1.9 有理数的除法
知识点 1 有理数的除法运算
1.计算:(1)8÷(-4)=-(________)=________;
(2)(-6)÷=________=6×________=________;
(3)0÷=________.
2.若两个有理数的商是负数,则这两个数一定( )
A.都是正数 B.都是负数
C.符号相同 D.符号不同
3.(-6)÷的结果为( )
A.1 B.-1 C.36 D.-36
4.有下列运算:①(-18)÷(+9)=-2;②÷8=-×=-9;
③0.75÷=-×=-;
④|-9|÷=9×11=99.
其中运算正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.两个数的积是-1,其中一个数是-2,则另一个数是________.
6.等式÷=0中,“□”表示的数是________.
7.计算下列各题:
(1)(-36)÷(-12); (2)(-24)÷;
(3)÷; (4)÷0.5.
知识点 2 有理数的乘除混合运算
8.计算:×÷=________.
9.计算下列各题:
(1)×÷0.25;
(2)÷(-5)×;
(3)÷×÷(-2).
10.如图1-9-1,在数轴上点A,B对应的数分别为a,b,则有下列结论:①>0;②>0;③>0;④>0.其中正确的有( )
图1-9-1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.两个不为零的有理数相除,如果交换被除数与除数的位置,它们的商不变,那么这两个数一定( )
A.相等 B.互为相反数
C.互为倒数 D.相等或互为相反数
12.某冷冻厂一个冷库的温度是-1 ℃,现有一批食品需在-19 ℃的温度下冷藏.如果每小时降温3 ℃,那么________小时后才能降到所需的温度.
13.计算:
(1)(-42)÷(-7)-(-6)×4;
(2)22×(-5)-(-3)÷;
(3)÷×;
(4)[0-(-3)]×(-6)-12÷[(-3)+(-8)÷6].
14.若规定:a△b=÷,例如:2△3=÷=-,试求(2△7)△4的值.
15.有理数a,b,c满足a+b+c>0,且abc<0,求+++的值.
16.请先认真阅读材料:
计算:(-)÷(-+-).
解:原式的倒数是(-+-)÷(-)
=(-+-)×(-30)
=×(-30)-×(-30)+×(-30)-×(-30)
=-20-(-3)+(-5)-(-12)
=-20+3-5+12
=-10,
故原式=-.
请根据你对所提供材料的理解,选择合适的方法计算:(-)÷(-+-).
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课从学生已有的知识经验出发,用贴近生活的实例,引导学生动脑、动手、观察、归纳,将实际问题数学化,在用数学手段研究实际问题的过程中,去建立有理数的除法法则.有理数的除法不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习方程、函数等内容的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 1.理解有理数除法的法则. 2.会正确地进行有理数的除法运算
过程与方法 经历由乘法到除法的转变过程,培养学生用类比和转化的思想方法解决问题
情感、度 与价值观 认识通过观察、归纳、推理可以获得数学猜想,体验数学活动充满探索性和创造性,培养学生观察、归纳、概括及运算的能力
教学重 点难点 重点 有理数的除法法则及有理数除法法则的应用与理解,商的符号的确定
难点 有理数除法法则的应用
易错点 有理数的除法转化成乘法运算及商的符号的确定
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 填空:(1)2×__(-3)__=-6;(2)__-3__×=1; (3)(-)×__(-2)__=3; (4)×____=1;(5)(-5)×__0__=0
活动2 想一想 怎样计算8÷(-4)呢?小明进行了如下探索: 因为(-2)×(-4)=8,所以8÷(-4)=__-2__. 另一方面,8×(-)=__-2__. 于是有8÷(-4)=8×__(-)__. 你能从中得出什么结论? [答案] 除以一个数(不等于0)等于乘这个数的倒数
【详解详析】
1.(1)8÷4 -2 (2)+ ÷ 9 (3)0
2.D [解析] 若两个有理数的商是负数,则这两个数异号.
3.D [解析] 原式=-6×6=-36.
4.D 5. 6.-7.3
7.解:(1)(-36)÷(-12)=36÷12=3.
(2)(-24)÷=24÷=24×3=72.
(3)÷=÷=-(×)=-.
(4)÷0.5=÷=-(×2)=-3.
8.-
9.解:(1)原式=××4=.
(2)原式=××=-.
(3)原式=-×××=1.
10.B [解析] 观察数轴,可知a与b的符号相反,所以-a与b或a与-b的符号相同,根据除法中确定商的符号的方法,可知①②错误而③④正确.故选B.
11.D
12.6 [解析] 由-1 ℃降到-19 ℃需降18 ℃,若每小时降3 ℃,则需要18÷3=6(时)后才能降到所需的温度.
13.解:(1)原式=6-(-24)=30.
(2)原式=-110-3×5=-110-15=-125.
(3)原式=÷×=-××=-.
(4)原式=3×(-6)-12÷=-18-12÷=-18+12×=-18+
2=-15.
14.解:因为2△7=÷=-,
所以(2△7)△4=-△4=-÷=7×=.
15.解:因为abc<0,
所以abc中负因数有1个或3个.
因为a+b+c>0,所以a,b,c中至少有1个正数,
所以符合条件的只有一种情况:其中一个为负数,其余两个为正数.
此时分以下三种情况:
①当a<0时,b>0,c>0,
+++=-1+1+1-1=0;
②当b<0时,a>0,c>0,
+++=1-1+1-1=0;
③当c<0时,a>0,b>0,
+++=1+1-1-1=0.
故+++的值为0.
16.解:原式的倒数是(-+-)÷(-)
=(-+-)×(-42)
=×(-42)-×(-42)+×(-42)-×(-42)
=-7+9-28+12
=-14,
故原式=-.1.5 第1课时 有理数的加法
知识点 1 有理数加法法则
1.计算:
(1)(+3)+(+2)=+(︱3︱____︱2︱)=5,(-3)+(-2)=____(︱3︱+︱2︱)=____;
(2)3+(-2)=________(︱3︱-︱-2︱)=____,(-3)+(+2)=-(︱-3︱-︱2︱)=________;
(3)+=________;
(4)(-5)+0=________,5+0=________.
2.两个负数的和一定是( )
A.负数 B.非正数 C.非负数 D.正数
3.下列各式中,计算结果为正数的是( )
A.(-7)+(+4) B.2.7+(-3.5)
C.+ D.0+
4.-7的相反数加上-3,结果是( )
A.10 B.-10 C.4 D.-4
5.已知a,b两数互为相反数,则a+b的值为( )
A.2a B.2b C.0 D.1
6.如果两个数的和是正数,那么( )
A.这两个数都是正数
B.一个是正数,一个是零
C.这两个数一正一负,且正数的绝对值较大
D.必属上面三种情况之一
7.已知两数5和-6,这两个数的和是________,两数和的相反数是________,两数绝对值的和是________.
8.计算:
(1)(-3)+(-12); (2)+;
(3)(-12.5)+(+12.5);
(4)+0;
(5)(-3)+;
(6)(+2.7)+.
知识点 2 有理数加法的应用
9.气温由-1 ℃上升2 ℃后是( )
A.-1 ℃ B.1 ℃
C.2 ℃ D.3 ℃
10.A地的高度是-21米,B地比A地高68米,那么B地的高度是________.
11.楼顶所在高度为18米,气球在楼顶正上方5米处,则气球的高度为__________米.
12.某直升机在空中做升降练习,第一次上升210米,第二次下降232米,请问此时直升机是否又回到了原来的高度?如果没有,那么比原来升高了还是降低了?
13.计算下列各式的值,结果是8的式子是( )
A.(-2)+(+10) B.(-6)+(+2)
C.+ D.+
14.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-5-1 所示,则a+b的值( )
图1-5-1
A.大于0 B.小于0
C.大于a D.小于b
15.绝对值不大于1的所有整数之和为( )
A.0 B.2 C.-2 D.-4
16.把-1,0,1,2,3这五个数填入图1-5-2中的方框,使行、列三个数的和相等,其中错误的一个是( )
图1-5-2
17.在数-5,1,-3,6,-2中任取两个不同的数相加,和最大是________,和最小是________.
18.若a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,
则|a+b+c|=________.
19.中国人最先使用负数,我国古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图1-5-3,根据刘徽的这种表示法,观察图①,可推算图②中所得的数值为________.
图1-5-3
20.小明做了这样一道计算题:|(-3)+■|,其中“■”表示被污染看不到的一个数,他看了后边的答案得知该题的计算结果为6,那么“■”表示的数是________.
21.若m,n互为相反数,x的绝对值为2,求5(m+n)+x的值.
22.某矿工深入矿井采矿,先潜入井下30.5 m,然后又上升了15.6 m,请你用有理数的加法计算这时矿工所在的位置.
23.已知|x|=5,|y|=2,且x<0,求x+y的值.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课通过实验,结合数轴分析,从“形”上感受有理数的加法法则,通过“形与数”的转换得出有理数的加法法则.有理数的加法运算不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习整式加减运算的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 理解有理数加法的意义,能熟练地进行有理数的加法运算
过程与方法 经历运用数学符号来描述现实世界的过程,建立初步符号感,发展抽象思维,渗透分类讨论、归纳、转化等数学思想方法
情感、度 与价值观 加强数感培养,感受数的意义,培养实事求是的科学态度,既能独立思考,又能勇于创新
教学重 点难点 重点 有理数的加法法则及其应用
难点 异号两数的加法运算
易错点 运算结果的符号确定
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 运用数轴解决实际问题: 有一座三层楼房不幸起火,一位消防员搭梯子爬向三楼抢救一个老人,当他爬到梯子的正中间一级时,二楼窗口喷出火来,他就下退了2级,等火过去了,他又向上爬了12级,这时他距离梯子的最高层还有2级,问这部梯子共有几级? [答案] 可借助数轴解题,易知梯子一共有25级
活动2 想一想 正有理数及0的加法运算小学已经学过,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数的范围.例如,足球循环赛中,可以把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫做净胜球数.如果红队进4个球,失2个球;蓝队进1个球,失1个球. 于是红队的净胜球数为4+(-2), 蓝队的净胜球数为1+(-1). 这里用到正数和负数的加法.那么,怎样计算4+(-2)呢?通过本节课的学习我们就可以解决这个问题
【详解详析】
1.(1)+ - -5
(2)+ 1 -1
(3)0
(4)-5 5
2.A
3.C [解析] 根据有理数加法法则“异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大加数的符号”,可知C选项中的式子计算结果为正数.
4.C [解析] 根据题意,得-(-7)+(-3)=7-3=4.
5.C [解析] 互为相反数的两个数的和等于0,故选C.
6.D [解析] 两个数的和为正数,必须有一个加数为正数,根据有理数的加法法则可以发现选项A,B,C都可以成立.故选D.
7.-1 1 12
8.解:(1)原式=-(3+12)=-15.
(2)原式=2-=1.
(3)原式=0.
(4)原式=-10.
(5)原式=-3+=-2.
(6)原式=2.7-1.4=1.3.
9.B [解析] 根据上升2 ℃即是比原来的温度高了2 ℃,就是把原来的温度加上2 ℃,即-1+2=1(℃).
10.47米
11.23 [解析] 根据题意,得18+5=23(米).
12.解:根据题意,直升机第一次上升210米,第二次上升-232米,则两次上升的高度之和为210+(-232)=-(232-210)=-22(米).
答:直升机没有回到原来的高度,比原来降低了.
13.A [解析] A选项,(-2)+(+10)=8;B选项,(-6)+(+2)=-4;
C选项,+=-8;D选项,+=-8.故选A.
14.B [解析] 根据数轴上a,b的对应点的位置可以发现,a为正数,b为负数,且b的绝对值大于a的绝对值,故a+b的值小于0.
15.A
16.D [解析] 对于A选项中的图,行的和为1+(-1)+2=2,列的和为3+(-1)+
0=2,满足题意;
对于B选项中的图,行的和为(-1)+3+2=4,列的和为1+3+0=4,满足题意;
对于C选项中的图,行的和为0+1+2=3,列的和为3+1+(-1)=3,满足题意;
对于D选项中的图,行的和为3+0+(-1)=2,列的和为2+0+1=3,不满足题意.
故选D.
17.7 -8 [解析] 最大的和是1+6=7,最小的和是-5+(-3)=-8.
18.1 [解析] 因为最小的自然数是0,最大的负整数是-1,绝对值最小的有理数是0,所以|a+b+c|=|0+(-1)+0|=|-1|=1.
19.-3 [解析] 图②中表示(+2)+(-5)=-3.
20.-3或9 [解析] 由题意可知,(-3)+■=-6或(-3)+■=6,故“■”表示的数是-3或9.
21.解:根据题意,得m+n=0,x=2或x=-2,
所以当x=2时,5(m+n)+x=5×0+2=2;
当x=-2时,5(m+n)+x=5×0+(-2)=-2.
22.解:选井口为基准线,设上升为正,下降为负,则-30.5+(+15.6)=-14.9(m).
答:矿工所在的位置为井下14.9 m.
23.解:因为|x|=5,|y|=2,且x<0,
所以x=-5,y=±2.
当x=-5,y=2时,x+y=-5+2=-3;
当x=-5,y=-2时,x+y=-5+(-2)=-7.
