2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册3.7探索与表达规律 同步达标训练 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）六年级数学上册3.7探索与表达规律 同步达标训练 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 295.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 09:30:54 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版六年级数学上册《3.7探索与表达规律》同步达标训练（附答案）
1．有次序排列的三个数：6，2，8，任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：﹣6，﹣4，2，6，8，这称为第一次操作；做第二次操作后也可产生一个新数串：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，继续依次操作下去，则从数串6，2，8开始操作，第2021次后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A．4054 B．4056 C．4058 D．4060
2．观察下面三行数：
﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、……①
0、6、﹣6、18、﹣30、66、……②
﹣1、2、﹣4、8、﹣16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x﹣y﹣2z的值为（ ）
A．22001 B．0 C．﹣2 D．2
3．观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（ ）
A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x8
4．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）
A． B．4039 C． D．4041
5．如图各正方形中的四个数字之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是（ ）
A．74 B．104 C．126 D．144
6．观察下列等式
第1层 1+2＝3
第2层 4+5+6＝7+8
第3层 9+10+11+12＝13+14+15
第4层 16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2016所在的层数是（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
7．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
8．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
9．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
10．将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（ ）
A．（505，1） B．（505，4） C．（506，1） D．（506，4）
11．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A． nH3nOH B． nH2n﹣1OH C． nH2n+1OH D． nH2nOH
12．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2022 D．2021
13．观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
14．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝，则f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）的值是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
15．按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n（2n﹣1）an B．（﹣1）n+1（2n+1）an
C．（﹣1）n（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an
16．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
17．观察下列等式，在数字宝塔中，从上往下数，2021所在的层数是（ ）
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24……
A．34 B．44 C．45 D．56
18．右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．131 B．130 C．129 D．128
19．将2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，若第一个数是0，第二个数是1，那么这2021个数的和是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
20．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ．
21．有一组数2、、、、……，则第n个数是 ．
22．如表所示为4×n的数字规律表，
表1
1 2 3 4 5 …
﹣2 ﹣4 ﹣6 ﹣8 ﹣10 …
3 6 9 12 15 …
﹣4 ﹣8 ﹣12 ﹣16 ﹣20 …
表2
m
﹣36
已知表2是从表1中按未显示部分截取下来的一部分，则m＝ ．
23．有若干个数第1个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3…，第n个数记为an，若a1＝2，从第二个数起每个数都等于“1与它前面的那个数的倒数的差”，则a2020＝ ．
24．任意写一个是3的倍数（非零）的数，先把这个数的每一数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数字a，我们称它为数字“黑洞”，这个数字a＝ ．
25．有依次排列的3个数：3，9，8对应相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8．这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去从数串3，9，8开始操作至第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
