5．1 一元一次方程
知识点 1 方程和一元一次方程
1．下列方程是一元一次方程的是( )
A.＋2＝3 B.＋4＝3x
C．y2＋3y＝0 D．9x－y＝2
2．如果3xn＋2＝3是一元一次方程，那么n＝________．
知识点 2 方程的解
3．2017·石家庄长安区期末 下列方程中，解为x＝－3的方程是( )
A.x＋1＝0 B．2x－1＝8－x
C．3－3x＝1 D.＋x＝0
4．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝________．
5．在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解．
(1)3x＋1＝x＋5(0，1，2)；(2)－5x＋6＝x－6(2，3，4)．
知识点 3 列方程
6．每瓶A种饮料比每瓶B种饮料的价格少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设A种饮料的单价为x元/瓶，那么下面所列方程正确的是( )
A．2(x－1)＋3x＝13 B．2(x＋1)＋3x＝13
C．2x＋3(x＋1)＝13 D．2x＋3(x－1)＝13
7．已知一个数的比这个数的多11，若设这个数为x，则可列方程为________________．
8．已知长方形运动场的周长为400 m，其长比宽多40 m，这个运动场的长和宽各为多少米？若设宽为x m，则可列方程为________________．
9．一种商品每件的进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件又降价10元，现售价为每件210元．根据题意可列方程为________________．
10．已知(m－3)x|m|－2＝18是关于x的一元一次方程，则( )
A．m＝2 B．m＝－3
C．m＝±3 D．m＝1
11．小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问小明家离学校有多远？设小明家离学校有x千米，那么所列方程正确的是( )
A.＝－10 B.＋＝
C．5x＝4x＋10 D.＋＝
12．我国明代数学家程大位曾提出过这样一个有趣的问题：有一个人赶着一群羊在前面走，另一个人牵着一只羊跟在后面．后面牵羊的人问前面赶羊的人说：“你这群羊有一百只吗？”赶羊的人回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只．”请问这群羊有多少只？设这群羊有x只，列出方程．
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节内容是小学学过的方程知识的延续，是学生在原有的基础上经历将实际问题转化为数学问题的过程，感受“数学建模”的方法，了解一元一次方程的概念，为下面解一元一次方程与用一元一次方程解决实际问题作铺垫，对本章知识的学习起到提纲挈领的作用
教 学 目 标 知识与技能 1.通过由“等式”确定问题的答案，了解方程的意义和作用． 2.了解一元一次方程和它的解
过程与方法 初步感受方程模型，从中体会如何建立一元一次方程
情感、度 与价值观 感受数学的实际价值，从中发现事物发展变化的规律，培养学生的科学态度
教学重 点难点 重点 一元一次方程和它的解的定义
难点 由“问题”构建方程模型
易错点 忽视一元一次方程的概念致误
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 回忆我们小学学过的“什么是方程？什么是方程的解与解方程？” [答案] 略
活动2 想一想 “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”这是出自我国古代的著名数学著作《孙子算经》上的问题．《孙子算经》给出了简捷而又巧妙的解法，这样的问题我们可以通过方程来解决吗？下面我们就来学习方程的有关知识
【详解详析】
1．B [解析] A项，分母中含有未知数，不是整式，不是一元一次方程；B项，化简以后是3x－7＝0，符合一元一次方程的概念；C项，未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程；D项，含有两个未知数，不是一元一次方程．
2．－1 [解析] 由一元一次方程的定义可知n＋2＝1，所以n＝－1.
3．A [解析] 把x＝－3分别代入各选项中的方程，只有A选项中方程左右两边的值相等．故选A.
4．－1 [解析] 把x＝3代入方程，得6－10＝4a，解得a＝－1.
5．解：(1)将x＝0代入方程：左边＝3×0＋1＝1，右边＝0＋5＝5，1≠5，所以x＝0不是该方程的解；
将x＝1代入方程：左边＝3×1＋1＝4，右边＝1＋5＝6，4≠6，所以x＝1不是该方程的解；
将x＝2代入方程：左边＝3×2＋1＝7，右边＝2＋5＝7，7＝7，所以x＝2是该方程的解．
(2)将x＝2代入方程：左边＝－5×2＋6＝－4，右边＝－4，－4＝－4，所以x＝2是该方程的解；
将x＝3代入方程：左边＝－5×3＋6＝－9，右边＝－3，－9≠－3，所以x＝3不是该方程的解；
将x＝4代入方程：左边＝－5×4＋6＝－14，右边＝－2，－14≠－2，所以x＝4不是该方程的解．
6．C [解析] A种饮料的单价为x元/瓶，则B种饮料的单价为(x＋1)元/瓶，
根据小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，
可得方程为2x＋3(x＋1)＝13.故选C.