故x+y的值为-3或-7.第2课时 有理数的乘法运算律及其应用
知识点 1 乘法运算律的应用
1.(1)5×(-6)=________,(-6)×5=______,故5×(-6)________(-6)×5;
(2)[6×(-2)]×(-5)=______,6×[(-2)×(-5)]=____,故[6×(-2)]×
(-5)______6×[(-2)×(-5)];
(3)(-24)×=____,(-24)×+(-24)×=______,
故(-24)×____(-24)×+(-24)×.
2.下列变形不正确的是( )
A.5×(-6)=(-6)×5
B.×(-12)=(-12)×
C.×(-4)=(-4)×+×4
D.(-25)×(-16)×(-4)=[(-25)×(-4)]×(-16)
3.在算式-57×24+36×24-79×24=(-57+36-79)×24中,逆用了( )
A.加法交换律 B.乘法交换律
C.乘法结合律 D.乘法对加法的分配律
4.简便运算:
(1)(-3)×××;
(2)(--+)×(-24);
(3)5×3+7×3-12×3;
(4)49×(-5).
知识点 2 多个有理数相乘
5.算式(-4)×(-5)×1.2×(-2.5)的积的符号是________,计算结果是________.
6.绝对值小于100的所有整数的积为________.
7.下列各式中,积为负数的是( )
A.(-5)×(-2)×(-3)×(-7)
B.(-5)×(-2)×|-3|
C.(-5)×2×0×(-7)
D.(-5)×2×(-3)×(-7)
8.计算:
(1)(-1)×1×(-1)×(-1)×1;
(2)(+5.9)×(-2019)×0×2020.
9.有2019个有理数相乘,如果积为0,那么2019个数中( )
A.全部为0
B.只有一个为0
C.至少有一个为0
D.有两个互为相反数
10.在数5,-3,2,-4中任取三个数相乘,其中积最小是( )
A.-30 B.24
C.-40 D.60
11.如果abcd<0,a+b=0,cd>0,那么这四个数中负因数至少有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
12.计算:25×(-0.125)×(-4)××(-8)×1=________.
13.学了有理数的运算后,老师给同学们出了一道题:
计算:19×(-9),下面是两位同学的解法:
小方:原式=-×9=-=-179;
小杨:原式=×(-9)=-19×9-×9=-179.
(1)两位同学的解法中,谁的解法较好?
(2)请你写出另一种更好的解法.
14.某学校举行数学知识竞赛,红队、绿队进入决赛,每个队回答20道题,答对1题加10分,答错1题扣5分,弃权扣3分,每队的基础分都是0分.已知红队答对6道题,答错6道题,其余弃权;绿队答对7道题,答错12道题,1道题弃权.请你判断哪个队的得分高.
15.观察下列等式:
第1个等式:a1==×;
第2个等式:a2==×;
第3个等式:a3==×;
第4个等式:a4==×;
…
请回答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式:a5=________=______________;
(2)用含n的式子表示第n个等式:an=________=______________(n为正整数);
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a100的值.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课从学生已有的知识经验出发,通过由简单教具到具体数字运算的方式,引进负数后乘法运算律也成立.有理数的乘法运算律不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习方程、函数等内容的必备知识.中考中常与除法综合考查
教 学 目 标 知识与技能 能熟练地进行有理数的乘法运算,会用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算
过程与方法 经历验证有理数乘法运算律的过程,培养学生的观察、归纳、猜测、验证等能力
情感、度 与价值观 通过有理数乘法运算律的探索与验证,培养学生用类比的方法分析问题和解决问题的能力,渗透类比的数学思想方法
教学重 点难点 重点 会运用乘法运算律进行乘法运算
难点 掌握运用运算律进行乘法运算的技巧
易错点 运算律应用出现混淆,不能掌握运用运算律的技巧
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 用公式表示小学学过的乘法运算律. 乘法交换律:__ab=ba____. 乘法结合律:__(ab)c=a(bc)____. 乘法对加法的分配律:__a(b+c)=ab+ac__
活动2 想一想 在小学里,数的乘法满足交换律,例如8×3=3×8;还满足结合律,例如(4×6)×3=4×(6×3).引入负数后,乘法交换律、结合律是否还成立? [答案] 成立
【详解详析】
1.(1)-30 -30 = (2)60 60 = (3)-1 -1 = 2.C 3.D
4.[解析] 在运用乘法交换律和乘法结合律时,常常将算式中互为倒数的因数结合相乘;将算式中便于约分的因数结合相乘;将算式中乘积为整数的因数结合相乘.
解:(1)原式=-3×××=-.
(2)原式=×(-24)-×(-24)-×(-24)+×(-24)=-12+20+7-10=5.
(3)原式=3×(5+7-12)=3×0=0.
(4)原式=(50-)×(-5)=-250+=-249.
5.负 -60 [解析] 4个非零因数相乘,负因数的个数是3,积为负.
原式=-(4×2.5)×(5×1.2)=-10×6=-60.
6.0 [解析] 因为符合要求的整数中有因数0,所以乘积为0.
7.D [解析] A项,四个负因数相乘,积为正数,故本选项不符合题意;B项,两个负因数与|-3|的绝对值相乘,积为正数,故本选项不符合题意;C项,有因式0,积是0,0既不是正数也不是负数,故本选项不符合题意;D项,有三个负因数,积是负数,故本选项符合题意.
8.解:(1)原式=-(××××)=-.
(2)原式=0.
9.C 10.C
11.D [解析] 由abcd<0判断负因数有1个或3个,a+b=0说明a,b至少有1个是负数,cd>0表明这两个数同号,有可能都是负数,也可能都是正数.故负因数至少有1个.
12.100
13.解:(1)小杨同学的解法较好.
(2)19×(-9)=×(-9)=20×(-9)-×(-9)=-180+=-179.
14.解:红队得分为6×10+6×(-5)+(20-6-6)×(-3)=60-30-24=6(分).
绿队得分为7×10+12×(-5)+(-3)=70-60-3=7(分).
因为6<7,所以绿队的得分高.
15.解:(1) ×
(2)
(3)a1+a2+a3+a4+…+a100=×(1-+-+-+…+-+-)=
×=×=.1.3 绝对值与相反数
知识点 1 绝对值
1.如图1-3-1,点A到原点的距离是________,则-3的绝对值是________,记作____________;点B到原点的距离是________,则2的绝对值是________,记作____________;点O到原点的距离是________,则0的绝对值是________,记作____________.
图1-3-1
2.2018·怀化 -2018的绝对值是( )
A.2018 B.-2018
C. D.±2018
3.的值为( )
A.- B. C.5 D.-5
4.2017·沧州模拟 绝对值等于9的数是( )
A.9 B.-9
C.9或-9 D.或-
5.下列判断正确的有( )
①有理数的绝对值一定是正数;
②如果两个数的绝对值相等,那么这两个数相等;
③绝对值等于它本身的数一定不是负数;
④绝对值等于1的数有两个.
A.1个 B.2个 C.3个 D .4个
6.一个数a在数轴上的对应点的位置在原点左边,且|a|=4,则a的值为( )
A.4或-4 B.4
C.-4 D.以上都不对
7.在数轴上画出表示数2,-3,2,-1.5,0的点,并求出这些数的绝对值.
知识点 2 相反数
8.在6的前面添上“-”,新的数______就表示6的相反数;a的相反数是________.
一个正数的相反数是________,一个负数的相反数是________,0的相反数是________.
9.下列各组数中,互为相反数的是( )
A.2和-2 B.-2和
C.-2和- D.和2
10.2018·贵阳 如图1-3-2,数轴上有三个点A,C,B,若点A,B表示的数互为相反数,且数轴的单位长度为1,则图中点C对应的数是( )
图1-3-2
A.-2 B.0 C.1 D.4
11.请写出下列各数的相反数:
(1)-1的相反数是______;
(2)的相反数是______;
(3)-3的相反数是______;
(4)+11.2的相反数是______;
(5)一个数的相反数是3,则这个数是______;
(6)0的相反数是________;
(7)-的相反数是________.
知识点 3 绝对值的非负性
12.若|a|=a,则a是( )
A.非负数 B.非正数 C.负数 D.正数
13.若|x-3|与|y-2|的值互为相反数,则x=______,y=______.
知识点 4 多重符号的化简
14.-(+5)表示______的相反数,即-(+5)=________;-(-5)表示______的相反数,即-(-5)=__________.
15.下列化简,正确的是( )
A.-(-3)=-3 B.-[-(-10)]=-10
C.-(+5)=5 D.-[-(+8)]=-8
16.下列各组数中,互为相反数的是( )
A.+(-5)与-5 B.+(+5)与-5
C.-(-5)与5 D.5与+(+5)
17.化简下列各数:
(1)-; (2)-(-0.45);
(3)+; (4)-[-(-2)].
18.已知a=-3,|a|=|b|,则b的值为( )
A.+3 B.-3 C.0 D.±3
19.一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是6个单位长度,那么这个数是( )
A.6或-6 B.3或-3
C.6或-3 D.-6或3
20.式子|x-1|+3取最小值时,x等于( )
A.1 B.2 C.3 D.0
21.绝对值小于2的整数是________.
22.若x-1的值与-5互为相反数,则x的值为________.
23.若|x|=2,|y|=3,且x为负数,y为正数,则在数轴上表示这两个数的点之间的距离是________.
24.正式排球比赛中对所用排球的质量有严格的规定,下面是6个排球的质量检测结果(单位:克,用正数表示超过规定质量的克数,用负数表示不足规定质量的克数):-25,
+10,-11,+30,+14,-39.请指出哪个排球的质量最好,并用绝对值的知识进行说明.
25.化简下列各式的符号,并回答问题:
①-(-2);②+;③-[-(-4)];④-[-(+3.5)];⑤-{-[-(-5)]};
⑥-{-[-(+5)]}.
问:(1)当+5前面有2020个负号时,化简后结果是多少?
(2)当-5前面有2019个负号时,化简后结果是多少?你能总结出什么规律?
26.如图1-3-3,图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题:
(1)如果点A,B表示的数互为相反数,那么点C表示的数是多少?
(2)如果点D,B表示的数互为相反数,那么点C,D表示的数分别是多少?
图1-3-3
27.已知a,b,c 为有理数,且它们所对应的点在数轴上的位置如图1-3-4所示.
(1)在数轴上标出表示a,b,c的相反数的点的位置.
(2)根据数轴化简:
①|a|=________;②|b|=________;③|c|=________;④|-a|=________;⑤|-b|=________;⑥|-c|=________.
(3)若|a|=5.5, |b|=2.5, |c|=7,求a,b,c的值.
图1-3-4
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节课主要是在学习了有理数概念及数轴的概念的基础上,从表示有理数的点与原点的距离引入有理数绝对值及相反数的概念,进一步向学生渗透数形结合的数学思想,从而加深学生对绝对值及相反数的意义的理解,为利用绝对值比较有理数大小及以后的相关计算提供了很好的帮助.中考时注意绝对值非负性的应用
教 学 目 标 知识与技能 1.从几何、代数两个角度正确体会绝对值的意义. 2.会求已知数的绝对值. 3.掌握相反数的意义,会求一个数的相反数
过程与方法 体验绝对值解决实际问题的过程,感受数学在生活中的应用价值,学会与他人合作交流,初步形成评价意识
情感、度 与价值观 使学生积极参与数学学习活动,使其对数学有好奇心与求知欲
教学重 点难点 重点 正确理解绝对值的概念及相反数的意义,能求一个数的绝对值与相反数
难点 绝对值的几何意义的应用
易错点 忽视“0”的存在;忽视互为相反数的两个数的绝对值相等
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 如下图所示的数轴,点A到原点的距离是__2__,点B到原点的距离是__1__
活动2 想一想 两位同学背靠背,一人面向东站立,一人面向西站立,规定向东为正.一人向东走5米,记作+5米,另一人向西走5米,记作-5米. 1.对照数轴,说出-5与+5两数的相同点和不同点; 2.你能说出具备这些特征的成对的数吗? [答案] 1.相同点:数轴上表示-5和+5的点到原点的距离相等;不同点:数轴上表示-5和+5的点分别位于原点的两侧. 2.答案不唯一,略
【详解详析】
1.3 3 |-3|=3 2 2 |2|=2 0 0 |0|=0
2.A 3.B
4.C [解析] 因为|9|=9,|-9|=9,所以绝对值等于9的数是9或-9.故选C.
5.B [解析] ①不正确,因为0的绝对值是0;②不正确,这两个数还可能互为相反数;③正确,因为负数的绝对值等于它的相反数;④正确,因为1和-1的绝对值都等于1.
6.C
7.解:在数轴上画出表示数2,-3,2,-1.5,0的点如图所示.
|2|=2,|-3|=3,=2,|-1.5|=1.5,|0|=0.
8.-6 -a 负数 正数 0
9.A
10.C [解析] 因为数轴上点A,B表示的数互为相反数,所以A,B两点正中间的点为原点,即点C往左一个单位长度处是原点,故点C对应的数是1.
11.(1)1 (2)- (3)3 (4)-11.2
(5)-3 (6)0 (7)
12.A [解析] 由题意知,a的绝对值等于它本身,因为正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,故a是正数或0,即非负数.