26．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若a1＝﹣，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”，a2021＝ ．
27．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点k140所表示的数恰是2091．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是 ．
28．从图①中找出规律，并按规律从图②中找出abc的值，计算a+b﹣c的值是 ．
29．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2021在数轴上表示的数是 ．
30．如图，按此规律，第6行最后一个数字是 ，第 行最后一个数是2020．
31．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22020．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22020①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+22021②，
②﹣①得S＝22021﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）求1+3+32+33+34+…+32020的值；
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020．
32．观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；
1，7，﹣5，19，﹣29，67，…
（1）如果设第1行的第n个数为x，则第2、3行的第n个数分别为 ， （用含x的代数式表示）．
（2）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，则t＝ ．
（3）是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为1283？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由．
33．观察下列各式的特征：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；||＝；||＝，根据规律，解决相关问题：
（1）①|7﹣21|＝ ；②||＝ ．
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ．
（3）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简|a|﹣|b+2|﹣|a+c|的结果为 ．
（4）计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||．
34．观察下列等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式： ．
（2）按以上规律列出第n个等式（n是正整数）： ．
（3）由此计算：．
35．阅读与思考：观察下列式子：，，，……，
（1）（探索规律）用正整数n表示上述式子的规律是 ；
（2）（问题解决）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由；
（3）（拓展探究）计算的值．
36．对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：m＝127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”．
（1）38的“团结数”是 ，2024的“团结数”是 ；
（2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值 ；
（3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和．
37．（1）仔细观察下列式子：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4．
猜一猜：（a×b）100＝ ．归纳得出：（a×b）n＝ ．
请应用上述性质计算：（﹣）2021×42022＝ ．
（2）如图是由从1开始的连续自然数组成的数表，观察规律并完成各题的解答．
①表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数．
参考答案
1．解：第一次操作：6，﹣4，2，6，8，求和结果：18，
第二次操作：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20＝18+2＝18+2×1，
第三次操作：6，﹣16，﹣10，6，﹣4，10，6，﹣4，2，2，4，2，6，﹣4，2，6，8，求和结果：22＝18+2+2＝18+2×2，
…，
第n次操作：求和结果：18+2×（n﹣1）＝16+2n，
∴第2021次结果为：16+2×2021＝4058．
故选：C．
2．解：由题知，第①行的数是以2为底数，指数从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，
∴第①行的第10个数为210，
即x＝210，
第②行的数比第①行对应的数大2，
∴第②行的第10个数为210+2，
即y＝210+2，
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正，
∴第③行的第10个数为210÷2＝29，
即z＝29，
∴2x﹣y﹣2z＝2×210﹣（210+2）﹣2×29＝﹣2，
故选：C．
3．解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，
（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，
（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，
…
所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；
按发现的规律可知：
x，﹣2x2，
4x3＝22x3，
﹣8x4＝﹣23x4，
16x5＝24x5，
…
所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：B．
4．解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故选：C．
5．解：由题意可得第二行第二个的规律分别是：3×10，5×12，7×14，
∴m＝9×16＝144，