7.x－x＝11 [解析] 抓住题目中的关键词“多”来表示出各个量之间的等量关系．
8．2x＋2(x＋40)＝400 [解析] 因为宽为x m，所以长为(x＋40)m，可列方程2x＋2(x＋40)＝400.
9．1.1a－10＝210 [解析] 根据题意可得：进价×1.1－降价＝售价，根据等量关系列出方程1.1a－10＝210.
10．B [解析] 已知(m－3)x|m|－2＝18是关于x的一元一次方程，则|m|－2＝1，解得m＝±3.又因为系数不为0，所以m≠3，则m＝－3.故选B.
11．B [解析] 设小明家离学校x千米，那么小明早晨上学所用的时间为小时，回家所用的时间为小时，根据“回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟”得出等量关系：回家所用的时间＝上学所用的时间＋小时，由此列出方程得＋＝.
12．解：x＋x＋x＋x＋1＝100.第2课时 解含有括号和分母的一元一次方程
知识点 1 去括号解一元一次方程
1．解方程2x－3(4－2x)＝4时，
去括号，得____________＝4；
移项，得2x＋________＝4＋________；
合并同类项，得________＝________；
未知数的系数化为1，得________．
2．解方程3－5(x＋2)＝x时，去括号正确的是( )
A．3－x＋2＝x B．3－5x－10＝x
C．3－5x＋10＝x D．3－x－2＝x
3．方程3－2(x－5)＝9的解是( )
A．x＝－2 B．x＝2
C．x＝ D．x＝1
4．若2(a＋3)的值与4互为相反数，则a的值为( )
A．－1 B．－ C．－5 D.
5．当a＝________时，方程(a－1)x＝2x－4的解为x＝3.
6．解方程：(1)5x＋2＝3(x＋2)；
(2)4－3(x－1)＝x＋12；
(3)2(3x＋4)－3(x－1)＝3.
知识点 2 去分母解一元一次方程
7．解方程－1＝时，为了去分母应将方程两边同乘( )
A．10 B．12 C．24 D．6
8．在解方程－＝1时，去分母正确的是( )
A．3(x－1)－2(2x＋3)＝6
B．3(x－1)－2(2x＋3)＝1
C．3x－1－4x＋3＝6
D．3x－1－4x－3＝6
9．教材习题A组第2题变式 将方程－＝1去分母，得到6x－3－2x－2＝6，错在( )
A．最简公分母找错
B．去分母时，漏乘出错
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数不同
10．在学习了一元一次方程的解法后，小李独立完成了解方程：＝1－，具体步骤如下：
解：去分母，得2(3x－1)＝1－4x－1.(1)
去括号，得6x－1＝1－4x－1.(2)
移项，得6x－4x＝1－1＋1.(3)
合并同类项，得2x＝1.(4)
两边同乘，得x＝.(5)
小李在解题过程中开始出现错误的步骤是( )
A．(2) B．(1)
C．(3) D．(4)
11．方程－＝5的解是( )
A．x＝5 B．x＝－5
C．x＝7 D．x＝－7
12．当x＝________时，代数式减去x－4所得的差为5.
13．解方程：(1)＝；
(2)＝2－；
(3)7－＝－3x；
(4)－＝.
14．当x为何值时，代数式与的差是1
15．下列解方程步骤正确的是( )
A．由2x＋4＝3x＋1，得2x＋3x＝1＋4
B．由7(x－1)＝2(x＋3)，得7x－1＝2x＋3
C．由0.5x－0.7＝5－1.3x，得5x－7＝5－13x
D．由－＝2，得2x－2－x－2＝12
16．解方程＝7，较为简便的是( )
A．先去分母 B．先去括号
C．先两边都除以 D．先两边都乘
17．若方程＝4(x－1)的解为x＝3，则a的值为( )
A．－2 B．10 C．－22 D．2
18．某同学在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得方程的解为x＝2，则a的值为________，原方程的解为________．
19．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算＝ad－bc，则满足等式
＝1的x的值为________．
20．解下列方程：
(1)＝x－；
(2)－＝1.