13.3 2
14.5 -5 -5 5
15.B [解析] A项,因为-(-3)=3,所以该选项错误;B项,因为-[-(-10)]=-10,所以该选项正确;C项,因为-(+5)=-5,所以该选项错误;D项,因为-[-(+8)]=8,所以该选项错误.
16.B [解析] 先将每组数中的各数的符号进行化简,再利用相反数的概念进行判断.
17.解:(1)-.(2)0.45.(3)-.(4)-2.
18.D [解析] 因为a=-3,所以|a|=|-3|=3.因为|a|=|b|,所以|b|=3.因为绝对值等于一个正数的数有两个,它们互为相反数,所以b=±3.
19.B [解析] 因为这两个互为相反数的数对应的点之间的距离为6个单位长度,并且它们到原点的距离相等,故这两个数为3和-3.
20.A [解析] 因为|x-1|≥0,所以当|x-1|=0,即x=1时式子|x-1|+3取最小值.
21.±1,0 [解析] 绝对值小于2的整数,即在数轴上到原点的距离小于2的点所表示的整数,原点的左右两边各有一个点,分别表示+1和-1,注意整数0也在这个范围内.
22.6 [解析] 因为x-1的值与-5互为相反数,又因为-5的相反数是5,
所以x-1=5,所以x=6.
23.5
24.[解析] 无论是超过规定质量的克数(正数),还是不足规定质量的克数(负数),它们的绝对值越大,说明它们与规定的质量的差距就越大,其质量就越不好;差距越小,质量越好.
解:检测结果为+10的排球的质量最好.
说明如下:
|-25|=25,|+10|=10,|-11|=11,|+30|=30,|+14|=14,|-39|=39.
因为39>30>25>14>11>10,
所以检测结果为+10的排球的质量最好.
25.解:①-(-2)=2;②+=-;
③-[-(-4)]=-4;④-[-(+3.5)]=3.5;
⑤-{-[-(-5)]}=5;
⑥-{-[-(+5)]}=-5.
(1)当+5前面有2020个负号时,化简后结果是+5.
(2)当-5前面有2019个负号时,化简后结果是+5.
总结规律:一个数的前面有奇数个负号,化简的结果等于它的相反数,有偶数个负号,化简的结果等于它本身.
26.解:(1)原点的位置如图①所示,点C表示的数是-1.
(2)原点的位置如图②所示,点C表示的数是0.5,点D表示的数是-4.5.
27.解:(1)如图.
(2)①-a ②b ③c ④-a ⑤b ⑥c
(3)a=-5.5,b=2.5,c=7.1.10 有理数的乘方
知识点 1 有理数乘方的意义
1.(-5)×(-5)×(-5)×(-5)记作________,底数是________,指数是________,读作________(或______________).
2.关于式子(-3)4,正确的说法是( )
A.-3是底数,4是幂
B.3是底数,4是幂
C.3是底数,4是指数
D.-3是底数,4是指数
3.-35的底数是________,指数是________,表示的意义是________________.
知识点 2 有理数的乘方运算
4.下列幂中为负数的是( )
A.23 B.(-2)2
C.(-2)5 D.023
5.下列各组运算中,计算结果相等的是( )
A.(-3)3与-33 B.(-3)2与-32
C.23与32 D.与
6.2017·黔西南州 计算:=________.
7.若一个数的平方为9,则这个数是________.
8.计算:
(1)(-4)3; (2)(-2)4;
(3)(-)3; (4)-(-1)2.
9.2017·包头 若a2=1,b是2的相反数,则a+b的值为( )
A.-3 B.-1
C.-1或-3 D.1或-3
10.下列各组数中,数值相等的有( )
①32和23;②-23与(-2)3;③22与(-2)2;④-22与(-2)2;⑤-32与(-3)2;⑥与;⑦(-1)2020与-1;⑧-(-0.1)3与0.001.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
11.m为任意有理数,下列说法正确的是( )
A.(m+1)2的值总是正的
B.m2+1的值总是正的
C.-(m+1)2的值总是负数
D.1-m2的值总比1小
12.13世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题:“在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴,每头毛驴驮着7只口袋,每只口袋里装着7个面包,每个面包附有7把餐刀,每把餐刀有7只刀鞘”,则刀鞘数为( )
A.42 B.49 C.76 D.77
13.若有理数m,n满足|m-2|+(n+3)2=0,则nm=________.
14.已知a,b互为倒数,c,d互为相反数,x的绝对值为3,试求x2+(ab+c+d)x+(-ab)2019+(c+d)2019的值.
15.若n为正整数,则的值是( )
A.1 B.0
C.-1 D.0或1
16.观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,…,则22019的末位数字是________.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课通过生活实例的引入,从学生已有的知识经验出发,通过学生观察、分析、猜想、验证等方法,得出乘方的定义等有关概念及运算法则.有理数乘方不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习科学记数法的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 准确地理解乘方的意义,能识别指数与底数,掌握幂的符号法则,并能正确地进行乘方运算
过程与方法 经历乘法的推广过程,从中感受数学的转化思想
情感、度 与价值观 通过类比、观察、归纳得出正确结论,培养探索、猜想的习惯
教学重 点难点 重点 乘方的意义、表示及符号法则
难点 底数为负数的乘方的运算
易错点 幂的符号法则的运用
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 计算:(1)5×5×5=__125__;(2)4×4×4×4=__256__; (3)(-2)×(-2)×(-2)=__-8__; (4)(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=__81____; (5)×××= ____
活动2 想一想 (1)小学我们已经学过a·a,记作a2,读作a的平方(或a的二次方);a·a·a记作a3,读作a的立方(或a的三次方); (2)根据(1),a·a·a·a记作__a4__,读作a的__4__次方; (3)3×3×3×3×3记作35,读作3的__5__次方
【详解详析】
1.(-5)4 -5 4 负5的4次方 负5的4次幂
2.D
3.3 5 5个3相乘所得积的相反数
4.C [解析] 只有负数的奇次幂为负,故选C.
5.A 6.
7.±3 [解析] 平方等于9的数有两个,分别是3和-3.
8.解:(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64.
(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16.
(3)(-)3=(-)×(-)×(-)=-.
(4)-(-1)2=-(-)×(-)=-.
[点评] 计算乘方的关键是明确乘方的意义,即确定幂的底数和指数.注意幂的符号的确定,正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
9.C [解析] 因为a2=1,b是2的相反数,所以a=±1,b=-2.①当a=-1,b=-2时,a+b=-3;②当a=1,b=-2时,a+b=-1.故选C.
10.C [解析] ①32=9,23=8,所以32≠23;②-23=-8,(-2)3=-8,所以-23=
(-2)3;③22=4,(-2)2=4,所以22=(-2)2;④-22=-4,(-2)2=4,所以-22≠(-2)2;⑤-32=-9,(-3)2=9,所以-32≠(-3)2;⑥=≠;⑦(-1)2020=1≠-1;
⑧-(-0.1)3=0.001,其中数值相等的为②③⑧,共3组.故选C.
11.B [解析] 当m=-1时,(m+1)2=0,故A选项错误;m2+1的最小值是1,即
m2+1的值总是正的,故B选项正确;当m=-1时,-(m+1)2=0,故C选项错误;
当m=0时,1-m2=1,故D选项错误.故选B.
12.C
13.9 [解析] 根据题意,得m-2=0,n+3=0,解得m=2,n=-3,
所以nm=(-3)2=9.
14.解:因为a,b互为倒数,c,d互为相反数,所以ab=1,c+d=0.
因为|x|=3,所以x=±3.
当x=3时,原式=32+(1+0)×3+(-1)2019+02019=9+3-1=11;
当x=-3时,原式=(-3)2+(1+0)×(-3)+(-1)2019+02019=9-3-1=5.
综上所述,所求式子的值为11或5.
15.D
16.8 [解析] 由题意知2n的末位数字是以2,4,8,6为循环组循环的,
因为2019÷4=504……3,所以22019的末位数字是8.第2课时 有理数
知识点 1 正数和负数
1.在下列各数:-3,1.5,,-,7,0,-20%中,是负数的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.教材练习第2题变式 在-1,0,1,2这四个数中,既不是正数也不是负数的是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.有下列各数:3,-5,-,0,2,0.97,-0.21,-60%,9,2,85,1,其中正数有________个,负数有________个.
4.下列各数中哪些是正数,哪些是负数?
-15,-0.02,,-,4,-2,1.3,0,3.14,π.
知识点 2 有理数及其分类
5.在下列各数:-,+1,6.7,-14,0,,-5中,属于整数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
6.有下列各数:-8,2.89,0,-,-0.25,1,-3,其中负分数有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.下列说法错误的是( )
A.负整数和负分数统称为负有理数
B.正整数、负整数和0统称为整数
C.正有理数和负有理数统称为有理数
D.0是整数,但不是分数
8.写出两个既是负数,又是整数的数为________.
9.把下列各数填入相应的大括号里:
-,0.618,-3.14,260,-2019,,0,0.38.
正分数:{ …};
整数:{ …};
非负数:{ …};
有理数:{ …}.
10.在有理数中,不存在这样的数,它( )
A.既是自然数又是整数
B.既是分数又是负数
C.既是非正数又是非负数
D.既是正数又是负数
11.在-15,5,-0.23,0.51,0,-0.65,7.6,2,,314%这十个数中,非负数有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
12.在-2,+3.5,0,-,-0.7,11,-5%,中,非负整数有________个.
13.观察下列各组数的排列规律,按要求填空:
(1)1,-2,3,-4,5,-6,________,________,________;
(2)-,,-,,-,…,那么第9个数是________,第2019个数是________.
14.将下列各数填在相应的圆圈里:
+6,-8,75,-0.4,0,23%,,-2006,-1.8,-.
图1-1-1
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节内容是在引入了负数和学习了运用正数与负数表示具有相反意义的量的基础上,将算术数扩充到有理数并对有理数进行分类,既是算术数到有理数的衔接与过渡,也是后面学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础.因为本节课还初步渗透了集合的思想和分类的方法,所以本节课不仅是发展学生原有的认知结构,形成新的知识体系的主要通道,而且是渗透数学思想方法,感受数的应用价值以及增强学生数感的有效载体
教 学 目 标 知识与技能 1.使学生能正确判断一个数是正数还是负数,明确0既不是正数也不是负数. 2.进一步加深对负数的认识,了解有理数的意义. 3.理解有理数的概念. 4.会将有理数按照两种不同的标准进行分类
过程与方法 简单回顾数的应用,感受数的初步扩展,经历有理数概念的形成过程,渗透集合思想及分类的数学方法
情感、度 与价值观 激发学生的学习兴趣,体验有理数的应用价值,增强数感,树立学生“学数学、用数学”的信心
教学重 点难点 重点 理解有理数的概念
难点 初步领会有理数的分类方法
易错点 按指定标准不重不漏地对有理数进行准确分类
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 小明在一本书上看到,冬日的几天,某地的最高气温为6 ℃,最低气温为-4 ℃,平均气温为0 ℃,这里提到的数分别是什么数? [答案] 6是正数,-4是负数,0既不是正数,也不是负数
活动2 想一想 有下列8个数:3.9,,-96,0,-0.56,9,-3.14,-1,其中正整数有哪些?负分数有哪些? [答案] 正整数:9;负分数:-0.56,-3.14
【详解详析】
1.C [解析] 负数有-3,-,-20%.
2.B
3.7 4 [解析] 根据有理数的有关概念进行判断,其中3,2,0.97,9,2,85,1是正数,共7个;-5,-,-0.21,-60%是负数,共4个.
4.解:正数:,4,1.3,3.14,π;
负数:-15,-0.02,-,-2.
5.C [解析] +1,-14,0,-5都是整数.
6.C [解析] 负分数有-,-0.25,-3,共3个.
7.C [解析] 正确理解有理数的意义和分类方法是解题的关键,有理数按正负性分类分为正有理数、0和负有理数.选项C中缺少了0,所以选项C的说法是错误的.
8.答案不唯一,如-1,-6
9.解:正分数:;
整数:{260,-2019,0,…};
非负数:;
有理数:{-,0.618,-3.14,260,-2019,,0,0.38,…}.
10.D [解析] 如1既是自然数又是整数,-6.6既是分数又是负数,0既是非负数又是非正数,但不存在既是正数又是负数的数.故选D.
11.D [解析] 非负数为5,0.51,0,7.6,2,,314%,共7个.
12.2 [解析] 非负整数有0,11,共2个.
13.(1)7 -8 9 (2)- -
[解析] (1)从数的符号看,第奇数个数的符号为正,第偶数个数的符号为负.数字是从1开始的连续正整数,故后面三个数分别是7,-8,9.
(2)从数的符号看,第奇数个数的符号为负,第偶数个数的符号为正.分子是从1开始的连续正整数,每个分数的分母比分子大1.根据规律即可得出答案.
14.解:1.11 第1课时 有理数的混合运算顺序
知识点 有理数的混合运算顺序
1.(1)计算-1+2×(-3)时,应先算________法,再算________法,结果得________;
(2)计算(-1+2)×(-3)时,应先算________法,再算________法,结果得________.
