怎样判定三角形全等
一．选择题（共10小题）
1．如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（ ）
A．DE∥AB B．EF∥BC C．AB＝DE D．AC＝DF
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
3．在新修的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD（如图），其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修建一凉亭E，M，F，且BE＝CF，M是BC的中点，E，M，F在一条直线上．若在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，要测出的长度是（ ）
A．EM B．BE C．CF D．CM
4．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．∠C＝90°，AB＝6
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE
7．如图，B、E、C、F四点在同一直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列条件，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．AC∥DF
8．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AD⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
10．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D．厘米
二．填空题（共5小题）
11．如图，AD、AD1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中BC、B1C1边上的高，且AB＝A1B1，AD＝A1D1，请你补充一个适当的条件： ，使△ABC≌△A1B1C1．
12．如图，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别在AB、AC上，连接ED、FD、EF，若ED⊥DF，BE＝6，CF＝3，则EF的取值范围是 ．
13．如图，在△ABC与△DCB中，∠1＝∠2，增加一个条件后，能使△ABC≌△DCB的是 ．（只写一个即可）
14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝8，CF＝3，则AF的长度为 ．
15．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的s点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与游艇的距离为 米．
三．解答题（共3小题）
16．如图，点A，D，B在同一直线上，AC＝BD，AB＝DE，∠C＝∠DFB．试说明：△DEB≌△ABC．
17．如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：△EFD≌△ABC．
18．如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．怎样判定三角形全等
一．选择题（共10小题）
1．如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（ ）
A．DE∥AB B．EF∥BC C．AB＝DE D．AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵DE∥AB，
∴∠A＝∠D，
由∠A＝∠D，BC＝EF不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠BCA，
∠A＝∠D，∠EFC＝∠BCA，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．BC＝EF，AB＝DE，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△CDE，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：B．
3．在新修的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD（如图），其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修建一凉亭E，M，F，且BE＝CF，M是BC的中点，E，M，F在一条直线上．若在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，要测出的长度是（ ）
A．EM B．BE C．CF D．CM
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠C，∠BEM＝∠CFM，然后利用“角角边”证明△EBM和△FCM全等，根据全等三角形对应边相等可得MF＝ME，从而得解．
【解答】解：测出ME的距离就知道了M与F之间的距离．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，∠BEM＝∠CFM，
∵M是BC的中点，
∴BM＝MC，
在△EBM和△FCM中，，
∴△EBM≌△FCM（AAS），
∴ME＝MF，
故选：A．
4．如图，点A、D在线段BC的同侧，连接AB、AC、DB、DC，已知∠ABC＝∠DCB，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△DCB．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AC＝DB C．AB＝DC D．∠ABD＝∠DCA
【分析】因为∠ABC＝∠DCB，BC共边，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、补充∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DCB，故A正确；
B、补充AC＝DB，SSA不能判定△ABC≌△DCB，故B错误；
C、补充AB＝DC，可根据SAS判定△ABC≌△DCB，故C正确；
D、补充∠ABD＝∠DCA，可根据ASA判定△ABC≌△DCB，故D正确．
故选：B．
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．∠C＝90°，AB＝6
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
【分析】根据三角形三边的关系可对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B、C、D进行判断．
【解答】解：A．3+4＜8，则AB、BC、CA不能组成三角形，所以A选项不符合题意；
B．由∠C＝90°，AB＝6可以画出无数个三角形，所以B选项不符合题意；
C．由AB＝4，BC＝3，∠A＝30°可画一和锐角三角形也可以画出一个钝角三角形，所以C选项不符合题意；
D．由∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4可画出唯一△ABC，所以D选项符合题意．
故选：D．
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．
故选：B．
7．如图，B、E、C、F四点在同一直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列条件，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．AC∥DF
【分析】利用全等三角形的判定依次判断即可．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
若添加AC＝DF，则两个三角形满足SSA，