21．已知－＝－1，求代数式的值．
22．已知关于x的方程＝x＋与＝3x－2的解互为倒数，求m的值．
23．已知方程－＝是关于x的一元一次方程．
(1)当方程有解时，求k的取值范围；
(2)当k取什么值时，方程的解是正整数．
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课内容是在学生学习了用移项、合并同类项、系数化为1等变形解一元一次方程的基础上进行教学的，它是今后学习解较复杂方程的基础，是系统学习方程的开始．通过本节课的学习，引导学生掌握含括号的一元一次方程的解题步骤，为今后解复杂的一元一次方程打下坚实的基础
教 学 目 标 知识与技能 会用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等方法解一元一次方程
过程与方法 经历探索用去分母、去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，并弄清每一步变形的依据
情感、度 与价值观 初步掌握解方程的基本步骤，培养学生的概括能力和耐心、细致的学习态度
教学重 点难点 重点 去分母、去括号的过程；解含括号的一元一次方程的步骤
难点 正确进行去分母变形及掌握数与多项式相乘
易错点 括号前是负号时，去括号忘记变号；去分母时漏乘常数项；忽视分数线的括号作用
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 去括号，合并同类项： (1)2x－(x＋10)＝__x－10__； (2)5x＋2(x－1)＝__7x－2__
活动2 想一想 上一节我们已经学了不含括号的方程的解法，对于2(x＋2)＝x＋2这样的方程我们该怎样求解呢？如果将其变形成上一节的不含括号的方程就好解了，那么怎样将括号去掉呢？能借助我们前面学过的去括号法则来解决吗？ [答案] 略
【详解详析】
1．2x－12＋6x 6x 12 8x 16 x＝2
2．B
3．B [解析] 去括号，得3－2x＋10＝9，移项、合并同类项，得－2x＝－4，系数化为1，得x＝2.
4．C [解析] 因为2(a＋3)的值与4互为相反数，所以2(a＋3)＋4＝0，所以a＝－5.
5.
6．解：(1)去括号，得5x＋2＝3x＋6.
移项、合并同类项，得2x＝4.
系数化为1，得x＝2.
(2)去括号，得4－3x＋3＝x＋12.
移项，得－3x－x＝12－4－3.
合并同类项，得－4x＝5.
系数化为1，得x＝－.
(3)去括号，得6x＋8－3x＋3＝3，
移项，得6x－3x＝3－8－3，
合并同类项，得3x＝－8，
系数化为1，得x＝－.
7．B
8．A [解析] 方程两边都乘以6即可去掉分母．
9．C 10.B
11．D [解析] 去分母，得4(2－x)－3(x－1)＝60.去括号，得8－4x－3x＋3＝60.移项、合并同类项，得－7x＝49.系数化为1，得x＝－7.
12. [解析] －(x－4)＝5，解得x＝.
13．解：(1)去分母，得3(5－3x)＝2(3－5x)．
去括号，得15－9x＝6－10x.
移项、合并同类项，得x＝－9.
(2)去分母，得2(2x＋1)＝20－5(4x＋3)．
去括号，得4x＋2＝20－20x－15.
移项，合并同类项，得24x＝3.系数化为1，得x＝.
(3)去分母，得70－5(x＋5)＝2(2－x)－30x.
去括号，得70－5x－25＝4－2x－30x.
化简，得45－5x＝4－32x.
移项，得32x－5x＝4－45.
合并同类项，得27x＝－41.
系数化为1，得x＝－.
(4)去分母，得2(x－1)－(x＋2)＝3(4－x)．
去括号，得2x－2－x－2＝12－3x.
移项、合并同类项，得4x＝16.
系数化为1，得x＝4.
14．解：由已知可列方程
－＝1，
3(x－1)－2(2x＋1)＝12，
3x－3－4x－2＝12，
x＝－17.