2.计算23+(-2)3的结果是( )
A.0 B.12 C.16 D.18
3.计算8-23÷(-4)×(-7+5)的结果为( )
A.-4 B.4 C.12 D.-12
4.对下列各算式计算结果的符号判断正确的一项是( )
A.(-2)××(-32)<0
B.(-5)2-52+1<0
C.(-1)+×>0
D.(-1)2×(-2)3>0
5.计算:(-2)2+4×(-12)-|-8|=________.
6.计算:
(1)-81÷×(-); (2)17-23÷(-2)×3;
(3)-3×2+(-2)2-5; (4)--×-×(-4)2.
7.某校学生进行足球比赛,共10轮(即每队均需参赛10场),胜一场得3分,平一场得0分,负一场得-1分.在比赛中,某队胜5场,平3场,负2场,该队最后得多少分?
8.某商店经销一种成本为每个10元的闹钟,经市场调查,若按每个15元销售,一个月能售出60个,销售单价每涨1元,月销售量就减少3个,当销售单价为18元时,求月销售利润是多少元.
9.在算式4-|-3□5|中的□所在位置,填入下列哪种运算符号,计算出来的值最小( )
A.+ B.- C.× D.÷
10.8月份是新学期开学准备季,东风和百惠两书店对学习用品和工具书实施优惠销售.优惠方案分别是:在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后,超出部分按50%收费;在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后,超出部分按60%收费.郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书,她在哪家书店消费更优惠( )
A.东风 B.百惠
C.两家一样 D.不能确定
11.计算:-23-×5-×(-3)2=________.
12.观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,猜想:13+23+33+…+103=__________.
13.按照图1-11-1所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为________.
图1-11-1
14.为了缓解城市拥堵,某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准(见下表).
地区类别 首小时内 首小时外
一类 2.5元/15分钟 3.75元/15分钟
二类 1.5元/15分钟 2.25元/15分钟
三类 0.5元/15分钟 0.75元/15分钟
如果小王某次停车3小时,缴费24元,请你判断小王该次停车所在地区的类别是________(填“一类”“二类”或“三类”).
15.阅读材料:
计算:3-22÷×5.
解:原式=3-22÷×5 ①
=3+4÷(-2)×5 ②
=3- ③
=2.
回答下列问题:
(1)步骤①错在____________;
(2)步骤①到步骤②错在____________;
(3)步骤②到步骤③错在____________;
(4)请你写出此题的正确运算过程.
16.我们常用的数是十进制数,如4657=4×103+6×102+5×101+7×100,十进制数要用10个数码(又叫数字):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在计算机中用的二进制数,只要两个数码:0和1.如二进制中的数110=1×22+1×21+0×20等于十进制中的数6,
110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制中的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数?(注:a0=1,其中a≠0)
17.如图1-11-2,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形,接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形,再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形,如此进行下去.试观察图形来计算:
+++…+.
图1-11-2
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课在学生学习了有理数的加、减、乘、除、乘方的运算的基础上,学习有理数的简单混合运算,关键是根据有理数的混合运算顺序科学计算.有理数的混合运算是学习初中数学的基础,也是本册教材中的重点和难点,为今后的数学学习奠定基础
教 学 目 标 知识与技能 理解和掌握有理数混合运算的顺序,初步学会正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算
过程与方法 通过例题的学习,掌握有理数混合运算的顺序,提高学生观察、归纳、猜想、推理的能力
情感、度 与价值观 培养学生严谨、认真、有序及灵活的做事态度
教学重 点难点 重点 能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算
难点 灵活应用运算律,使计算简单、准确
易错点 有理数混合运算的运算顺序
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 小学学过的加减乘除混合运算的运算顺序是什么? [答案] 先算乘除,再算加减,若有括号,先算括号里面的
活动2 想一想 在一次测验中有这样一道题,有5个数-1,-2,-3,4,5,运用所学的加减乘除运算,使得结果为30.你能做到吗? [答案] 能.答案不唯一,如{[(-1)+(-3)]÷(-2)+4}×5
【详解详析】
1.(1)乘 加 -7 (2)加 乘 -3 2.A
3.B [解析] 原式=8-8÷(-4)×(-2)=8-(-2)×(-2)=8-4=4.
4.A [解析] B选项中(-5)2-52=0,所以(-5)2-52+1>0,所以该选项错误;C选项中先算乘法,结果是负数,两个负数相加还是负数,所以该选项错误;D选项中(-1)2是正数,(-2)3是负数,所以积是负数,所以该选项错误.
5.-8 [解析] 原式=4-4-8=-8.
6.解:(1)原式=-81××(-)
=16.
(2)原式=17-8÷(-2)×3
=17+4×3
=17+12
=29.
(3)原式=-6+4-5=-7.
(4)原式=--×-×16
=---
=-2.
7.解:3×5+0×3+(-1)×2
=15+0-2
=13(分).
答:该队最后得13分.
8.解:(18-10)×[60-(18-15)×3]
=8×(60-3×3)
=8×51
=408(元).
答:当销售单价为18元时,月销售利润是408元.
9.C [解析] 将符号代入:A项,4-|-3+5|=2;B项,4-|-3-5|=-4;C项,
4-|-3×5|=-11;D项,4-|-3÷5|=.故填入“×”号时,计算出来的值最小.
10.A [解析] 依题意,若在东风书店购买,需花费:60+(300-60)×50%=180(元);若在百惠书店购买,需花费:50+(300-50)×60%=200(元).因为180<200,所以郝爱同学在东风书店消费更优惠.故选A.
11.-10
12.552(或3025)
13.55 [解析] 因为32=9<10,所以选择“是”的运算程序计算,得(9+2)×5=55.
14.二类 [解析] 如果停车所在地区的类别是一类,应该收费:2.5×4+3.75×8=40(元);如果停车所在地区的类别是二类,应该收费:1.5×4+2.25×8=24(元);如果停车所在地区的类别是三类,应该收费:0.5×4+0.75×8=8(元).
15.解:(1)去小括号符号错误
(2)乘方计算错误
(3)运算顺序错误
(4)原式=3-22÷×5
=3-4÷2.5×5
=3-8
=-4.
16.解:101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+0+8+0+2+1=43.
17.解:原式=1-=.1.1 第1课时 具有相反意义的量
知识点1 具有相反意义的量
1.下列各对量中,是具有相反意义的量的是( )
A.篮球比赛胜5场与负5场
B.上升与下降
C.收入增加500元与收入增加50元
D.向东走3千米与向南走1千米
2.在下列横线上填上适当的词,使前后构成具有相反意义的量:
(1)收入1500元,________5000元;
(2)________60米,下降24米;
(3)向北前进20米,________30米.
知识点2 表示具有相反意义的量
3.2018·遵义 如果电梯上升5层记为+5层,那么电梯下降2层应记为( )
A.+2层 B.-2层 C.+5层 D.-5层
4.现实生活中,如果收入1000元记作+1000元,那么-800元表示( )
A.支出800元 B.收入800元
C.支出200元 D.收入200元
5.3月22日是“世界水日”,“世界水日”宗旨是唤起公众的节水意识,加强水资源保护.我校课外小组在当日进行调查发现,小明家节约用水3.6吨,记作了+3.6吨,那么小乐家浪费了1.8吨水应记作__________;嘉嘉家用数据-4.8吨记录,则表示________________.
6.教材习题A组第1题变式 用带“+”或“-”的数表示下列具有相反意义的量.
(1)温度上升5 ℃和温度下降8 ℃,规定温度上升为正,下降为负;
(2)盈利3万元和亏损5万元,规定盈利为正,亏损为负;
(3)运进50箱和运出80箱,规定运进为正,运出为负.
7.有下列说法:①0 ℃表示没有温度;②如果向左走3米记作+3米,那么-5米表示向右走-5米;③如果零上2 ℃记作+2 ℃,那么零下3 ℃记作-3 ℃;④“甲比乙大-2岁”表示的意义是乙比甲小2岁.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.在体育课的跳远比赛中,以4.00米为标准,若小明跳出了4.22米,可记作+0.22米,则小东跳出了3.85米,可记作( )
A.-0.15米 B.+0.22米
C.+0.15米 D.-0.22米
9.一批水果的包装质量为每筐50千克,现抽取8筐样品进行检测,称重结果(单位:千克)记录如下:52,49,48,53,46,51,47,52.为了用正、负数简洁地表示各数,我们可以选取一个恰当的基准数进行简化.
(1)你选取的基准数为________;
(2)若多于基准数记作正,根据你选取的基准数,用正、负数填写下表.
原质量 52 49 48 53 46 51 47 52
可记作 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
10.某种圆形精密零件标明50-0.03+0.04(表示圆形零件的直径,单位是mm)为合格品,这种零件的合格品的最大直径是多少?最小直径是多少?如果某零件的直径为49.8 mm,那么此零件合格吗?
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课从学生已有的知识经验出发,用贴近生活的实例,带领学生探索引进负数的必要性,使学生感受到负数的引入源自实际生产与生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.本课内容是以后学习有理数的绝对值、相反数及有理数的计算等内容的基础知识,中考中常对概念直接进行考查
教 学 目 标 知识与技能 1.在了解具有相反意义的量的基础上,使学生学习正负数的意义. 2.学会用正负数表示实际问题中具有相反意义的量
过程与方法 体会数学符号与其对应的思想,用正、负数表示生活中具有相反意义的量的方法
情感、度 与价值观 1.乐于接触社会中的数学信息,愿意谈论数学话题,在数学活动中发挥积极作用. 2.通过分类培养学生严密的思维习惯以及严谨的学习态度
教学重 点难点 重点 正、负数的意义
难点 正、负数的意义
易错点 用负数表示具有相反意义的量
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 我们在小学阶段学习了哪些数?请举例. [答案] 略
活动2 想一想 冬天我们常会听到天气预报报道某地的气温为-3 ℃~2 ℃,你知道它的确切含义吗? [答案] 略
【详解详析】
1.A
2.(1)支出 (2)上升 (3)向南前进
3.B [解析] 因为电梯上升5层记为+5层,所以电梯下降2层应记为-2层.
4.A
5.-1.8吨 浪费了4.8吨水
6.解:(1)温度上升5 ℃记作+5 ℃,温度下降8 ℃记作-8 ℃.
(2)盈利3万元记作+3万元,亏损5万元记作-5 万元.
(3)运进50箱记作+50 箱,运出 80 箱记作-80箱.
7.B [解析] 0 ℃表示一个特定的温度,故①错误;如果向左走3米记作+3米,那么-5米表示向右走5米,故②错误;③正确;“甲比乙大-2岁”表示的意义是甲比乙小2岁,故④错误.故选B.
8.A [解析] 根据高于标准记为正,可得低于标准记为负,以4.00米为标准,若小明跳出了4.22米,可记作+0.22米,则小东跳出了3.85米,可记作-0.15米.
9.解:(1)50
(2)填表如下:
原质量 52 49 48 53 46 51 47 52
可记作 +2 -1 -2 +3 -4 +1 -3 +2
10.[解析] 50-0.03+0.04表示的意义是零件直径标准是50 mm,但最大不能超过(50+0.04)mm,最小不能低于(50-0.03)mm,直径在这个范围内的零件都是合格品.
解:这种零件的合格品的最大直径是50.04 mm,最小直径是49.97 mm,直径在这个范围内的产品都是合格的,所以直径为49.8 mm的零件不合格.1.8 第1课时 有理数的乘法
知识点 1 有理数的乘法运算
1.2017·石家庄正定二模 (-2)×的值是( )
A.1 B.-1
C.4 D.-
2.下列计算中,正确的是( )
A.(-8)×(-5)=-40
B .6×(-2)=-12
C .(-12)×(-1)=-12
D .(-5)×4=20
3.下列运算结果为负值的是( )
A.(-7)×(-6) B.(-6)×3
C.0×(-2) D.(-7)×(-15)
4.在-4,5,-3,2这四个数中,任取两个数相乘,所得的积最大是________.
5.1同任何数相乘,仍得________,而-1与任何数相乘,得到的是原数的________.
6.计算:
(1)(+4)×(-5); (2)(-0.125)×(-8);
(3)×; (4)0×(-13.52);
(5)-1.24×(-25); (6)(-3.25)×.
知识点 2 倒数
7.6×____=1,所以6的倒数是____;-×______=1,所以-的倒数是______;0______倒数.
8.下列各组数中,互为倒数的是( )
A.-与0.2 B.与- C.与 D.1与2
9.一个数的相反数是,那么这个数的倒数是________;倒数等于本身的数是________.
10.写出下列各数的倒数:
(1)3; (2)-1; (3)-;
(4)-1; (5)0.2; (6)-1.2.
知识点 3 有理数乘法的应用
11.冰箱开始启动时的内部温度是12 ℃,如果每小时冰箱内部的温度降低5 ℃,那么4小时后,冰箱内部的温度是________℃.
12.汽车从车站出发,以40千米/时的速度向东行驶3小时,接着以50千米/时的速度向西行驶4小时,求汽车最后的位置.
13.下列说法中,正确的有( )
①0乘任何数都得0;
②任何数同1相乘,仍为原数;
③-1乘任何数都等于这个数的相反数;
④互为相反数的两数相乘,积是1.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.如图1-8-1,数轴上A,B两点所表示的两数的( )
图1-8-1
A.和为正数 B.和为负数
C .积为正数 D.积为负数
15.若a+b<0,ab<0,则下列说法中正确的是( )
A.a,b同号
B .a,b异号且负数的绝对值较大
C .a,b异号且正数的绝对值较大
D .以上均有可能
16.一个有理数与它的相反数的积是( )
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
17.若a,b 互为相反数,c,d互为倒数,m的倒数等于它本身,求cd+(a+b)m-m的值.
