＝﹣4（x﹣2）2+3．
14．解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
15．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
16．解：设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵经过原点，
∴c＝0，
∵在y轴左侧的部分，图象上升，在y轴右侧的部分，图象下降，
∴a＜0，﹣＝0，
即：b＝0，
只要满足a＜0，b＝0，c＝0就行，如：a＝﹣1，
所以二次函数的解析式是y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
17．解：在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD＝AB＝4，点D的坐标是（0，8），
∴点C的坐标为（4，8），
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8，
把A（2，0）代入得，0＝4a+8，
解得a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣4）2+8，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+16x﹣24，
故答案为y＝﹣2x2+16x﹣24．
18．解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
19．解：（1）根据题意得，
解得，．
∴二次函数的关系式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数的顶点坐标（1，4）．
（2）当y＝3时，3＝﹣（x﹣1）2+4，
解得，x1＝0或x2＝2，
∵y＜3，
∴x＜0或x＞2．
20．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；