15．D [解析] A项，移项没有变号，错误；B项，去括号时漏乘常数项，错误；C项，方程变形时5漏乘了，错误；D项，正确．
16．B [解析] 考虑到×＝1，故采用先去括号的方法较为简便．故选B.
17．B [解析] 把x＝3代入方程，得＝4×(3－1)，解得a＝10.故选B.
18．2 x＝0 [解析] 把x＝2代入2x－1＝x＋a－1，得a＝2，
所以原方程为＝－1.去分母，得2x－1＝x＋2－3，移项、合并同类项得x＝0.
19．－10 [解析] 根据题意，得－＝1，去分母，得3x－4(x＋1)＝6，去括号，得3x－4x－4＝6，移项，得3x－4x＝6＋4，合并同类项，得－x＝10，系数化为1，得x＝－10.
20．解：(1)去分母，得12(x＋3)＝45x－20(x－7)，
去括号，得12x＋36＝45x－20x＋140，
移项、合并同类项，得－13x＝104，
系数化为1，得x＝－8.
(2)化简，得5x－＝1，
去分母，得15x－(17－20x)＝3，
去括号，得15x－17＋20x＝3，
移项，得15x＋20x＝3＋17，
合并同类项，得35x＝20，
系数化为1，得x＝.
21．解：去分母，得2(3a－1)－5(1＋a)＝－10，
去括号，得6a－2－5－5a＝－10，
移项、合并同类项，得a＝－3.
把a＝－3代入，得＝.
22．解：＝3x－2，
去分母，得x＋2＝3(3x－2)，
去括号，得x＋2＝9x－6，
移项并合并同类项，得－8x＝－8，
系数化为1，得x＝1，
与1互为倒数的数仍为1.
则方程＝x＋即为＝1＋，
去分母，得3(1－m)＝6＋2m，
去括号，得3－3m＝6＋2m，
移项并合并同类项，得－5m＝3，
系数化为1，得m＝－.
23．解：(1)将方程－＝去分母，得x－4－2(kx－1)＝2，去括号，得x－4－
2kx＋2＝2，移项、合并同类项，得(1－2k)x＝4.因为方程有解，所以1－2k≠0，所以k≠.
(2)因为这个方程的解是正整数，即x＝是正整数，所以1－2k可以为1，2，4中的任意一个．当1－2k＝1时，k＝0；当1－2k＝2时，k＝－；当1－2k＝4时，k＝－.
即当k取0，－或－时，方程的解是正整数5.4 第1课时 和差倍分问题
知识点 和差倍分问题
1．书架上，第一层书的数量是第二层书的数量的2倍，从第一层抽8本到第二层，这时第一层剩下的书的数量恰比第二层的一半多3本，设第二层原有x本书，则可列方程( )
A．2x＝x＋3
B．2x＝(x＋8)＋3
C．2x－8＝x＋3
D．2x－8＝(x＋8)＋3
2．某市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”，每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分比农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小粮仓农户实际出资是( )
A．80元 B．95元 C．135元 D．270元
3．2018·湖北 某公司积极开展“爱心扶贫”的公益活动，现准备将6000件生活物资发往A，B两个贫困地区，其中发往A区的物资比发往B区的物资的1.5倍少1000件，则发往A区的生活物资为__________件．
4．2017·荆门 已知妈妈和派派今年共36岁，再过5年，妈妈的年龄比派派年龄的4倍还大1岁，当妈妈40岁时，派派的年龄为________岁．
5．为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．已知七年级(1)班在8场比赛中得到13分，则七年级(1)班胜、负场数分别是多少？
6．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现调20人去支援，使甲处人数为乙处人数的2倍，应往甲、乙两处各调多少人？
7．2018·镇江 小李读一本名著，第一天读了36页，第二天读了剩余部分的，这两天共读了整本书的，则这本名著共有多少页？
8．食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克．已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，则A，B两种饮料各生产了多少瓶？
9．甲、乙、丙三辆卡车所运货物的质量之比为6∶7∶4.5，已知甲车比乙车少运货物12吨，则三辆卡车共运货物( )
A．120吨 B．130吨 C．210吨 D．150吨
10．图5－4－1是某月的月历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是( )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
图5－4－1
A．24 B．43 C．57 D．69
11．埃及《纸草书》中记载：“一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33”．设这个数是x，可列方程为____________．
12．图5－4－2是一根可伸缩的鱼竿的示意图，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度为第1节套管的长度(如图①所示)；使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)．图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.