故选：D．
6．解：第一层，第一个数是12＝1，最后一个数为22﹣1＝3，
第二次，第一个数是22＝4，最后一个数是32﹣1＝8，
第三层，第一个数是32＝9，最后一个数是42﹣1＝15，
∴第n层，第一个数n2，最后一个数是（n+1）2﹣1，
∵442＜2016＜452，
∴第2016个数在第44层，
故选：B．
7．解：由题意可得，19右侧的数是20，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
8．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是1+4＝5，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是1+4+4＝9，
……
∴关于P点对称的点表示的数是1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
关于O点对称的点表示的数是3﹣2n，
∴点A14表示的数是﹣25，
故选：D．
9．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
10．解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2021÷4＝505……1，
505+1＝506，
∴2021在第506行，
∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，
∴自然数2021记为（506，4）．
故选：D．
11．解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，
∴an＝2n+1．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为 nH2n+1OH．
故选：C．
12．解：观察数字的变化，
发现规律：
第n行的第一个数为n2，
所以第45行第一个数为452＝2025，
再依次减1，到第4列，
即452﹣3＝2022．
故选：C．
13．解：∵第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），
第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），
第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），
…，
∴第n个相同的数为：6（n﹣1），
∴6（n﹣1）＝102，
解得：n＝18．
故选：A．
14．解：∵f（2）＝，f（）＝，
f（3）＝，f（）＝，
∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，
∴f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）
＝+…+
＝
＝8+0.5
＝8.5．
故选：B．
15．解：∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，
﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，
5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，
﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，
9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，
…
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）an．
故选：D．
16．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，
∴a2＝＝﹣2，
∵a3是a2的“友好数”，
∴a3＝＝，
∵a4是a3的“友好数”，
∴a4＝＝，
∵a5是a4的“友好数”，
∴a5＝＝3，
……
∴每四个数是一组循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴a2021＝a1＝3，
故选：A．
17．解：∵第1层第一个数为1×1＝1，最后一个数为2×2﹣1＝3；
第2层第一个数为2×2＝4，最后一个数为3×3﹣1＝8；
第3层第一个数为3×3＝9，最后一个数为4×4﹣1＝15；
∴第n层第一个数为n2，最后一个数为（n+1）2﹣1，
∵442＜2021＜（44+1）2，
∴从上往下数，2021在第44层．
故选：B．
18．解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，
第m行的数字的个数是 2m﹣1，
∵442＝1936，
所以2021在第45行，
∵452＝2025，
∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，
∴m＝45，n＝85，
∴m+n＝45+85＝130．
故选：B．
19．解：由题意可得，
第一个数是0，第二个数是1，
则第三个数是1﹣0＝1，
第四个数是1﹣1＝0，
第五个数是0﹣1＝﹣1，
第六个数是﹣1﹣0＝﹣1，
第七个数是﹣1﹣（﹣1）＝0，
第八个数是0﹣（﹣1）＝1，
…，
由上可得，这列数依次以0，1，1，0，﹣1，﹣1循环出现，每六个数一个循环，
∵2021÷6＝336…5，
∴这2021个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）+…+0+1+1+0+（﹣1）
＝[0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）]×336+[0+1+1+0+（﹣1）]
＝0×336+1
＝0+1
＝1，
故选：C．
20．解：由题知第一次输出1；
第二次输出﹣4；
第三次输出为﹣2；
第四次输出为﹣1；
第五次输出为﹣6；
第六次输出为﹣3；
第七次输出为﹣8；
第八次输出为﹣4；
....．
∴从第二次开始每六次循环一次，
（2021﹣1）÷6＝336......4，
∴第2021次的输出结果为﹣6，
故答案为：﹣6．
21．解：首先观察序列是个分数，分子后一项总是前一项+6，
∴将这组数改写为：、、、、、……，
分子是4，10＝4+6，16＝4+6×2，22＝4+6×3，28＝4+6×4，...，4+6（n﹣1）＝6n﹣2，
分母是2＝20+1，3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，17＝24+1，...，2n﹣1+1，
故答案为：．
22．解：如果﹣36在第二行第18列，则m在第一行第19列，得m＝19；
如果﹣36在第四行第9列，则m在第三行第10列，得m＝30．
故答案为：19或者30．
23．解：由题意得，
a1＝2，
a2＝1﹣＝，
a3＝1﹣2＝﹣1，
a4＝1﹣（﹣1）＝2，
…，
