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2.2.2二次函数y=ax2 和y=ax2+c的图象与性质教学设计
课题 2.2.2二次函数y=ax2 和y=ax2+c的图象与性质 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2和y=ax2+c（a≠0）的图象． 2．使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
重点 会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象，掌握它的性质．
难点 理解表达式中 a 、 c 対图象的影响。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数？ 回顾旧知，回答 回顾二次函数定义探索图象的基础，引导本节课的探索思路。
讲授新课 1.在画有y =x2直角坐标系中，画出，y =2x2的图象. ①列表； ②描点，连线 2.函数 =，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ 开口都向上， 对称轴都是y轴. y=2x2抛物线的开口最小． 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点. 总结填表： 3.做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象． 解：先列表：再描点，连线 然后描点画图： 思考：抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 4.二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？ 画出图象并观察得出结论： 1、因为a值相同，所以开口方向，大小都相同； 2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向上平移1个单位得到； 3、二次函数y=2x2-1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向下平移1个单位得到； 3.想一想，函数y=2x2+1是由函数y=2x2怎样平移得到的呢？ y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的 (1)当c>0 时，向上平移c个单位; (2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位. 规律：平方项不变，常数项上加下减. 4.在同一坐标系中，画出二次函数,y=y=的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线y= 通过怎样的平移可得到抛物线. 归纳二次函数y = ax2 +c的图象和性质: 学生动脑，动手操作，画出二次函数图象 学生思考、讨论、交流，寻求解决问题的思路和方法。 学生动脑，动手操作，画出二次函数图象。 同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 学生通过动手画函数，对前面的知识进行巩固，也能做比较，培养学生观察总结的能力。 教师要关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决问题的意识。 学生通过观察图像总结出性质，培养学生归纳总结的能力。
课堂练习 对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是 ( ) A．最小值为2 B．图象与x轴没有公共点 C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是y轴 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的 交点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3.将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________． 4.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 5. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点. （1）y=x2+3; （2）y=-3x2-4. 7.已知函数y=ax2+c的图象经过点 （1，）和（-3，-1）. （1）求函数的关系式； （2）指出顶点坐标； （3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §2.2.2二次函数y=ax2+c的图象与性质1.在画有y =x2直角坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象. 2.2.在同一坐标系中，画出二次函数,y=y=的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线y= 通过怎样的平移可得到抛物线. 学 生 活 动 区
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2.2.2二次函数y=ax2 和y=ax2+c的图象与性质
北师大版 九年级下册
复习旧知
y =－x2
y =x2
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数？
新知讲解
x ··· －2 －1 0 1 2 ···
··· 2 0.5 0 0.5 2 ···
y = 2x2 ··· 8 2 0 2 8 ···
在画有y =x2直角坐标系中，画出，y =2x2的图象.
①列表；
②描点；
③连线.
y =x2
y=2x2
新知讲解
y =x2
y=2x2
函数，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向上，
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
复习旧知
y=ax2 (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
最值
向上
向下
(0，0)
(0，0)
y轴 (x=0)
y轴 (x=0)
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表,
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
新知讲解
然后描点画图,
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
思考
归纳
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2x2+1
y = 2x2 -1
上
上
y轴
y轴
（0,1）
（0,-1）
相同点：
不同点：
开口方向相同、形状相同，对称轴都是y轴。
顶点坐标发生了改变。
新知讲解
二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
0
2
8
2
8
9
3
1
3
9
7
1
-1
1
7
解：先列表：
观察发现
y
x
2
6
4
8
0
2
4
-2
-4
-2
1、因为a值相同，所以开口方向，
大小都相同；
2、二次函数y=2x2+1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向上平移1个单位得到；
3、二次函数y=2x2-1的图象，可以看作是由y=2x2的图象向下平移1个单位得到.
再描点，连线
归纳
y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的,
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
D
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数,y=
y=的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，指明抛物线y= 通过怎样的平移可得到抛物线.
-4
-2
y
-6
O
-2
2
x
4
-4
如图所示
y=
y=+2
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
图象 c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
想一想
1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？
2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.
对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).
课堂练习
1.对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
C
B
课堂练习
3.将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．
y=x2－1
4.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
5. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
课堂练习
6.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=x2+3; （2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上,对称轴为y轴,顶点为（0，3）.
（2）开口向下,对称轴为y轴,顶点为（0，-4）.
课堂练习
7.已知函数y=ax2+c的图象经过点
（1，）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；
（2）指出顶点坐标；
（3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点.
课堂练习
解：（1）由题意，得
解得
∴此函数的关系式为y=-x2+2.
（2）顶点坐标为（0,2）.
（3）当y=0时，- x2+2=0.
解得.
∴此抛物线与x轴交点为（，0）（-，0）.
作业布置
1.课本习题2.3第2、3题
2.已知 y =(m+1)是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
课堂小结
复习y=ax2
探索y=ax2+c的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
y轴（直线x=0）
（0,c）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
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