(1)请直接写出第5节套管的长度；
(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm，求x的值．
图5－4－2
13．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成．硬纸板以如图5－4－3所示的两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．
A方法：剪6个侧面；
B方法：剪4个侧面和5个底面．
图5－4－3
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．以方程为工具分析问题、解决问题(即建立方程模型)是全章的重点，同时也是难点
教 学 目 标 知识与技能 1.能根据具体问题中的各种数量关系，正确地列出一元一次方程． 2.进一步学习用方程解决实际问题的基本步骤(审、设、找、列、解、答)． 3.掌握和差倍分等问题中的基本量之间的关系及分析较复杂实际问题数量关系时的常用方法
过程与方法 1.能运用生活经验和社会实践对有关数学信息进行归纳与类比． 2.结合具体情境发现和解决数学问题
情感、度 与价值观 在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，增强学生敢于面对挑战的信心
教学重 点难点 重点 和差倍分问题中的等量关系
难点 恰当地设未知数，找出问题中的相等关系
易错点 找不准相等关系或不知道要找怎样的相等关系
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1.什么叫代数式？什么叫等式？ 2.等式与方程之间有哪些关系？代数式与方程的区别是什么？ [答案] 1.略． 2.等式包括方程，方程一定是等式，等式不一定是方程；代数式不用等号连接，方程用等号连接
活动2 想一想 学校食堂有一大一小两个餐厅，一共可以容纳1050人就餐，大餐厅比小餐厅能多容纳150人，从中你可以得到哪些信息？ 你能算一算大、小餐厅各能容纳多少人就餐吗？ [答案] 学校有两个餐厅，共可容纳1050名学生就餐，大餐厅比小餐厅可多容纳150人． 大餐厅容纳600人，小餐厅容纳450人
【详解详析】
1．D [解析] 若设第二层原有x本书，则第一层有2x本书，第一层本数－8本＝(第二层本数＋8本)＋3本．
2．A
3．3200 [解析] 设发往B区的生活物资为x件，则发往A区的生活物资为(1.5x－1000)件．根据题意，得x＋1.5x－1000＝6000，解得x＝2800，
所以1.5x－1000＝3200.
答：发往A区的生活物资为3200件．
4．12 [解析] 设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为(36－x)岁．根据题意，得
36－x＋5＝4(x＋5)＋1. 解得x＝4. 所以36－x－x＝28，所以40－28＝12(岁)．故答案为12.
5．解：设七年级(1)班胜了x场，则负了(8－x)场．根据题意，得2x＋1·(8－x)＝13，
解得x＝5，则8－5＝3.
答：七年级(1)班胜了5场，负了3场．
6．解：设从20人中调往甲处x人，那么调往乙处(20－x)人．
由题意，得27＋x＝2×[19＋(20－x)]，
解得x＝17.
当x＝17时，20－x＝20－17＝3.
答：应调往甲处17人，乙处3人．
7．解：设这本名著共有x页．
根据题意，得36＋(x－36)＝x，
解得x＝216.
答：这本名著共有216页．
8．解：设A种饮料生产了x瓶，则B种饮料生产了(100－x)瓶．
根据题意，得2x＋3(100－x)＝270.
解得x＝30，则100－x＝100－30＝70.
答：A种饮料生产了30瓶，B种饮料生产了70瓶．
9．C [解析] 设甲、乙、丙三辆卡车所运货物的质量分别为6x吨，7x吨，4.5x吨．
根据题意，得7x－6x＝12，解得x＝12.所以6x＋7x＋4.5x＝17.5x＝17.5×12＝210.
10．B [解析] 若圈出的是一横行，则相邻的数相差1，设中间的数是x，那么其他的两个数是x－1，x＋1.即三个数的和是3x；若圈出的是一竖行，则相邻的数相差7，设中间的数是x，那么其他的两个数是x－7，x＋7.即三个数的和是3x.故三个数的和应是3的倍数，答案中只有B不符合．
11.x＋x＋x＋x＝33
12．解：(1)第5节套管的长度为50－4×(5－1)＝34(cm)．
(2)第10节套管的长度为50－4×(10－1)＝14(cm)．
因为每相邻两节套管间重叠部分的长度为x cm，
所以可得(50＋46＋42＋…＋14)－9x＝311，即320－9x＝311，解得x＝1.