可以发现2，，﹣1三个数循环出现，
∵2020÷3＝673……1，
∴a2020＝a1＝2，
故答案为：2．
24．解：以69为例，
第一步计算：63+93＝216+729＝945，
第二步计算：93+43+53＝729+64+125＝918，
第三步计算：93+13+83＝1242，
第四步计算：13+23+43+22＝81，
第五步计算：83+13＝513，
第六步计算：53+13+33＝153，
第七步计算：13+53+33＝153，
…，
∴这个固定数字是153，
故答案为：153．
25．解：第一次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+5＝20+5；
第二次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+2×5＝20+5×2；
……
第n次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+n×5＝20+5n；
∴当n＝2024时，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+2024×5＝10140；
故答案为：10140．
26．解：由题意得：
a1＝﹣，
a2＝＝，
a3＝＝3，
a4＝＝﹣，
…
则该数据为﹣，，3的循环排列，
∵2021÷3＝673……2，
∴a2021＝a2＝．
故答案为：．
27．解：设电子跳蚤落在数轴当的点k0＝a，规定向右为正，向左为负，
由题意得，a﹣1+2﹣3+4﹣…+140＝2091，
∴a+70×1＝2091，
∴a＝2021，
∴k0为2021，
故答案为：2021．
28．解：由题意得：a＝﹣4+11＝7，
c＝11+（﹣15）＝﹣4，
b＝a+c＝7+（﹣4）＝3，
∴a+b﹣c
＝7+3﹣（﹣4）
＝10+4
＝14．
故答案为：14．
29．解：∵点A1在数轴表示的数是，
∴点A2在数轴表示的数是＝2，
点A3在数轴表示的数是＝﹣1，
点A4在数轴表示的数是＝，
∴每3组数是一个循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴点A2021在数轴上表示的与点A2在数轴上表示的相同，
∴点A2021在数轴上表示的2，
故答案为：2．
30．解：第一行有1个数字，第二行有3个数字，第三行有5个数字，……，第n行有（2n﹣1）个数字，
∴第6行有11个数字，
∵每行首个数字为n，
∴第6行首个数字是6，
∴第6行最后一个数字是6+10＝16，
∵每行最后一个数字是3n﹣2，
∴2020＝3n﹣2，即n＝674，
∴第274行最后一个数字是2020，
故答案为：16，674．
31．解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32020①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32021②，
②﹣①得2S＝32021﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+32020＝；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020①，
则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2021﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2020＝．
32．解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
∴第n个数为：x＝（﹣2）n；
∵﹣1＝﹣2÷2，2＝4÷2，﹣4＝﹣8÷2，…，
∴第n个数为：（﹣2）n÷2＝；
∵1＝﹣2+3，7＝4+3，﹣5＝﹣8+3，…，
∴第n个数为：（﹣2）n+3＝x+3；
故答案为：；x+3；
（2）∵A﹣tB+3C，
∴x﹣+3（x+3）
＝x﹣x+3x+9
＝（1﹣+3）x+9，
∵对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，
∴1﹣+3＝0，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（3）不存在，理由如下：
由题意得：x++x+3＝1283，
解得：x＝512，
即（﹣2）n＝512，
∵（﹣2）9＝﹣512，
∴不存在这样的一列三个数的和为1283．
33．解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7，②||＝﹣，
故答案为：21﹣7，﹣；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b，当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：a﹣b，b﹣a；
（3）由题意可得，a＜﹣2＜b＜﹣1＜c，
∴|a|﹣|b+2|﹣|a+c|
＝﹣a﹣（b+2）﹣[﹣（a+c）]
＝﹣a﹣b﹣2+a+c
＝c﹣b﹣2，
故答案为：c﹣b﹣2；
（4）|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
34．解：（1）由题意得：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）∵，
，
，
...，
∴第n个等式为：，
故答案为：；
（3）
＝×（1﹣）
＝．
35．解：（1）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：．
故答案为：；
（2）永远不可能倒完．理由如下：
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝++++
＝×（）
＝
＝
＝．
36．解：（1）∵将38各个数位上的数字分别平方后得到的数为：9，64，
∴它们的个位数字依次为：9，4，
∴38的“团结数”为：94；
∵将2024各个数位上的数字分别平方后得到的数为：4，0，4，16，
∴它们的个位数字依次为：4，0，4，6，
∴38的“团结数”为：4046．
故答案为：94；4046；
（2）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2或8，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1或9，
∴满足条件的所有x的值为：581，521，589，529；
故答案为：581，521，589，529；
（3）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1，5，6（0不合题意），
∴所有满足条件的两位“团结一致数”有：16，61，56，65，15，51，
∴所有满足条件的两位“团结一致数”的和为：
16+61+15+51+65+56＝264．