18.规定一种新运算“※”,对于有理数a,b,有a※b=(a+2)×2-b,例如:3※5=(3+2)×2-5=10-5=5.根据上面的规定解答问题:
(1)求7※(-3)的值;
(2)7※(-3)与(-3)※7的值相等吗?
19.在数轴上,点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,如果点A表示的有理数为a,点B表示的有理数为b,求a与b的乘积.
20.已知有理数a,b满足|a|=3,|b|=2,且a+b<0,求ab的值.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课从学生已有的知识经验出发,用贴近生活的实例,引导学生动脑、动手、观察、归纳,将实际问题数学化,在用数学手段研究实际问题的过程中,建立有理数的乘法法则.有理数的乘法不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习整式乘除运算等内容的必备知识,其中倒数的意义是中考的热点
教 学 目 标 知识与技能 1.能正确掌握和理解有理数的乘法法则,能熟练地进行有理数的乘法运算,会用法则进行多个因数的乘积运算. 2.理解倒数的意义,会求有理数的倒数
过程与方法 经历探索有理数的乘法法则的过程,培养学生观察、归纳、猜测、验证的能力
情感、度 与价值观 通过对有理数乘法法则的探索,培养学生化归及分类讨论的思想和勇于探索的精神
教学重 点难点 重点 运用有理数的乘法法则正确计算
难点 法则的探索过程,对法则的理解
易错点 计算结果的符号确定
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1.计算:(-9)-(+6)+(-8)-(-10)=__-13__. 2.计算:5×3=__15__;5×=__1__;2019×0=__0__
活动2 想一想 (1)3×2=__6__; (2)3×(-2)=(-2)+(-2)+(-2)=__-6__; (3)与3×2相比较,3×(-2)是把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积是原来的积的相反数吗?__是__. (4)计算(-3)×(-2)的结果为__6__. (5)若两数相乘,其中一个因数是0,乘积为__0__. 你能总结出两个有理数相乘的乘法法则吗? [答案] 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相乘,仍得0
【详解详析】
1.A [解析] 原式=+=1.故选A.
2.B
3.B [解析] 根据“两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0”判断.
4.12 [解析] 由题意知,这两个数应为同号,则-4与-3,5与2同号,其积分别为12和10.
5.原数 相反数
6.[解析] 有理数相乘,当含有带分数时,先把带分数化成假分数;当分数与小数相乘时,统一写成分数或小数.
解:(1)(+4)×(-5)=-(4×5)=-20.
(2)(-0.125)×(-8)=+(0.125×8)=1.
(3)×=+=1.
(4)0×(-13.52)=0.
(5)-1.24×(-25)=1.24×25=31.
(6)(-3.25)×=×=×=-=-.
7. -8 -8 没有
8.C [解析] A项,-×0.2≠1,该选项不符合题意;B项,×≠-1,该选项不符合题意;C项,×=1,该选项符合题意;D项,1×2=3≠1,该选项不符合题意.
9.-2 1和-1
10.解:(1).(2)-1.(3)-.(4)-.(5)5.(6)-.
11.-8
12.[解析] 规定汽车向东行驶为正,向西行驶为负,那么汽车向东行驶3小时为+(40×3)千米,向西行驶4小时为-(50×4)千米,则汽车最后的位置取决于40×3-50×4的结果,结果为正,则汽车最后在车站东侧;结果为负,则汽车最后在车站西侧.
解:规定汽车向东行驶为正.根据题意,得40×3-50×4=120-200=-80(千米).
答:汽车最后的位置在车站西侧80千米处.
13.C [解析] ①②③正确,④错误,如2×(-2)=-4≠1.
14.D
15.B [解析] 因为ab<0,所以a,b异号.因为a+b<0,所以负数的绝对值较大.综上所述,a,b异号且负数的绝对值较大.
16.C [解析] 若有理数是0,则0的相反数是0,0×0=0;若有理数不是0,则它们的积是负数,所以一个有理数与它的相反数的积是非正数.
17.[解析] 由相反数、倒数的定义,知a+b=0,cd=1,m的值为±1,代入求值即可.
解:因为a,b互为相反数,所以a+b=0.
因为c,d互为倒数,所以cd=1.
因为m的倒数等于它本身,所以m=±1.
当m=1时,cd+(a+b)m-m=1+0×1-1=0;
当m=-1时,cd+(a+b)m-m=1+0×(-1)-(-1)=2.
综上所述,cd+(a+b)m-m的值为0或2.
18.解:(1)7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=21.
(2)因为(-3)※7=[(-3)+2]×2-7=-9,
所以7※(-3)与(-3)※7的值不相等.
19.解:当点A与点B位于原点同侧时,a,b的符号相同,则
ab=3×5=15或ab=(-3)×(-5)=15;
当点A与点B位于原点异侧时,a,b的符号相反,则
ab=3×(-5)=-15或ab=(-3)×5=-15.
综上所述,a与b的乘积为15或-15.
20.解:因为|a|=3,|b|=2,且a+b<0,
所以a=-3,b=2或a=-3,b=-2,
所以ab=-6或ab=6.1.7 有理数的加减混合运算
知识点 1 有理数的加减法统一成加法
1.把(-3)-(-6)+(-5)-(+9)写成省略加号的形式是____________,结果读作“____________”,或读作“____________”.
2.下列式子可读作“负10,负6,正3,负7的和”的是( )
A.-10+(-6)+(+3)-(-7)
B.-10-6+3-7
C.-10-(-6)-3-(-7)
D.-10-(-6)-(-3)-(-7)
知识点 2 有理数的加减混合运算
3.计算:(-73)+9.1-(-7)+(-9),正确的结果是( )
A.-79.9 B.61.9
C.-65.9 D.65.9
4.计算(-9)-(+3)+(-5)-(-7)-,所得结果是________.
5.下面是小明同学做的一道数学题的过程:
1+---
=1-+-1……①
=-……②
=2-……③
=2+
=2.……④
请指出他从哪一步开始出错________(填序号),正确的结果是________.
6.计算:
(1)(-20)-(-5)+(+13)-(+7);
(2)-3.7-(-)-1.3;
(3)|-3.5|-+;
(4)6+24-18+4-16+18-6.8-3.2.
知识点 3 有理数加减混合运算的应用
7.某潜水艇停在海平面下500米处,先下降130米,又上升200米,这时潜水艇停在海平面下________米处.( )
A.430 B.530
C.570 D.470
8.某天股票B的开盘价为10元,上午11:00下跌了1.8元,下午收盘时上涨了1元,则该股票这天的收盘价为( )
A.-0.8元 B.12.8元
C.9.2元 D.7.2元
9.某种粮大户共有5块小麦试验地,每块试验地今年的收成与去年相比情况如下(增产为正,减产为负,单位:kg):49,-30,12,-15,28,请你计算一下,今年的小麦产量与去年相比增产________kg.
10.甲、乙两队进行拔河比赛,标志物先向乙队方向移动了0.2 m,又向甲队方向移动了0.5 m,僵持一会儿,又向乙队方向移动了0.4 m,随后又向甲队方向移动了1.3 m,在大家的欢呼鼓励声中,标志物又向甲队方向移动了0.9 m.若规定标志物向某队方向移动2 m,该队即可获胜,则这次比赛谁赢了?
11.若三个不相等的有理数的和为0,则下列结论正确的是( )
A.三个加数全是0
B.至少有两个加数是负数
C.至少有一个加数是负数
D.至少有两个加数是正数
12.设a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
13.分别输入-1,-2,按图1-7-1所示的程序运算,则输出的结果依次是________,________.
图1-7-1
14.我们规定“※”是一种数学运算符号,A※B=(A+B)-(A-B),那么3※(-5)=________.
15.小明的父亲上星期五买进某公司股票1000股,每股27元,下表为本周内每日该股票的涨跌情况(涨记为正,跌记为负).
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌(元) +4 +4.5 -1 -2.5 -6
(1)星期三收盘时,每股是________元;
(2)本周内最高价是每股________元,最低价是每股________元.
16.请根据图1-7-2所示的对话解答下列问题.
求:(1)a,b的值;
(2)8-a+b-c的值.
图1-7-2
17.(1)有1,2,3,…,11,12共12个数,请在每两个数之间添上“+”或“-”,使它们的和为0.
(2)若有1,2,3,…,2007,2008共2008个数,请在每两个数之间添上“+”或“-”,使它们的和为0.
(3)根据(1)(2)的规律,试判断能否在1,2,3,…,2018,2019共2019个数的每两个数之间添上“+”或“-”,使它们的和为0?若能,请说明添法;若不能,请说明理由.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课通过有理数减法法则把有理数的加减法运算统一成加法运算,让学生体会数学中的转化思想.有理数的加减法混合运算不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习整式混合运算等内容的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 能把有理数的加、减混合运算的算式写成几个有理数的和的形式,并能正确地进行有理数的加减混合运算
过程与方法 通过有理数的加减混合运算的学习,体会数学中的转化思想
情感、度 与价值观 通过学习有理数的加减混合运算,使学生养成认真的学习习惯和科学严谨的态度
教学重 点难点 重点 有理数的加减混合运算,能把加减法统一成加法的省略括号的形式,并读出来
难点 有理数的加减混合运算的符号处理及运用加法运算律简化运算
易错点 将加减混合运算统一为加法时,运算符号和性质符号的变化
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 有理数的加法法则和减法法则分别是什么? [答案] 加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为0,绝对值不相等时,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加,仍得这个数. 减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数
活动2 想一想 一架飞机做特技表演,起飞后的高度变化如下表: 高度变化记作上升3.2千米+3.2千米下降1.1千米-1.1千米上升4.5千米+4.5千米下降2.7千米-2.7千米
你能计算出飞机最后比起飞点高了多少千米吗? [解析] 上升和下降都是相对于起飞点来说的,所以将飞机起飞后的高度变化相加,得正就是比起飞点高,得负就是比起飞点低. 解:(+3.2)+(-1.1)+(+4.5)+(-2.7)=3.2-1.1+4.5-2.7=(3.2+4.5)+(-1.1-2.7)=7.7-3.8=3.9(千米). 答:飞机最后比起飞点高3.9千米
【详解详析】
1.-3+6-5-9 负3,正6,负5与负9的和
负3加6减5减9
2.B
3.C [解析] 原式=-73+9.1+7-9=(-73-9)+(9.1+7)=-82+16.1=-65.9.
4.-10
5.② 0
6.解:(1)原式=-20+5+13-7
=(-20-7)+(5+13)
=-27+18
=-9.
(2)原式=+-3.7-1.3
=-(3.7+1.3)
=1-5
=-4.
(3)原式=3.5++
=3.5+
=3.5+5
=8.5.
(4)原式=+(24-16)+(-18+18)+(-6.8-3.2)
=11+8+0-10
=9.
7.A [解析] (-500)+(-130)+200=-500-130+200=-430(米),即这时潜水艇停在海平面下430米处.故选A.
8.C [解析] 由题意可得该股票这天的收盘价为10-1.8+1=9.2(元).
9.44 [解析] 49+(-30)+12+(-15)+28=49+12+28+[(-30)+(-15)]=89+
(-45)=44(kg).
10.[解析] 设标志物向甲队方向移动为正,向乙队方向移动为负,则标志物移动数依次为-0.2 m,+0.5 m,-0.4 m,+1.3 m,+0.9 m.计算它们的和,看比2 m大还是小.
解:设标志物向甲队方向移动为正,向乙队方向移动为负,则-0.2+0.5-0.4+1.3+
0.9=2.1(m)>2 m,故这次比赛甲队赢了.
11.C [解析] 三个不相等的数相加为0的三种情况:
(1)可能是有一对相反数和一个0;(2)可能是两个正数相加等于那个负数;(3)可能是两个负数相加等于那个正数.
12.D [解析] 最小的正整数是1,最大的负整数是-1,绝对值最小的有理数是0,所以a-b+c=1-(-1)+0=2.
13.1 0 [解析] 当输入-1时,输出的结果为-1+4-(-3)-5=-1+4+3-5=1;当输入-2时,输出的结果为-2+4-(-3)-5=-2+4+3-5=0.
14.-10 [解析] 根据规定可知:3※(-5)=[3+(-5)]-[3-(-5)]=(-2)-8=-10.
15.(1)34.5
(2)35.5 26
16.解:(1)因为a的相反数是3,b的绝对值是7,
所以a=-3,b=±7.
(2)因为a=-3,b=±7,c和b的和是-8,
所以当b=7时,c=-15;当b=-7时,c=-1.
当a=-3,b=7,c=-15时,8-a+b-c=8-(-3)+7-(-15)=33;
当a=-3,b=-7,c=-1时,8-a+b-c=8-(-3)+(-7)-(-1)=5.
综上所述,8-a+b-c的值为33或5.
17.解:(1)1-2+3-4+5-6-7+8-9+10-11+12=0.
(2)1-2+3-4+5-6+…+1003-1004-1005+1006-1007+1008-…-2007+
2008=0.