13．解：(1)裁剪出的侧面个数为6x＋4(19－x)＝2x＋76，
裁剪出的底面个数为5(19－x)＝－5x＋95.
(2)由题意，得＝，解得x＝7.
当x＝7时，＝30.
答：能做30个盒子．
时，方程的解是正整数5.3 第1课时 通过移项和合并同类项解一元一次方程
知识点 通过移项和合并同类项解方程
1．解方程3x＋1＝－2x＋11时，
移项，得3x________＝11________；
合并同类项，得____________；
未知数的系数化为1，得________．
2．方程－x－3x＝－1的解为( )
A．x＝－3 B．x＝－
C．x＝3 D．x＝
3．方程4x－2＝3－x的解答过程是( )
①合并同类项，得5x＝5；②移项，得4x＋x＝3＋2；③系数化为1，得x＝1.
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．③①②
4．用“△”表示一种运算符号，其意义是a△b＝2a－b，若x△(－1)＝2，则x等于( )
A．1 B. C. D．2
5．若代数式x－5与2x－1的值相等，则x的值是______．
6．写出一个满足下列条件的一元一次方程：(1)未知数x的系数是－；(2)方程的解是
x＝3.这样的方程可写为____________．
7．解下列方程：
(1)5x＝2x－6; (2)3＝1－x；
(3)8x－2＝7x－5；
(4)10y＋7＝12y＋5－3y.
8．某同学在解方程5x－1＝■x＋3时，把■处的数看错了，解得x＝－，则该同学把■处的数看成了( )
A．3 B．－ C．－8 D．8
9．若－2x2m＋1y6与x3m－1y10＋4n是同类项，则m，n的值分别为( )
A．2，－1 B．－2，1
C．－1，2 D．－2，－1
10．若2x＋1＝8，则4x＋1的值为( )
A．15 B．16 C．17 D．19
11．对有理数a，b，规定运算※的意义是a※b＝a＋2b，则方程3x※x＝2－x的解是________．
12．已知关于x的方程3a－x＝＋3的解为x＝2，则代数式a2－2a＋1的值是________．
13．如果方程2x＋1＝3的解也是方程2－＝0的解，求a的值．
14．已知关于x的一元一次方程kx－4＝0的解为整数，求整数k的取值．
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课内容是在学生认识了等式和方程的基础上进行教学的，它是今后学习解多步方程的基础，是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型．通过本节课的学习，引导学生利用等式的两个基本性质及移项解简单的方程，为今后运用等式的基本性质解较复杂的方程打下基础
教 学 目 标 知识与技能 会应用移项和合并同类项法则解一些简单的一元一次方程，进一步探索方程的解法
过程与方法 1.了解等式的基本性质在解方程中的作用． 2.进一步认识解方程的基本变形，感悟解方程过程中的转化思想
情感、度 与价值观 1.初步体会转化这一数学思想． 2.体会在解决问题的过程中，同学间的相互合作与交流的重要性
教学重 点难点 重点 用移项和合并同类项解一元一次方程
难点 会用转化思想分析和解决实际问题
易错点 移项时忘记变号；不会合并同类项或不会有理数的加减运算
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1.等式的基本性质是什么？ 2.什么叫移项？ 3.合并同类项法则是什么？ [答案] 1.等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式，结果仍是等式；等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0)，结果仍是等式． 2.在解方程的过程中，等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从等号的一边移到另一边．这种变形过程叫做移项． 3.系数相加结果作系数，字母与字母的指数保持不变
活动2 想一想 你能把下列方程化成形如ax＝b(a，b为已知数，且a≠0)的形式吗？ (1)5＋2x＝1； (2)8－x＝3x＋2. [答案] 能．(1)2x＝－4；(2)－4x＝－6
【详解详析】
1．＋2x －1 5x＝10 x＝2
2．B [解析] 合并同类项，得－x＝，系数化为1，得x＝－.
3．C
4．B [解析] 根据题中的新定义得x△(－1)＝2x＋1，故2x＋1＝2，解得x＝.