37．解：（1）（a×b）100＝a100×b100．
归纳得出：（a×b）n＝an×bn．
（﹣）2021×42022＝﹣（）2021×42022＝﹣（×4）2021×4＝﹣12021×4＝﹣4；
故答案为：a100×b100，an×bn，﹣4．
（2）①表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数．
故答案为：64，8，15；（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）．
1．有次序排列的三个数：6，2，8，任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：﹣6，﹣4，2，6，8，这称为第一次操作；做第二次操作后也可产生一个新数串：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，继续依次操作下去，则从数串6，2，8开始操作，第2021次后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A．4054 B．4056 C．4058 D．4060
2．观察下面三行数：
﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、……①
0、6、﹣6、18、﹣30、66、……②
﹣1、2、﹣4、8、﹣16、32、……③
设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x﹣y﹣2z的值为（ ）
A．22001 B．0 C．﹣2 D．2
3．观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（ ）
A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x8
4．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）
A． B．4039 C． D．4041
5．如图各正方形中的四个数字之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是（ ）
A．74 B．104 C．126 D．144
6．观察下列等式
第1层 1+2＝3
第2层 4+5+6＝7+8
第3层 9+10+11+12＝13+14+15
第4层 16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2016所在的层数是（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
7．如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（ ）
A．380 B．382 C．384 D．386
8．如图，在数轴上，A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，A2，A3关于点P对称，A3，A4关于点O对称，A4，A5关于点P对称…依此规律，则点A14表示的数是（ ）
A．21 B．﹣21 C．25 D．﹣25
9．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
10．将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（ ）
A．（505，1） B．（505，4） C．（506，1） D．（506，4）
11．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）
A． nH3nOH B． nH2n﹣1OH C． nH2n+1OH D． nH2nOH
12．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2022 D．2021
13．观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
14．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（2）＝，则f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）的值是（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
15．按一定规律排列的单项式a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，…第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n（2n﹣1）an B．（﹣1）n+1（2n+1）an
C．（﹣1）n（2n+1）an D．（﹣1）n+1（2n﹣1）an
16．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
17．观察下列等式，在数字宝塔中，从上往下数，2021所在的层数是（ ）
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24……
A．34 B．44 C．45 D．56
18．右边是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．131 B．130 C．129 D．128
19．将2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，若第一个数是0，第二个数是1，那么这2021个数的和是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
20．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ．
21．有一组数2、、、、……，则第n个数是 ．
22．如表所示为4×n的数字规律表，
表1
1 2 3 4 5 …
﹣2 ﹣4 ﹣6 ﹣8 ﹣10 …
3 6 9 12 15 …
﹣4 ﹣8 ﹣12 ﹣16 ﹣20 …
表2
m
﹣36
已知表2是从表1中按未显示部分截取下来的一部分，则m＝ ．
23．有若干个数第1个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3…，第n个数记为an，若a1＝2，从第二个数起每个数都等于“1与它前面的那个数的倒数的差”，则a2020＝ ．
24．任意写一个是3的倍数（非零）的数，先把这个数的每一数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数字a，我们称它为数字“黑洞”，这个数字a＝ ．