(3)不能.理由:由(1)(2)可知当所有数的个数是4的整数倍时,在每两个数之间添上“+”或“-”,它们的和才能为0,2019不是4的整数倍,所以在每两个数之间添上“+”或“-”不能使它们的和为0.1.4 有理数的大小
知识点 1 利用正数、0、负数的关系比较大小
1.2018·广东 四个数0,,-3.14,2中,最小的数是( )
A.0 B.
C.-3.14 D.2
2.2017·河南 下列各数中比1大的数是( )
A.2 B.0 C.-1 D.-3
3.在-,0,-2,5这四个数中,最大的数是( )
A.- B.0 C.-2 D.5
4.在 0.5,0,-1,-2 这四个数中,绝对值最大的数是( )
A.0.5 B.0 C.-1 D.-2
5.比较大小:3________-2;0 ________-1(填“>”“<”或“=”).
知识点 2 利用数轴比较有理数的大小
6.在元旦当天,我国某三个城市的最高气温分别是-9 ℃,1 ℃,-4 ℃,通过观察温度计,可以把它们从低到高排列为____________;若在数轴上表示-9,1,-4这三个数,通过观察数轴,可以发现它们从左到右排列为____________.由此我们发现,在数轴上表示的数,左边的数总是________右边的数.
7.如图1-4-1,数轴上的四个点中,表示的数最小的点是( )
图1-4-1
A.点E B.点F
C.点M D.点N
8.如图1-4-2所示,a,b,c 表示有理数,则a,b,c 的大小顺序是( )
图1-4-2
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a
9.用“>”连接下列各数:,-5,0,3.6,-3,-,-1.
10.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-4-3所示,把-a,-b在数轴上表示出来,再把a,b,-a,-b,0按从大到小的顺序排列起来.
图1-4-3
知识点 3 利用法则比较负数的大小
11.在数-6,-4,-3,-1中,比-2大的数是( )
A.-6 B.-4 C.-3 D.-1
12.比较-,-,的大小,结果正确的是( )
A.-<-< B.-<<-
C.<-<- D.-<-<
13.下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温:
城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰
平均气温(℃) -8 -16 -5 -25
其中平均气温最低的城市是( )
A.阿勒泰 B.喀什
C.吐鲁番 D.乌鲁木齐
14.比较大小:
(1)0________-5; (2)-5________-6;
(3)-________-; (4)-________-.
知识点 4 先化简再比较大小
15.下列比较大小的式子中,正确的是( )
A.2<-(+5) B.-1>-0.01
C.|-3|<|+3| D.-(-5)>+(-7)
16.用“<”连接下列各数:,,|0|,|-1|,-,-(-0.01).
17.以下说法正确的是( )
①绝对值最小的有理数是0;
②相反数大于本身的数是负数;
③数轴上原点两侧的点表示的数互为相反数;
④两个数比较大小,绝对值大的反而小.
A.①② B.①③
C.①②③ D.①②③④
18.将有理数-|0.67|,-(-0.68),,|-0.67|,0.6,0.66按照从小到大的顺序用“<”连接起来为:__________________________________________________________.
19.(1)不大于1.5的非负整数为________;
(2)绝对值不大于2的整数为____________.
20.画一条数轴,并在数轴上表示:3.5和它的相反数,-,绝对值等于3的数,最大的负整数,并把这些数由大到小用“>”号连接起来.
21.若│a│= -a,│b│=b,│c│= -c,│d│= -d,且无一个数为零,还满足│a│>│b│>│c│>│d│,请将a,b,c,d四个数按照从小到大的顺序排列.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课主要是在学生学习了数轴概念的基础上借助数轴来比较有理数的大小,向学生渗透数形结合的数学思想,为以后学好不等式解法、函数图像及其性质等内容打下基础,经常与其他知识综合命题考查
教 学 目 标 知识与技能 1.理解并掌握有理数大小的比较法则. 2.会利用数轴比较有理数的大小,并对多个有理数进行有序排列,会利用绝对值比较两个负数的大小. 3.能正确运用“>”“<”“因为”“所以”写出表示推理过程中简单的因果关系
过程与方法 借助数轴,比较有理数的大小,体验数形结合的数学思想.通过小组合作对两个有理数进行比较,并分析、归纳出有理数的大小比较法则,通过对例题的分析,加深对法则的理解
情感、度 与价值观 在合作学习中,培养语言表达能力,学会与人交流,拓展学生的思维能力,培养良好的个性品质,渗透数形结合思想及数学与生活的密切联系
教学重 点难点 重点 有理数大小的比较法则
难点 利用绝对值比较两个负数的大小
易错点 异分母的两个负分数比较大小
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 通过测量我们记录了某市在某日6时、13时、20时的气温分别为-2 ℃,10 ℃,1 ℃,在这一天给出的三个时刻的温度中,你能说出哪个时刻的气温最高,哪个时刻的气温最低吗? [答案] 13时气温最高,6时气温最低
活动2 想一想 我们知道:正数大于零,负数小于零,正数大于负数.但是,我们应该怎样去比较两个负数的大小呢?例如-2与-5哪个较大呢?用我们所学的知识来比较,就是画出数轴,在数轴上标上表示-2与-5的两个点.因为在数轴上表示的两个数,右边的数大于左边的数,所以-5<-2.但如果不用画数轴法,我们可以知道-2与-5哪个大吗? [答案] 略
【详解详析】
1.C [解析] 因为-3.14<0<<2,所以最小的数是-3.14.故选C.
2.A
3.D [解析] 因为正数>0>负数,故5>0>负数,所以最大的数是5.
4.D [解析] |-2|=2,|-1|=1,|0|=0,|0.5|=0.5,因为0<0.5<1<2,所以在0.5,0,-1,-2这四个数中,绝对值最大的数是-2.
5. > > [解析] 有理数大小比较的法则:正数大于一切负数,负数都小于0.
6.-9 ℃,-4 ℃,1 ℃ -9,-4,1 小于
7.A [解析] 在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大.
8. A [解析] 因为数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大,所以将它们用“<”连接起来为a<b<c.故选A.
9.解:将各数用数轴上的点表示,如图所示:
根据“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”,可得3.6>>0>->-1>-3>-5.
10.解:如图所示:
由图可知:a>-b>0>b>-a.
11. D [解析] 因为|-6|>|-4|>|-3|>|-2|>|-1|,所以-6<-4<-3<-2<-1.故选D.
12.A [解析] 在-,-,这三个数中,是正数,-和-是负数,正数大于负数,所以最大.因为>,所以-<-,所以-<-<.故选A.
13.A [解析] 因为5<8<16<25,所以-5>-8>-16>-25,所以阿勒泰的平均气温最低.故选A.
14.(1)> (2)> (3)< (4)<
15.D [解析] A项,-(+5)=-5,所以2>-5,本选项错误;B项,因为|-1|=1,
|-0.01|=0.01,所以|-1|>|-0.01|,所以-1<-0.01,本选项错误;C项, 因为|-3|=3,
|+3|=3,所以|-3|=|+3|,本选项错误;D项,-(-5)=5,+(-7)=-7,所以-(-5)>
+(-7),本选项正确.
16.[解析] 先进行化简,明确正、负数,再进行大小比较.
解:-<|0|<-(-0.01)<<<|-1|.
17.A [解析] ①绝对值最小的有理数是0,所以①正确;②正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0,则相反数大于本身的数是负数,所以②正确;③数轴上原点左侧的点表示的数为负数,右侧的点表示的数为正数,正数和负数不一定都互为相反数,如1和-2不互为相反数,所以③不正确;④两个负数,绝对值大的反而小,所以④不正确.说法正确的有①②.
18.-|0.67|<0.66<<|-0.67|<0.6<-(-0.68) [解析] -|0.67|=-0.67,|-0.67|=0.67,-(-0.68)=0.68,=0..
19.(1)1,0 (2)±2,±1,0
[解析] 绝对值不大于2的整数,就是到原点的距离小于或等于2的整数点表示的数.
20.[解析] 数轴上原点左侧的点表示的数为负数,右侧的点表示的数为正数,3.5在原点右侧,-3.5在原点左侧,-在原点左侧,绝对值为3的数有3和-3,3在原点右侧,-3在原点左侧,最大的负整数为-1,在原点左侧.
解:如图所示:
由大到小排列:3.5>3>->-1>-3>-3.5.
21.解:因为│a│= -a,│b│=b,│c│= -c,│d│= -d,且无一个数为0,
所以a<0,b>0,c<0,d<0.
因为│a│>│c│>│d│,所以a知识点 1 有理数的减法法则
1.(1)2-5=2+(________)=________;
(2)5-(-7)=5+________=________;
(3)0-(-2.5)=0+________=________.
2.计算3-(-1)的结果是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.下列计算错误的是( )
A.-2-(-2)=0 B.-3+4=1
C.-7-(-3)=-10 D.12-15=-3
4.下列说法正确的是( )
A.两数之差一定小于被减数
B.某个数减去一个负数,一定大于被减数
C.0减去任何一个数,都得负数
D.互为相反数的两个数相减差为0
5.比-2019小1的数是( )
A.-2018 B.2018 C.-2020 D.2020
6.计算:4-|-6|=______.
7.计算:-8-3=________;5-12=________;
|-2|-(-3)=________;-1-=________.
8.下面是小红做的数学作业,其中正确的是________(填序号).
①0-=; ②0-=;
③-0=-; ④-0=-.
9.三个数-8,-4,3的和比它们的绝对值的和小________.
10.若a的相反数是最大的负整数,b是绝对值最小的数,则b-a=________.
11.计算:(1)(-5)-0; (2)33-(-25);
(3)-14-(+15)+(-2);
(4)0.75-; (5)--;
(6)-(-3)-(+5).
12.已知a是12的相反数,b比a的相反数大4,求b比a大多少?
知识点 2 有理数减法的应用
13.2017·呼和浩特 我市冬季里某一天的最低气温是-10 ℃,最高气温是5 ℃,这一天的温差为( )
A.-5 ℃ B.5 ℃ C.10 ℃ D.15 ℃
14.已知甲、乙、丙三地的高度分别为30 m,-15 m,-9 m,那么最高的地方比最低的地方高__________m.
15.全班学生分成五个小组进行游戏,每组的基础分为10分,答对一题加5分,答错一题扣5分,游戏结束时,各组的分数如下:
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
10 15 -40 35 -10
(1)第一名超出第二名多少分?
(2)第二名超出最后一名多少分?
16.如图1-6-1,数轴上点A表示的数减去点B表示的数, 结果是( )
图1-6-1
A.8 B.-8 C.2 D.-2
17.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-6-2所示,则( )
图1-6-2
A.a+b<0 B.a+b>0
C.a-b=0 D.a-b<0
18.某粮店出售三种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(25±0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样,任意取出两袋,它们的质量最多相差( )
A.0.3 kg B.0.4 kg
C.0.5 kg D.0.6 kg
19.一位粗心的同学在做加减运算时,将“-5”错写成“+5”进行运算,这样他得到的结果比正确答案( )
A.少5 B.少10
C.多5 D.多10
20.如果|a|=2,|b|=1,且a21.下表列出了国外几个城市与首都北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的小时数),如北京时间的上午10:00,东京时间的10点已过去了1小时,现在已是上午
11:00.
城市 时差/时
纽约 -13
巴黎 -7
东京 +1
芝加哥 -14
(1)如果现在是北京时间8:00,那么纽约现在的时间是多少?
(2)此时(北京时间8:00)小明想给远在巴黎的姑妈打电话,你认为合适吗?为什么?
(3)如果现在是芝加哥时间上午6:00,那么现在北京时间是多少?
22.已知|m|=4,|n|=6,且|m+n|=m+n,求m-n的值.
23.已知点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|=
|a-b|.
根据以上公式回答下列问题:
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是__________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________;
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________,如果|AB|=2,那么x=________.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课通过对有理数减法法则的探索,让学生体会数学中的转化思想.有理数减法不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习整式加减等内容的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 理解有理数减法的意义,掌握有理数减法法则,能熟练地进行有理数减法运算
过程与方法 1.通过有理数减法法则的探索过程,体会数学中的转化思想. 2.通过对减法法则的探讨,培养学生的创新思维
情感、度 与价值观 了解有理数加与减两种运算的对立统一关系,渗透事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想
教学重 点难点 重点 有理数减法法则及其应用
难点 对有理数减法法则的探究
易错点 将有理数的减法转化成加法
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 计算: (1)+;(2)-3+(-7);(3)-10+(+3); (4)+10+(-3). [答案] (1)- (2)-10 (3)-7 (4)7
活动2 想一想 在一个比赛用的跳水馆里,有10米跳台,3米跳板,如果以水面为基准,那么10米跳台可表示为+10米,3米跳板可表示为+3米,如果水深是4米,那么可用-4米表示.那么请问: (1)跳台与跳板的距离可表示为:__10__-__3__=__7__(米); 也可以表示为:__10__+__(-3)__=__7__(米). (2)从10米跳台到水底的距离可表示为:__10__-__(-4)__=__14__(米); 也可以表示为:__10__+__4__=__14__(米)
【详解详析】
1.(1)-5 -3 (2)7 12 (3)2.5 2.5
2.D
3.C [解析] -7-(-3)=-7+3=-4.