5．－4 [解析] 根据题意，得x－5＝2x－1，解得x＝－4.
6．－x＝－(答案不唯一)
7．解：(1)移项，得5x－2x＝－6.
合并同类项，得3x＝－6.
将x的系数化为1，得x＝－2.
(2)移项，得x＝1－3.
合并同类项，得x＝－2.
(3)移项，得8x－7x＝－5＋2.
合并同类项，得x＝－3.
(4)移项，得10y－12y＋3y＝5－7.
合并同类项，得y＝－2.
[点评] 注意在移项的过程中，一定要改变符号，并把含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边．
8．D
9．A [解析] 因为－2x2m＋1y6与x3m－1y10＋4n是同类项，所以2m＋1＝3m－1，10＋4n＝6，解得m＝2，n＝－1.
10．A [解析] 解方程2x＋1＝8，得x＝.把x的值代入4x＋1，得4x＋1＝15.
11．x＝ [解析] 由题意，得3x※x＝3x＋2x＝2－x，移项，得3x＋2x＋x＝2，合并同类项，得6x＝2，系数化为1，得x＝.
12．1 [解析] 因为关于x的方程3a－x＝＋3的解为x＝2，所以3a－2＝＋3，解得
a＝2，所以a2－2a＋1＝4－4＋1＝1.
13．解：解方程2x＋1＝3，得x＝1.
把x＝1代入2－＝0，解得a＝7.
14．解：由题意，知k≠0，则由kx－4＝0，得x＝.因为原方程的解为整数，所以4能被整数k整除，所以k为±1，±2，±4都满足题意，即k的可能取值为±1，±2，±4.5．2 等式的基本性质
知识点 1 等式的基本性质
1．下列等式变形中，错误的是( )
A．由a＝b，得a＋5＝b＋5
B．由a＝b，得＝
C．由x＋2＝y＋2，得x＝y
D．由－3x＝－3y，得x＝－y
2．教材习题第1题变式 如果ma＝mb，那么下列等式中不一定成立的是( )
A．ma＋1＝mb＋1 B．ma－2＝mb－2
C．－2ma＝－2mb D．a＝b
3．下列等式变形中，正确的是( )
A．若x＝y，则＝
B．若a＝b，则a－3＝3－b
C．若2πr1＝2πr2，则r1＝r2
D．若＝，则a＝c
4．如图5－2－1所示，从天平的左盘上的两个物品中取下一个，右盘取下______个砝码才能使天平仍然平衡．
图5－2－1
知识点 2 利用等式的基本性质解方程
5．下列利用等式的基本性质解方程中，正确的是( )
A．由x－5＝6，得x＝1
B．由5x＝6，得x＝
C．由－5x＝10，得x＝2
D．由x＋3＝4，得x＝1
6．由2x－1＝0得到x＝，可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步：根据等式的基本性质________，等式两边____________，得到2x＝1.
第二步：根据等式的基本性质________，等式两边____________，得到x＝.
7．利用等式的基本性质解下列方程：
(1)2x＋5＝11；
(2)x－2＝7；
(3)x－1＝5；
(4)6x＝2x－20；
(5) －x＝x＋3.
知识点 3 移项
8．下列方程中的移项错误的有( )
①由x－3＝12，得x＝12－3；②由3x＝－2x－2，得3x＋2x＝2；③由6－3x＝4x，得－3x－4x＝6；④由9－5x＝6＋4x，得9－6＝5x＋4x.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．(1)将5x＝x＋1移项，得5x________x＝1；
(2)将3x－7＝2x移项，得3x________2x＝________；
(3)方程3x＋5＝2x－4移项后得3x＋______＝－4＋________．
10．用移项法解方程：
(1)4x－2＝3－x；
(2)2x－＝－x＋2.