25．有依次排列的3个数：3，9，8对应相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8．这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，继续依次操作下去从数串3，9，8开始操作至第2024次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
26．有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若a1＝﹣，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”，a2021＝ ．
27．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4，…，按以上规律跳了140步时，电子跳蚤落在数轴上的点k140所表示的数恰是2091．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是 ．
28．从图①中找出规律，并按规律从图②中找出abc的值，计算a+b﹣c的值是 ．
29．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2021在数轴上表示的数是 ．
30．如图，按此规律，第6行最后一个数字是 ，第 行最后一个数是2020．
31．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22020．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+22020①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+22021②，
②﹣①得S＝22021﹣1，
即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）求1+3+32+33+34+…+32020的值；
（2）若a为正整数且a≠1，求1+a+a2+a3+a4+…+a2020．
32．观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；
1，7，﹣5，19，﹣29，67，…
（1）如果设第1行的第n个数为x，则第2、3行的第n个数分别为 ， （用含x的代数式表示）．
（2）取每一行的第n个数，从上到下依次记作A，B，C，对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，则t＝ ．
（3）是否存在这样的一列数，使得这样的一列三个数的和为1283？若存在，求出这一列数；若不存在，说明理由．
33．观察下列各式的特征：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；||＝；||＝，根据规律，解决相关问题：
（1）①|7﹣21|＝ ；②||＝ ．
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ．
（3）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则化简|a|﹣|b+2|﹣|a+c|的结果为 ．
（4）计算：|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||．
34．观察下列等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式： ．
（2）按以上规律列出第n个等式（n是正整数）： ．
（3）由此计算：．
35．阅读与思考：观察下列式子：，，，……，
（1）（探索规律）用正整数n表示上述式子的规律是 ；
（2）（问题解决）容器里有1升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，……，第n次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？说明理由；
（3）（拓展探究）计算的值．
36．对于一个正整数m，将其各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“团结数”．例如：m＝127，将其各个数位上的数字分别平方后得到的数为1，4，49，它们的个位数字依次为1，4，9，那么m的“团结数”n为149．若一个数的“团结数”等于它本身，那么这个数就叫做“团结一致数”．
（1）38的“团结数”是 ，2024的“团结数”是 ；
（2）若一个三位正整数x的“团结数”是541，求满足条件的所有x的值 ；
（3）已知一个两位“团结一致数”的个位数字与十位数字均不为0且互不相同，求所有满足条件的两位“团结一致数”的和．
37．（1）仔细观察下列式子：（a×b）2＝a2×b2，（a×b）3＝a3×b3，（a×b）4＝a4×b4．
猜一猜：（a×b）100＝ ．归纳得出：（a×b）n＝ ．
请应用上述性质计算：（﹣）2021×42022＝ ．
（2）如图是由从1开始的连续自然数组成的数表，观察规律并完成各题的解答．
①表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数．
参考答案
1．解：第一次操作：6，﹣4，2，6，8，求和结果：18，
第二次操作：6，﹣10，﹣4，6，2，4，6，2，8，求和结果：20＝18+2＝18+2×1，
第三次操作：6，﹣16，﹣10，6，﹣4，10，6，﹣4，2，2，4，2，6，﹣4，2，6，8，求和结果：22＝18+2+2＝18+2×2，
…，
第n次操作：求和结果：18+2×（n﹣1）＝16+2n，
∴第2021次结果为：16+2×2021＝4058．
故选：C．
2．解：由题知，第①行的数是以2为底数，指数从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，
∴第①行的第10个数为210，
即x＝210，
第②行的数比第①行对应的数大2，
∴第②行的第10个数为210+2，
即y＝210+2，
第③行的数是第①行对应数除以2所得，奇数位置为负，偶数位置为正，
∴第③行的第10个数为210÷2＝29，
即z＝29，
∴2x﹣y﹣2z＝2×210﹣（210+2）﹣2×29＝﹣2，
故选：C．
3．解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，
（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，
（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，
…
所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；
按发现的规律可知：
x，﹣2x2，
4x3＝22x3，
﹣8x4＝﹣23x4，
16x5＝24x5，
…
所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：B．
4．解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，
∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，
∴f（x）+f（）＝1，
∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣1）+f（1）
＝2020+
＝．
故选：C．
5．解：由题意可得第二行第二个的规律分别是：3×10，5×12，7×14，
∴m＝9×16＝144，
故选：D．
6．解：第一层，第一个数是12＝1，最后一个数为22﹣1＝3，
第二次，第一个数是22＝4，最后一个数是32﹣1＝8，
第三层，第一个数是32＝9，最后一个数是42﹣1＝15，
∴第n层，第一个数n2，最后一个数是（n+1）2﹣1，
∵442＜2016＜452，
∴第2016个数在第44层，
故选：B．
7．解：由题意可得，19右侧的数是20，
y＝19×20+2＝382，
故选：B．
8．解：A1，P两点表示的数分别是1，2，A1，A2关于点O对称，
∴A2表示的数是﹣1，
∵A2，A3关于点P对称，
∴A3表示的数是1+4＝5，
∵A3，A4关于点O对称，
∴A4表示的数是﹣5，
∵A4，A5关于点P对称，
∴A5表示的数是1+4+4＝9，
……
∴关于P点对称的点表示的数是1+2（n﹣2）＝2n﹣3，
关于O点对称的点表示的数是3﹣2n，
∴点A14表示的数是﹣25，
故选：D．
9．解：根据题中的新定义得：
＝
＝2021．
故选：D．
10．解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2021÷4＝505……1，
505+1＝506，
∴2021在第506行，
∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，
∴自然数2021记为（506，4）．
故选：D．
11．解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，
∴an＝2n+1．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为 nH2n+1OH．
故选：C．
12．解：观察数字的变化，
发现规律：
第n行的第一个数为n2，
所以第45行第一个数为452＝2025，
再依次减1，到第4列，
即452﹣3＝2022．
故选：C．
13．解：∵第1个相同的数是0＝6×（1﹣1），
第2个相同的数是6＝6×（2﹣1），
第3个相同的数为12＝6×（3﹣1），
…，
∴第n个相同的数为：6（n﹣1），
∴6（n﹣1）＝102，
解得：n＝18．
故选：A．
14．解：∵f（2）＝，f（）＝，
f（3）＝，f（）＝，
∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，
∴f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（9）
＝+…+
＝
＝8+0.5
＝8.5．
故选：B．
15．解：∵a＝（﹣1）1+1×（2×1﹣1）a，
﹣3a2＝（﹣1）2+1×（2×2﹣1）a2，
5a3＝（﹣1）3+1×（2×3﹣1）a3，
﹣7a4＝（﹣1）4+1×（2×4﹣1）a4，
9a5＝（﹣1）5+1×（2×5﹣1）a5，
…
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（2n﹣1）an．
故选：D．
16．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，
∴a2＝＝﹣2，
∵a3是a2的“友好数”，
∴a3＝＝，
∵a4是a3的“友好数”，
∴a4＝＝，
∵a5是a4的“友好数”，
∴a5＝＝3，
……
∴每四个数是一组循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴a2021＝a1＝3，
故选：A．
17．解：∵第1层第一个数为1×1＝1，最后一个数为2×2﹣1＝3；
第2层第一个数为2×2＝4，最后一个数为3×3﹣1＝8；
第3层第一个数为3×3＝9，最后一个数为4×4﹣1＝15；
∴第n层第一个数为n2，最后一个数为（n+1）2﹣1，
∵442＜2021＜（44+1）2，
∴从上往下数，2021在第44层．
故选：B．
18．解：∵每行的最后一个数是这个行的行数m的平方，
第m行的数字的个数是 2m﹣1，
∵442＝1936，
所以2021在第45行，
∵452＝2025，
∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45﹣1＝89个数字，从2025往前数4个数据得到2021，从而得出2021是第85个数据，
∴m＝45，n＝85，
∴m+n＝45+85＝130．
故选：B．
19．解：由题意可得，
第一个数是0，第二个数是1，
则第三个数是1﹣0＝1，
第四个数是1﹣1＝0，
第五个数是0﹣1＝﹣1，
第六个数是﹣1﹣0＝﹣1，
第七个数是﹣1﹣（﹣1）＝0，
第八个数是0﹣（﹣1）＝1，
…，
由上可得，这列数依次以0，1，1，0，﹣1，﹣1循环出现，每六个数一个循环，
∵2021÷6＝336…5，
∴这2021个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）+…+0+1+1+0+（﹣1）
＝[0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）]×336+[0+1+1+0+（﹣1）]
＝0×336+1
＝0+1
＝1，
故选：C．
20．解：由题知第一次输出1；
第二次输出﹣4；
第三次输出为﹣2；
第四次输出为﹣1；
第五次输出为﹣6；
第六次输出为﹣3；
第七次输出为﹣8；
第八次输出为﹣4；
....．
∴从第二次开始每六次循环一次，
（2021﹣1）÷6＝336......4，
∴第2021次的输出结果为﹣6，
故答案为：﹣6．
21．解：首先观察序列是个分数，分子后一项总是前一项+6，
∴将这组数改写为：、、、、、……，
分子是4，10＝4+6，16＝4+6×2，22＝4+6×3，28＝4+6×4，...，4+6（n﹣1）＝6n﹣2，
分母是2＝20+1，3＝21+1，5＝22+1，9＝23+1，17＝24+1，...，2n﹣1+1，
故答案为：．
22．解：如果﹣36在第二行第18列，则m在第一行第19列，得m＝19；
如果﹣36在第四行第9列，则m在第三行第10列，得m＝30．
故答案为：19或者30．
23．解：由题意得，
a1＝2，
a2＝1﹣＝，
a3＝1﹣2＝﹣1，
a4＝1﹣（﹣1）＝2，
…，
可以发现2，，﹣1三个数循环出现，
∵2020÷3＝673……1，
∴a2020＝a1＝2，
故答案为：2．
24．解：以69为例，
第一步计算：63+93＝216+729＝945，
第二步计算：93+43+53＝729+64+125＝918，
第三步计算：93+13+83＝1242，
第四步计算：13+23+43+22＝81，