∴不一定全对，符合题意；
若添加：∠A＝∠D，则两个三角形ASA全等，不符合题意；
若添加BE＝CF，则BC＝EF，则两个三角形SAS全等，不符合题意；
若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，则两个三角形AAS全等，不符合题意；
故选：A．
8．如图，已知△ABC的面积为16，BP平分∠ABC，且AD⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】证明△APB≌△DPB，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
在△APB和△DPB中，
，
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP＝PD，
∴S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC，
∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝8，
故选：C．
9．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（ ）
A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB＝AC，又AD＝AD，AD⊥BC，所以△ABD≌△ACD，所以BD＝CD．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD＝CD．
故选：C．
10．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）
A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D．厘米
【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：连接AB．
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝6厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是×（6﹣5）＝（厘米），
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AD、AD1分别是锐角△ABC和△A1B1C1中BC、B1C1边上的高，且AB＝A1B1，AD＝A1D1，请你补充一个适当的条件： CD＝C1D1（或AC＝A1C1，或∠C＝∠C1或∠CAD＝∠C1A1D1） ，使△ABC≌△A1B1C1．
【分析】根据判定方法，结合图形和已知条件，寻找添加条件．
【解答】解：我们可以先利用HL判定△ABD≌△A1B1C1得出对应边相等，对应角相等．
此时若添加CD＝C1D1，可以利用SAS来判定其全等；
添加∠C＝∠C1，可以利用AAS判定其全等；
还可添加AC＝A1C1，∠CAD＝∠C1A1D1等，
故答案为：CD＝C1D1（或AC＝A1C1，或∠C＝∠C1或∠CAD＝∠C1A1D1）．
12．如图，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别在AB、AC上，连接ED、FD、EF，若ED⊥DF，BE＝6，CF＝3，则EF的取值范围是 3＜EF＜9 ．
【分析】延长ED到M，使DM＝ED，连接FM，CM，利用SAS证明△BED≌△CMD，得到BE＝CM＝6，再根据三线合一的逆定理得出EF＝FM，最后根据三角形三边关系即可得解．
【解答】解：延长ED到M，使DM＝ED，连接FM，CM，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BED和△CMD中，
，
∴△BED≌△CMD（SAS），
∵BE＝CM＝6，
∵ED⊥DF，
∴∠FDE＝∠FDM＝90°，
又∵ED＝DM，
∴FE＝FM，
在△CFM中，CM＝6，CF＝3，
∴CM﹣CF＜FM＜CM+CF，
即3＜FM＜9，
∴3＜EF＜9，
故答案为：3＜EF＜9．
13．如图，在△ABC与△DCB中，∠1＝∠2，增加一个条件后，能使△ABC≌△DCB的是 AC＝BD ．（只写一个即可）
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：因为AC＝BD，∠1＝∠2，BC＝BC，根据SAS能推出△ABC≌△DCB；
因为∠1＝∠2，BC＝BC，∠ABC＝∠DCB，根据ASA能推出△ABC≌△DCB；
因为∠A＝∠D，∠1＝∠2，BC＝BC，根据AAS能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
14．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC，且BF＝8，CF＝3，则AF的长度为 ．
【分析】由“SAS”可证△ACD≌△GBD，可得∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代换得到BE＝BG，由等腰三角形的性质得到∠G＝∠BEG，推出EF＝AF即可得解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG，
∵BE＝AC，
∴BE＝BG，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF．
∴EF＝AF，
∴AF+CF＝BF﹣AF，
即AF+3＝8﹣AF，
∴AF＝，
故答案为．
15．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的s点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与游艇的距离为 90 米．
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理进行解答．
【解答】解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD，
∵CD＝90米，
∴AS＝CD＝90米，
答：在A点处小明与游艇的距离为90米，
故答案为：90米．
三．解答题（共3小题）
16．如图，点A，D，B在同一直线上，AC＝BD，AB＝DE，∠C＝∠DFB．试说明：△DEB≌△ABC．
【分析】根据平行线的判定得出AC∥DE，进而利用平行线的性质得出∠A＝∠BDE，进而利用SAS证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵∠C＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∴∠A＝∠BDE，
在△ABC与△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB（SAS）．
17．如图，D是△ABC的边AC上一点，点E在AC的延长线上，ED＝AC，过点E作EF∥AB，并截取EF＝AB，连接DF．求证：△EFD≌△ABC．
【分析】由平行线的性质得出∠E＝∠A，又EF＝AB，ED＝AC，即可根据SAS判定△EFD≌△ABC．
【解答】证明：∵EF∥AB，
∴∠E＝∠A，
在△EFD和△ABC中，
，
∴△EFD≌△ABC（SAS）．
18．如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：△ABD≌△ACE．
（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠ACE＝∠ABD＝20°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB＝47°，则∠FBC＝∠FCB＝27°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝20°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣86°）＝47°，
∴∠FBC＝∠FCB＝47°﹣20°＝27°，
∴∠BFC＝180°﹣27°﹣27°＝126°．