4.B [解析] 0-(-1)=1>0,故A选项错误.B选项正确.0-(-1)=1,1是正数,故C选项错误.3-(-3)=6≠0,故D选项错误.
5.C [解析] 根据题意,得-2019-1=-2020.故选C.
6.-2 [解析] 4-|-6|=4-6=-2.
7.-11 -7 5 -1 [解析] -8-3=-8+(-3)=-11;5-12=5+(-12)=-7;|-2|-(-3)=2+3=5;-1-=-1+=-1.
8.②④
9.24 [解析] 用它们的绝对值的和减去它们的和,然后根据绝对值的性质与有理数的减法运算法则进行计算即可得解.|-8|+|-4|+|3|-[(-8)+(-4)+3)]=8+4+3-(-12+
3)=15-(-9)=15+9=24.
10.-1 [解析] 因为a的相反数是最大的负整数,b是绝对值最小的数,所以-a=-1,b=0,所以a=1,所以b-a=0-1=-1.
11.解:(1)原式=-5+0=-5.
(2)原式=33+25=58.
(3)原式=-14+(-15)+(-2)=-(14+15+2)=-31.
(4)原式=+=.
(5)原式=-+(-)=-+(-)=-.
(6)原式=3+(-5)=3+(-5)=-1.
12.解:根据题意,得a=-12,b=12+4=16,则b-a=16-(-12)=28.
13.D [解析] 由题意,得 5-(-10)=5+10=15(℃).故选D.
14.45 [解析] 根据有理数的大小比较,可得最高地方、最低地方,再根据有理数的减法,可得最高的地方比最低的地方高多少米.因为30>-9>-15,所以30-(-15)=45(m).
15.[解析] 此题为表格信息题,首先读懂记分方式,判断出各组的名次,然后根据问题列式求解.
解:(1)第一名为第4组,第二名为第2组,
35-15=20(分).答:第一名超出第二名20分.
(2)最后一名为第3组,15-(-40)=55(分).
答:第二名超出最后一名55分.
16.B [解析] 根据数轴可知,点A代表-3,点B代表5,-3-5=-8.
17.B [解析] 由数轴,得a>0,b<0,且|a|>|b|,所以a+b>0,a-b>0.
18.D [解析] 求最大的质量差可用最多的质量减去最少的质量,
得25+0.3-(25-0.3)=0.6(kg).
19.D
20.-3或-1 [解析] 因为|a|=2,|b|=1,所以a=±2,b=±1.因为a21.解:(1)8+(-13)=-5,
因为一天有24小时,所以24+(-5)=19.
答:纽约现在的时间是前一天晚上7点(或前一天19点).
(2)不合适.理由:因为8+(-7)=1,
即巴黎当地时间是凌晨1点,所以不合适.
(3)6-(-14)=20.
答:现在北京时间是当天20点.
22.解:因为|m|=4,|n|=6,
所以m=±4,n=±6.
因为|m+n|=m+n,所以m+n≥0,
所以m=±4,n=6.
当m=4,n=6时,m-n=-2;
当m=-4,n=6时,m-n=-10.
综上,m-n的值为-2或-10.
23. (1)3 3 4 (2)|x+1| 1或-3第2课时 有理数的加法运算律
知识点 1 有理数加法运算律
1.(1)3+(-2)=____+3,即a+b=________;
(2)(-31)+(+19)+(-5)+(+31)=[(-31)+______]+[____+____],即(a+b)+c=____________.
2.2018·麻城校级期中 计算1+(-2)+(+3)+(-4)+(+5)+(-6)+…+(+99)+
(-100)+(+101)的结果是( )
A.0 B.-1 C.-50 D.51
3.计算(-3.68)+19+(-5.32),下列简便运算正确的是( )
A.[(-3.68)+19]+5.32
B.(-3.68)+[19+(-5.32)]
C.19+(3.68+5.32)
D.[(-3.68)+(-5.32)]+19
4.计算0.75++0.125++的结果是( )
A.6 B.-6 C.5 D.-5
5.在答题线上填上这一步所根据的运算律.
(+7)+(-22)+(-7)
=(-22)+(+7)+(-7)______________
=(-22)+[(+7)+(-7)]______________
=(-22)+0
=-22.
6.计算:
(1)3++5+;
(2)(-45.3)+9.5+(-4.7)+(-0.5).
知识点 2 有理数加法及运算律的应用
7.七年级(1)班第一学期班费收支情况如下(开始时为0元,收入为正):+250元,-55元,-120元,+7元.该班期末时,班费结余为( )
A.82元 B.85元 C.35元 D.92元
8.质量监督局到一个饮料厂进行抽样检查,一瓶饮料以净含量500毫升为标准,超过的毫升数记作正数,不足的毫升数记作负数,抽查结果(单位:毫升)如下:+1,-3,-2,
+4,+1.5,-0.5.
抽查的饮料共超出或不足多少毫升?
9.绝对值大于2而小于7的所有整数的和是__________.
10.对于整数a,b(b>0),规定一种新运算“※”,用a※b 表示由a开始的连续b个整数之和,如2※3=2+3+4=9,请你计算以下式子的结果:(-1)※3=________.
11.从图1-5-4①中找规律,并按规律在图②的空格里填上合适的数.
图1-5-4
12.用简便方法计算:
(1)-+13++|-17|;
(2)3+++.
13.一口水井,水面比井口低2米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.4米,下滑了0.2米,第二次往上爬了0.59米却又下滑了0.12米,第三次往上爬了0.88米,下滑了0.15米,第四次往上爬了0.6米,则蜗牛爬到井口了吗?
14.先阅读第(1)题的计算过程,再根据第(1)题的解题方法完成第(2)题.
(1)计算:++17+.
解:++17+
=+++
=[(-5)+(-9)+(+17)+(-3)]+
=0+
=-1.
上面这种解题方法叫做拆项法.
(2)计算:++4039+.
15.下表是一个水文站记录的今年雨季某河流一周内的水位变化情况(上周日水位到达警戒水位).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化(m) +0.20 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01
注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降.
(1)与上周日相比,本周日的河流水位是上升了还是下降了?
(2)本周哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它们位于警戒水位之上还是之下?与警戒水位的距离分别是多少米?
16.计算:1-3+5-7+9-11+…+97-99=________________________.
17.在图1-5-5的9个方格中分别填入0,1,2,3,4,5,6,-1,-2,使得每行的3个数、每列的3个数、对角线的3个数之和都相等.
图1-5-5
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课通过具体数据验证小学时的加法运算律在有理数范围内同样成立,从而得出有理数的加法运算律.有理数的加法运算律不仅是有理数混合运算的基础,还是以后学习整式混合运算的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 掌握有理数的加法运算律,能熟练地进行有理数的加法运算
过程与方法 1.体验加法运算律在实际运算中的应用. 2.能运用有理数的加法解决问题
情感、度 与价值观 通过思考、观察、比较等体验数学的创新思维和发散思维,激发学生的学习兴趣
教学重 点难点 重点 有理数的加法法则及运算律的应用
难点 会用加法运算律简化运算
易错点 加数换位时忽略符号
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 有理数的加法法则分哪几种情况?并运用法则进行下面的计算: (1)(-2)+(-8)=__-10__;(2)(-8)+(+6)=__-2__; (3)(-7)+0=__-7__;(4)(-18)+(+18)=__0__; (5)8+(-2)=__6__;(6)-+=__-1__. [答案] 有理数加法法则: 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; 异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 一个数同0相加,仍得这个数
活动2 想一想 小学里我们学过的加法运算律有哪些?先说说,再用字母表示写在下面:__a+b=b+a__,__(a+b)+c=a+(b+c)__.引进负数后,这些运算律还适用吗?[答案] 适用
【详解详析】
1.(1)-2 b+a
(2)(+31) (+19) (-5) a+(b+c)
2.D [解析] 依据加法的结合律进行计算即可.
原式=[1+(-2)]+[(+3)+(-4)]+…+[(+99)+(-100)]+(+101)
=-50+(101)
=51.
故选D.
3.D 4.B
5.加法交换律 加法结合律
6.解:(1)分母相同的先结合:
3++5+
=+
=9+(-11)
=-2.
(2)和为整数的先结合:
(-45.3)+9.5+(-4.7)+(-0.5)
=[(-45.3)+(-4.7)]+[9.5+(-0.5)]
=-50+9
=-41.
7.A [解析] 0+(+250)+(-55)+(-120)+(+7)=[(+250)+(+7)]+[(-55)+
(-120)]=257+(-175)=82(元).故选A.
8.解:+1+(-3)+(-2)+(+4)+(+1.5)+(-0.5)=1(毫升).
答:抽查的饮料共超出1毫升.
9.0 [解析] 3+4+5+6+(-3)+(-4)+(-5)+(-6)=0.
10.0 [解析] -1+0+1=(-1+1)+0=0.
11.[解析] 由图可以发现如下规律:
(-5)+(-6)=-11,(-6)+(-2)=-8,(-11)+(-8)=-19.
由此可推出图中空格里的数是
(-7)+9=2,9+(-14)=-5,2+(-5)=-3.
解:填数如图所示.
[点评] 本题是灵活运用有理数的加法解规律探究型问题,关键是分析题中“数”与“形”的特点,从中找出规律.
12.解:(1)原式=+(13+17)=-1+(+30)=29.
(2)原式=+[+]=6+(-10)=-3.
13.解:规定向上爬为正,下滑为负,首先计算蜗牛前三次运动后离井口还有多远,列式为:
0.4+(-0.2)+0.59+(-0.12)+0.88+(-0.15)
=0.4+0.59+0.88+[(-0.2)+(-0.12)+(-0.15)]
=1.87+(-0.47)
=1.4(米),
则此时蜗牛离井口2-1.4=0.6(米).
而蜗牛第四次又往上爬了0.6米,所以蜗牛爬到井口了.
14.解:(2)++4039+
=+[(-2020)+]+[(+4039)+]+
= [(-2019)+(-2020)+(+4039)+(-1) ]+
=(-1)+
= -2.
15.解:(1)(+0.20)+(+0.81)+(-0.35)+(+0.03)+(+0.28)+(-0.36)+(-0.01)=+0.60(m).
答:与上周日相比,本周日的河流水位上升了.
(2)0+0.20=0.20(m),
0.20+0.81=1.01(m),
1.01+(-0.35)=0.66(m),
0.66+0.03=0.69(m),
0.69+0.28=0.97(m),
0.97+(-0.36)=0.61(m),
0.61+(-0.01)=0.60(m).
答:本周星期二河流的水位最高,位于警戒水位之上,与警戒水位的距离是1.01 m.星期一河流的水位最低,位于警戒水位之上,与警戒水位的距离是0.20 m.
16.-50 [解析] 相邻两个奇数一正一负间隔出现,因此两个数为一组,它们的和相等为-2,并正好分为25组,根据这一特点可以用加法结合律来解决.
17.解:填法不唯一,如图.第2课时 运算律的灵活运用与推广
知识点 1 有理数的混合运算
1.下列各式计算正确的是( )
A.-2-1×6=(-2-1)×6
B.2÷4×=2÷(4×)
C.(-1)98+(-1)99=1-1
D.-4×32=(-4×3)2
2.计算2×(-3)3+4×(-3)的结果为( )
A.-18 B.-27 C.-24 D.-66
3.计算:-32÷(-3)2+3×(-6)=________.
4.计算:-1-1÷32×+2=________.
5.计算:
(1)(-3)×÷×3;
(2)2×(-5)+23-3÷;
(3)(-5)-(-5)×÷×(-5);
(4)-12019-8÷(-4)×(-7+5).
知识点 2 有理数运算律的应用
6.计算1-3+5-7+9=(1+5+9)+(-3-7)是应用了( )
A.加法交换律
B.加法结合律
C.分配律
D.加法交换律与结合律
7.计算2×(-3)+12×的结果是( )
A.1 B.-1 C.-11 D.11
8.计算:
(1)-102+(-12)×(-37)×;
(2)(-24)×+(-2)3.
9.在数学课上,老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题,你认为做对的同学是( )
甲:9-32÷8=0÷8=0;
乙:24-(4×32)=24-4×6=0;
丙:(36-12)÷=36×-12×=16;
丁:(-3)2÷×3=9÷1=9.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10.要使算式-34□[23-(-2)3]的计算结果最大,在“□”里填入的运算符号应是( )
A.+ B.- C.× D.÷
11.计算-3-32+32÷×3的结果是( )
A.-3 B.87 C.15 D.69
12.一根绳子长15米,截去它的后,再接上米,这时绳子的长度是( )
A.15米 B.5米 C.14米 D.10米
13.按图1-11-3的程序计算,若开始输入的x为3,则最后输出的结果是________.
图1-11-3
14.若△表示绝对值最小的有理数,□表示最小的正整数,○表示最大的负整数,则
(△-○)×□=________.
15.计算:
(1)(-2)3×8-8×+8×;
(2)(-3)2-×5+×(-32);
(3)(-42)÷+5×-(-0.5)2;
(4)-1-(1-0.5)××[2-(-3)2].
16.某商场节日搞活动,凡购物100元以上(含100元)给予优惠,100元以下不给予优惠,购物100~300元(含100元)按九折优惠,300元以上(含300元)按八折优惠,活动期间,某人两次购物分别用去80元和280元.若改为一次性购买可节省多少钱?