第五步计算：83+13＝513，
第六步计算：53+13+33＝153，
第七步计算：13+53+33＝153，
…，
∴这个固定数字是153，
故答案为：153．
25．解：第一次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+5＝20+5；
第二次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+2×5＝20+5×2；
……
第n次操作后，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+n×5＝20+5n；
∴当n＝2024时，所产生的那个新数串的所有数之和是（3+9+8）+2024×5＝10140；
故答案为：10140．
26．解：由题意得：
a1＝﹣，
a2＝＝，
a3＝＝3，
a4＝＝﹣，
…
则该数据为﹣，，3的循环排列，
∵2021÷3＝673……2，
∴a2021＝a2＝．
故答案为：．
27．解：设电子跳蚤落在数轴当的点k0＝a，规定向右为正，向左为负，
由题意得，a﹣1+2﹣3+4﹣…+140＝2091，
∴a+70×1＝2091，
∴a＝2021，
∴k0为2021，
故答案为：2021．
28．解：由题意得：a＝﹣4+11＝7，
c＝11+（﹣15）＝﹣4，
b＝a+c＝7+（﹣4）＝3，
∴a+b﹣c
＝7+3﹣（﹣4）
＝10+4
＝14．
故答案为：14．
29．解：∵点A1在数轴表示的数是，
∴点A2在数轴表示的数是＝2，
点A3在数轴表示的数是＝﹣1，
点A4在数轴表示的数是＝，
∴每3组数是一个循环，
∵2021÷3＝673…2，
∴点A2021在数轴上表示的与点A2在数轴上表示的相同，
∴点A2021在数轴上表示的2，
故答案为：2．
30．解：第一行有1个数字，第二行有3个数字，第三行有5个数字，……，第n行有（2n﹣1）个数字，
∴第6行有11个数字，
∵每行首个数字为n，
∴第6行首个数字是6，
∴第6行最后一个数字是6+10＝16，
∵每行最后一个数字是3n﹣2，
∴2020＝3n﹣2，即n＝674，
∴第274行最后一个数字是2020，
故答案为：16，674．
31．解：（1）设S＝1+3+32+33+34+…+32020①，
则3S＝3+32+33+34+35+…+32021②，
②﹣①得2S＝32021﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+32020＝；
（2）设S＝1+a+a2+a3+a4+…+a2020①，
则aS＝a+a2+a3+a4+…+a2020+a2021②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝a2021﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2020＝．
32．解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；
∴第n个数为：x＝（﹣2）n；
∵﹣1＝﹣2÷2，2＝4÷2，﹣4＝﹣8÷2，…，
∴第n个数为：（﹣2）n÷2＝；
∵1＝﹣2+3，7＝4+3，﹣5＝﹣8+3，…，
∴第n个数为：（﹣2）n+3＝x+3；
故答案为：；x+3；
（2）∵A﹣tB+3C，
∴x﹣+3（x+3）
＝x﹣x+3x+9
＝（1﹣+3）x+9，
∵对于任意的正整数n均有A﹣tB+3C为一个定值，
∴1﹣+3＝0，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（3）不存在，理由如下：
由题意得：x++x+3＝1283，
解得：x＝512，
即（﹣2）n＝512，
∵（﹣2）9＝﹣512，
∴不存在这样的一列三个数的和为1283．
33．解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7，②||＝﹣，
故答案为：21﹣7，﹣；
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b，当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：a﹣b，b﹣a；
（3）由题意可得，a＜﹣2＜b＜﹣1＜c，
∴|a|﹣|b+2|﹣|a+c|
＝﹣a﹣（b+2）﹣[﹣（a+c）]
＝﹣a﹣b﹣2+a+c
＝c﹣b﹣2，
故答案为：c﹣b﹣2；
（4）|﹣1|+|﹣|+|﹣|+…+||
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
34．解：（1）由题意得：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）∵，
，
，
...，
∴第n个等式为：，
故答案为：；
（3）
＝×（1﹣）
＝．
35．解：（1）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：．
故答案为：；
（2）永远不可能倒完．理由如下：
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝++++
＝×（）
＝
＝
＝．
36．解：（1）∵将38各个数位上的数字分别平方后得到的数为：9，64，
∴它们的个位数字依次为：9，4，
∴38的“团结数”为：94；
∵将2024各个数位上的数字分别平方后得到的数为：4，0，4，16，
∴它们的个位数字依次为：4，0，4，6，
∴38的“团结数”为：4046．
故答案为：94；4046；
（2）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字为5的数只有5，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为4的数有2或8，
数位上的数字平方后得到的数的个位数字为1的数有1或9，
∴满足条件的所有x的值为：581，521，589，529；
故答案为：581，521，589，529；
（3）∵数位上的数字平方后得到的数的个位数字等于它本身的数字有1，5，6（0不合题意），
∴所有满足条件的两位“团结一致数”有：16，61，56，65，15，51，
∴所有满足条件的两位“团结一致数”的和为：
16+61+15+51+65+56＝264．
37．解：（1）（a×b）100＝a100×b100．
归纳得出：（a×b）n＝an×bn．
（﹣）2021×42022＝﹣（）2021×42022＝﹣（×4）2021×4＝﹣12021×4＝﹣4；
故答案为：a100×b100，an×bn，﹣4．
（2）①表中第8行的最后一个数是64，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；
②用含n的代数式表示：第n行的第一个数是（n﹣1）2+1，最后一个数是n2，第n行共有（2n﹣1）个数．
故答案为：64，8，15；（n﹣1）2+1，n2，（2n﹣1）．