2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标训练 （Word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《17.3勾股定理》同步达标训练（附答案）
1．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（　　）
A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm
2．直角三角形两直角边长分别为3cm和5cm，则这个直角三角形的周长是（　　）
A．12cm B．（8+）cm
C．12cm或（8+）cm D．11cm或13cm
3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　）
A．45° B．40° C．30° D．25°
4．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝，b＝，c＝2
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积（　　）
A．36 B．27 C．18 D．9
7．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41 C．52，122，132 D．7，24，25
8．本期，我们学习了用赵爽弦图证明勾股定理．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的面积之差为（　　）
A．3 B．2 C． D．不确定
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）①a＝32，b＝42，c＝52；
②（c+b）（c﹣b）＝a；③∠A+∠B＝∠C；④a＝1，b＝，c＝．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
11．已知：△ABC中，∠C＝45°，D为BC边上一点，AD＝AB，BD＝2，BH⊥AD于H，BH延长线交AC于E，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．1
12．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（　　）
A．20km B．14km C．11km D．10km
13．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（　　）
A． B．13 C． D．25
14．已知直角三角形的两边长是3，5，那么斜边可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．如图，一株荷叶高出水面1m，一阵风吹过来，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有3m远，则荷叶原来的高度是 　 　．
16．已知一个直角三角形的其中两边长分别是1和2，则第三边的长为 　 　．
17．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论：①AB＝2；②∠BAC＝90°；③△ABC的面积为10；④点A到直线BC的距离是2，其中正确的是 　 　．（填序号）
18．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　 　．
19．如图，已知四边形ABCD中，AD＝3cm，AB＝4cm，BC＝12cm，DC＝13cm，且AB⊥AD，求四边形ABCD的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠CAB交CB于点D，求CD的长．
21．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．
（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；
（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；
（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
23．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
24．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
25．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新建一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
26．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？
参考答案
1．解：底面圆周长为4πcm，底面半圆弧长为2πcm≈6cm，展开得：
BC＝6cm，AC＝6cm，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝＝6（cm）．
故选：A．
2．解：5cm是直角边时，第三边＝（cm），
所以，这个直角三角形的周长＝3+5+＝（8+）cm．
故选：B．
3．解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
4．解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣1×3﹣2×3＝，
∴AC BD＝，
∴ BD＝7，
∴BD＝，
故选：D．
5．解：A、由题意知，a2+c2＝b2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、由题意知，∠A＝∠B＝（180°﹣45°）÷2＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、由题意知∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、由题意知，a2+c2＝b2＝7，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．解：设两个正方形的面积分别为a和3a，
∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，
∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴a+3a＝36，
∴a＝9，
∴3a＝27，
∴较大的正方形的面积为27，
故选：B．
7．解：A、∵62+92≠122，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（﹣9）2+402＝412，能组成直角三角形，但﹣9不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵252+1442≠1692，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242＝252，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
8．解：由赵爽弦图可知：
正方形EFGH的边长为，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF，
∵DM＝GH，
∴EH＝AH﹣AE＝AH﹣CG＝，
∴S△ADM﹣S△CDM
＝DM AH﹣DM CG
＝DM （AH﹣CG）
＝××
＝3，
故选：A．
9．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝（cm），
∵，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝CD，
∴，
∴CD＝3（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：C．
10．解：①a＝32，b＝42，c＝52，∴a2+b2≠c2，故不能形成直角三角形；
②（c+b）（c﹣b）＝c2﹣b2＝a，故不能形成直角三角形；
③∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝∠C＝90°，能形成直角三角形；
④∵a＝1，b＝，c＝，∴a2+c2＝b2，故能形成直角三角形，
故直角三角形的个数为2个，
故选：B．
11．解：过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，
∵AB＝AD，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠DAM，BM＝DM，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD+∠HDB＝90°，
又∵∠HDB+∠MAD＝90°，
∴∠HBD＝∠MAD，
∴∠HBD＝∠BAM＝∠MAD，
∵∠C＝45°，
∴∠MAC＝∠FEC＝45°，
∵∠AEB＝∠C+∠EBC＝45°+∠EBC，∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠AEB＝∠BAC，
∴AB＝BE，
在△ABM和△BEF中，
，
∴△ABM≌△BEF（AAS），
∴EF＝BM＝1，
∴CE＝EF＝，
故选：A．
12．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．
观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6（km），BC＝2+5＝7（km），
在Rt△ACB中，AB＝＝＝10（km）．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，
故选：D．
13．解：设h为斜边上的高，
∵直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，
∴斜边为＝10，
∵三角形的面积＝×6×8＝×10h，
∴h＝．
故选：C．
14．解：（1）当边长为5的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为5；
（2）当边长为5的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为，
故该直角三角形斜边长为5或，
故选：C．
15．解：设水面以下荷叶的高度为OH＝hm，则荷叶的高度为AO＝BO＝（h+1）m，如图所示：
在Rt△OHB中，BH＝3m，由勾股定理得：OH2+BH2＝BO2，
即h2+32＝（h+1）2，
解得：h＝4（m），
∴h+1＝5（m），
∴荷叶的高度为5m，
故答案为：5m．
16．解：当1和2都是直角边时，
则第三边为：，
当1为直角边，2为斜边时，
则第三边为：，
即第三边为或，
故答案为或．
17．解：①∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，故正确；
②∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，故正确；
③S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，故错误；
④设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
则×5×h＝5，
解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，故正确；
故答案为：①②④．
18．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
19．解：如图，连接BD．
∵∠A＝90°，AD＝3cm，AB＝4cm，
∴BD＝cm，
在△BCD中，BD2+BC2＝25+144＝169＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB AD+BD BC
＝×3×4+×5×12
＝36（cm2）．
答：四边形ABCD的面积是36cm2．
20．解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△ACB中，∵AB＝13，AC＝5，∠C＝90°，
∴BC＝＝12，
∵CD＝DE，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴CD＝DE，AC＝AE＝5，
∴BE＝8，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，∵BD2＝DE2+EB2，
∴（12﹣x）2＝x2+82，
∴x＝，
∴CD＝．
21．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝5，
在Rt△ADC中，
CD＝＝12．
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∵∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴AD DB＝CD CD＝16；
（3）∵CD2＝AD DB，
且∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
又∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
22．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝．
∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．
23．解：在Rt△ABC中，∵AB＝2.5，BC＝0.7，
∴AC＝＝2.4米，
又∵AA1＝0.4，
∴A1C＝2.4﹣0.4＝2，
在Rt△A1B1C中，B1C＝＝1.5米，
则BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8米．
故：梯子底部B外移0.8米．
24．解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
25．解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣0.9）km，
在Rt△ACH中，（x﹣0.9）2+1.22＝x2，
解得x＝1.25，
即AC＝1.25km，
∵AC﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（km），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
26．解：由题意得：AB＝2.5米，BO＝0.7米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AO＝＝2.4（米），
∴MO＝AO﹣AM＝2.4﹣0.4＝2（米），
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
NO＝＝1.5（米），
∴NB＝ON﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．