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课学习有理数的运算律的灵活应用与推广,是前一课时内容的继续,也是本册教材中的重点和难点,为今后学习函数、方程和其他应用问题奠定基础
教 学 目 标 知识与技能 能熟练地进行有理数的混合运算,自觉运用运算律简化计算,培养学生的探究能力
过程与方法 通过例题的学习,引导学生对错误进行自我纠正,对学习过程进行自我评价;提高学生观察、归纳、猜想、推理的能力
情感、度 与价值观 通过师生互动,培养学生的应用意识与探究意识,提高学生学习数学的兴趣与热情
教学重 点难点 重点 有理数运算律的运用
难点 正确而合理地进行有理数的混合运算
易错点 违背运算顺序,混淆运算符号与性质符号
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 我们学过的一些运算律有什么作用? [答案] 可使运算简便
活动2 想一想 回顾有理数混合运算的运算法则,指出下列各题解答过程中是否有错误. (1)10÷×6=10÷×6=10÷×6=10××6=; (2)(-5)-(-5)×÷×(-5)=0×÷×(-5)=0. [答案] (1)有错误 (2)有错误
【详解详析】
1.C [解析] A项,-2-1×6=-2-6=-8,而(-2-1)×6=-18,故本选项错误;B项,2÷4×=2××,故本选项错误;C项,(-1)98+(-1)99=1-1,故本选项正确;D项,-4×32=-4×9=-36,而(-4×3)2=(-12)2=144,故本选项错误.
2.D [解析] 原式=2×(-27)-12=-54-12=-66.
3.-19 [解析] 原式=-1+(-18)=-19.
4. [解析] 原式=-1-1××+2=.
5.解:(1)原式=-1×(-3)×3=9.
(2)原式=2×(-5)+8-3×2
=-10+8-6
=-8.
(3)原式=(-5)-×10×(-5)=-30.
(4)原式=-1-8××(-2)
=-1-4
=-5.
[点评] 有理数的混合运算中,注意运用相关的性质,如:几个数相乘,有一个因数为0,结果就为0;互为倒数的两个数的乘积是1;几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定等.
6.D
7.B [解析] 原式=-6+12×+12×=-1.故选B.
8.解:(1)原式=-100+(-12)××(-37)=-100+370=270.
(2)原式=-3+8-6-8=-9.
9.C
10.D [解析] -34+[23-(-2)3]=-81+16=-65;-34-[23-(-2)3]=-81-16=-97;-34×[23-(-2)3]=-81×16=-1296;-34÷[23-(-2)3]=-81÷(16)=-.
故选D.
11.D [解析] 原式=-3-9+9×3×3=-12+81=69.
12.D [解析] 绳子截去它的,则截去部分的长度为15×=5(米),剩余绳子的长度是15-5=10(米),再接上米,故这时绳子的长度为10米.
13.231 [解析] 这是一道循环结构的程序运算题, 输入x,计算的值后,若大于100,则输出结果;若不大于100,则把计算出的结果作为x的值代入再计算,直至计算出的值大于100,才输出.输入x=3时,有=6<100,再把x=6代入,有=21<100,再把x=21代入,有=231>100,故输出的数是231.
14.1 [解析] 由题意可知△表示0,□表示1,○表示-1,则所求式子表示为[0-(-1)]×1=1.
15.解:(1)原式=-8×8-8×+8×=-64.
(2)原式=9-+×(-9)
=9--
=.
(3)原式=(-16)÷--
=---
=-.
(4)原式=-1-××(2-9)
=-1-×(-7)
=.
16.[解析] 先求出两次购物的原价,再根据活动规则求出若改为一次性购买应花多少钱,从而可得节省的钱数.
解:因为原价100元以上至少要用90元,所以第一次购物的原价没超过100元,应为80元.因为100~300元范围内最多用去270元,所以第二次购物的原价超过300元,
即280÷0.8=350(元).
若改为一次性购买,则节省的钱数为(80+280)-(80+350)×0.8=360-344=16(元).
答:若改为一次性购买可节省16元.1.2 数轴
知识点 1 数轴的概念及画法
1.关于数轴,下列说法最准确的是( )
A.一条直线
B.有原点、正方向的一条直线
C.有单位长度的一条直线
D.规定了原点、正方向、单位长度的直线
2.下列语句中,正确的是( )
A.数轴的原点必须画在数轴的中间
B.数轴的单位长度必须是1厘米
C.数轴的正方向必须向右
D.数轴的原点可以画在数轴上的任意一个位置
3.如图1-2-1所示的图形为四位同学所画的数轴,其中正确的是( )
图1-2-1
知识点 2 数轴上的点与有理数之间的关系
4.下列说法正确的是( )
A.数轴上的点只能表示整数
B.数轴上的一个点只能表示一个数
C.数轴上的点所表示的数都是有理数
D.两个不同的有理数可以用数轴上同一点表示
5.如图1-2-2,在数轴上点M表示的数可能是( )
图1-2-2
A.1.5 B.-1.5 C.-2.5 D.2.5
6.在数轴上表示-2,0,6.3,的四个点中,在原点右边的点有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.数轴上点A表示的数是-2,点B表示的数是1.2,则点A与点B之间表示整数的点有______________个.
8.画一条数轴,然后在数轴上标出表示下列各数的点:-1,2,3,-2.5,1,-3,0.
9.指出图1-2-3中的数轴上O,A,B,C,D,E各点分别表示什么数.
图1-2-3
知识点 3 数轴上的点之间的距离
10.(1)数轴上表示4的点在原点的________边,与原点的距离是________个单位长度;
(2)数轴上表示-4的点在原点的________边,与原点的距离是________个单位长度;
(3)与原点的距离是4个单位长度的点有________个,它们表示的数分别是________和________.
11.在数轴上,在原点的左侧,距原点6个单位长度的点表示的数为________.
12.在数轴上,与表示-5的点的距离是2的点表示的数是________.
13.根据图1-2-4所示的数轴,解答下列问题:
(1)A,B两点之间的距离是多少?
(2)在数轴上画出与点A的距离为2的点(用不同于A,B的字母在所给的数轴上表示).
图1-2-4
14.2018·肥东县期末 在数轴上点M表示的数为-2,与点M距离等于3个单位长度的点表示的数为( )
A.1 B.-5
C.-5或1 D.-1或5
15.数轴上到原点的距离不大于3的整数点有( )
A.3个 B.4个
C.7个 D.无数个
16.在数轴上,一点从原点开始,先向右移动2个单位长度,再向左移动3个单位长度后到达终点,这个终点表示的数是( )
A.5 B.1 C.-1 D.-5
17.2017·大连期末 将一刻度尺按图1-2-5所示放在一条数轴上,刻度尺上“0 cm”
“6 cm”和“8 cm”分别对应数轴上的-3,0和x,那么x的值为( )
图1-2-5
A.8 B.5 C.2 D.1
18.数轴上表示整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画一条长15厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数共有( )
A.13或14个 B.14或15个
C.15或16个 D.16或17个
19.2018·柳州期末 将数轴按图1-2-6所示从点A开始折出一等边三角形ABC,设点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x-5,点C表示的数为5-x,则x=________.
图1-2-6
20.2018·东西湖区期中 如图1-2-7,点A,点B在数轴上分别表示6.5,x,点B在点A的左边,且点A,点B之间有9个整数点,则x的取值范围为____________.
图1-2-7
21.点A,B,C,D分别表示-3,-1,0,4.请解答下列问题:
(1)在数轴上描出A,B,C,D四个点;
(2)现在把数轴的原点取在点B处,其余均不变,那么点A,B,C,D分别表示什么数?
22.2018·上城区期末 如图1-2-8,A,O,B是数轴上从左至右的三个点,其中点O与原点重合,点A表示的数为-4,且AO+AB=11.
(1)求出点B所表示的数,并在数轴上把点B表示出来;
(2)C是数轴上的一个点,且CA:CB=1:2,求点C表示的数.
图1-2-8
23.小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上,星期天老师到这三位同学家依次进行家访,从学校出发先向东走250米到小明家,然后又向东走350米到小兵家,再向西行800米到小颖家,最后又回到学校.
(1)以学校为原点,向东为正方向画出数轴,并在数轴上分别表示出小明、小兵、小颖三位同学家的位置;
(2)小明家距离小颖家多远?
(3)这次家访,老师行走的总路程是多少米?
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节内容揭示了数和形的内在联系,为我们今后进一步研究问题提供了新方法和新思想,在初中数学中有着重要的地位,它是后面学习相反数、绝对值、有理数大小的比较、有理数的加法、不等式(组)的解法的基础
教 学 目 标 知识与技能 1.掌握数轴的概念,理解数轴上的点和有理数的对应关系. 2.会正确画出数轴,会用数轴上的点表示给定的有理数,会根据数轴上的点读出表示的有理数
过程与方法 经历从实际问题抽象出数学模型的过程,体会类比思想和数形结合的思想方法
情感、度 与价值观 通过画数轴,增强学生做题的耐心与细心,认识到数轴在生活中的应用,感受特定条件下数与形是可以相互转化的,体验生活中的数学
教学重 点难点 重点 数轴的概念和用数轴上的点表示有理数
难点 数轴上的点与有理数的关系
易错点 画数轴时,忽视正方向、原点,同一条数轴上单位长度不统一
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 在一条东西走向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆,请你回忆一下,你是如何画图表示这一情境的. [答案] 先画一条直线表示马路,分别标上西、东,在直线上取一点O表示汽车站的位置,规定一个单位长度表示1米,然后就可以分别表示柳树、杨树、槐树和电线杆的位置
活动2 想一想 下图是一个水平放置的温度计的简易图,若规定表示0的点向右为零上的度数,表示0的点向左为零下的度数,请找出零上10摄氏度,用图中表示__10__的点表示,零上30摄氏度用图中表示__30__的点表示,零下20摄氏度用图中表示__-20__的点表示
【详解详析】
1.D 2.D
3.D [解析] A选项,没有画出原点;B选项,单位长度不统一;C选项,负数顺序标反了.
4.B [解析] 数轴上的一个点只能表示一个数,故选B.
5.C [解析] 由数轴知,点M在原点的左边,并且在表示-2与-3的点之间,
故选C.
6.C [解析] 原点右边的点表示的数是正数,在-2,0,6.3,中,6.3和是正数.
7.4 [解析] 点A与点B表示的数之间的整数有-2,-1,0,1,共4个.
8.解:如图.
9.[解析] 表示正数的点都在原点的右侧,表示负数的点都在原点的左侧.要特别注意相邻两个负整数点之间的点所表示的数.
解:点O表示0,点A表示-2,点B表示1,点C表示3,点D表示-4,点E表示-0.5.
10.(1)右 4 (2)左 4 (3)2 4 -4
11.-6 [解析] 在原点的左侧,说明这个数是一个负数,距原点6个单位长度,则这样的点表示的数为-6.
12.-7或-3 [解析] 当该点在表示-5的点的左边时,此时该点表示的数为-7;当该点在表示-5的点的右边时,此时该点表示的数为-3,故答案为-7或-3.
13.解:(1)A,B两点之间的距离是2+3=5.
(2)如图所示,C,D即为所求的点.
14.C
15.C [解析] 原点及两侧都有符合要求的点,它们表示的数分别是-3,-2,-1,0,1,2,3.
16.C [解析] 原点表示的数是0,从原点向右移动2个单位长度,表示的数是2,再向左移动3个单位长度到达终点,这个终点表示的数是-1.
17.D
18.C [解析] ①当线段AB起点在整点时覆盖16个整点;②当线段AB起点不在整点,即在两个整点之间时覆盖15个整点.
19.3
20.-321.解:(1)如图所示.
(2)因为原点取在点B处,所以点B表示0.
因为B,C两点间的距离为1,点C在点B右侧,所以点C表示1.
因为C,D两点间的距离为4,所以B,D两点间的距离为5.因为点D在点B右侧,所以点D表示5.
因为A,C两点间的距离为3,B,C两点间的距离为1,所以A,B两点间的距离为1.因为点A在点B左侧,所以点A表示的数为-1.
所以点A表示的数为-1,点B表示的数为0,点C表示的数为1,点D表示的数为5.
22.[解析] (1)先求出AB的长度,再根据两点间的距离公式即可在数轴上把点B表示出来.
(2)分两种情况:①点C在点A的左边;②点C在点A和点B之间.进行讨论即可求解.
解:(1)因为点O与原点重合,点A表示的数为-4,
所以AO=4.
因为AO+AB=11,
所以AB=7.
因为A,O,B是数轴上从左至右的三个点,
所以点B所表示的数是3.
在数轴上表示点B略.
(2)①当点C在点A的左边时,
CA=7×=7,-4-7=-11,
所以点C表示的数是-11;
②当点C在点A和点B之间时,
CA=7×=,4-=,
所以点C表示的数是-.
故点C表示的数是-11或-.
23.解:(1)以学校为原点,向东为正方向,100米长为单位长度画数轴,如图(数轴的画法不唯一).
(2)200+250=450(米).
答:小明家距离小颖家450米.
(3)250+350+800+200=1600(米).
答:这次家访,老师行走的总路程是1600米.