11．下列变形正确的是( )
A．如果am＝bn，那么a＝b
B．如果(m＋1)x＝m＋1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x－5＝5－y
D．如果(a2＋1)x＝1，那么x＝
12．2017·武汉武昌区期末 已知a＝2b－1，有下列式子：①a＋2＝2b＋1；②＝b；③3a＝6b－1；④a－2b－1＝0，其中一定成立的有( )
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
13．“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图5－2－2所示，天平①②保持平衡．如果要使天平③也平衡，那么应在天平③的右端放________个“■”．
图5－2－2
14．将等式5a－3b＝4a－3b变形，过程如下：
因为5a－3b＝4a－3b，
所以5a＝4a(第一步)，
所以5＝4(第二步)．
上述过程中，第一步的依据是____________________________________，
第二步得出错误的结论，其原因是_____________________________________．
15．已知m－1＝n，试用等式的基本性质比较m与n的大小．
16．已知方程3a－4x＝12是关于x的一元一次方程，粗心的马小虎同学在解这个方程时将－4x看成了＋4x，因而求得方程的解为x＝2.请你帮马小虎同学求出原方程的解．
17．能不能由(a＋3)x＝b－1得到x＝，为什么？反之，能不能由x＝得到等式(a＋3)x＝b－1，为什么？
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节是对上课时理解方程定义知识的拓展．等式的基本性质介于一元一次方程的概念和解方程之间，是今后解决方程及不等式等知识学习的基础，教材中对本节内容的编写形象地用到了类比天平的性质
教 学 目 标 知识与技能 1.通过天平的平衡来理解等式的基本性质． 2.会用等式的基本性质进行方程的变形，进而求解
过程与方法 运用等式的基本性质对方程进行变形，初步悉知解一元一次方程的方法步骤
情感、度 与价值观 激发学生的学习兴趣，培养类比的数学思想
教学重 点难点 重点 等式的基本性质的应用
难点 用等式的基本性质解方程
易错点 等式的基本性质2中，忽视等式两边同除以的数不能为0；等式变形过程中移项不变号
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 判断下列方程是不是一元一次方程，若不是，请说明理由． (1)2＋x＝5；(2)x＋y＝2；(3)x2＋y＝5；(4)x＋x2＝3； (5)x2－3＝2；(6)3x－2x＝3. [答案] 由一元一次方程的概念可知，(1)(6)是一元一次方程，其他都不是．理由略
活动2 想一想 在天平的两边各放入大小相同、质量相等、数量一样的小玻璃球，天平能平衡吗？若在两边再各放入同样的2个小玻璃球，天平还平衡吗？若在两边分别拿出3个小玻璃球呢？ [答案] 平衡；平衡；平衡
【详解详析】
1．D [解析] 在选项D中，等式的两边除以的不是同一个数，故不成立．故选D.
2．D 3.C 4.3 5.D
6．1 都加上1 2 都除以2
7．解：(1)两边都减去5，
得2x＋5－5＝11－5，
即2x＝6.两边同除以2，得x＝3.
(2)两边都加上2，
得x－2＋2＝7＋2.
化简，得x＝9.两边同乘3，得x＝27.
(3)两边都加上1，得x＝6.
两边同除以，得x＝9.
(4)两边都减去2x，得
6x－2x＝2x－2x－20.
化简，得4x＝－20.
两边都除以4，得x＝－5.
(5)两边都加上－x，
得－x－x＝x＋3－x.
整理，得－x＝3.
两边同乘－，得x＝－.
8．C [解析] ①中－3移项未变号，错误．②中－2不用变号，错误．③中6移项未变号，错误．④正确．错误的有3个．故选C.
9．(1)－ (2)－ 7
(3)(－2x) (－5)
10．解：(1)移项，得4x＋x＝3＋2，得5x＝5，
方程两边同时除以5，得x＝1.
(2)移项，得2x＋x＝2＋，得x＝，
方程两边同时除以，得x＝1.
11．D [解析] 选项A中，左右的变形不一致，只有m，n相等且m，n都不为0时才成立；选项B中，相当于等式左右两边同除以m＋1，但是题目没有说明m＋1是不是0，故选项B不一定成立；选项C中，只有x＝y＝5时才成立，除此之外都不成立；选项D中左右两端同除以a2＋1，由于a2＋1一定是正数，所以根据等式的基本性质2是正确的．
12．A [解析] ①因为a＝2b－1，所以a＋2＝2b－1＋2，即a＋2＝2b＋1，故①正确；②因为a＝2b－1，所以a＋1＝2b，所以＝b，故②正确；③因为a＝2b－1，所以3a＝
6b－3，故③错误；④因为a＝2b－1，所以a－2b＋1＝0，故④错误．所以①②成立．
故选A.
13．5
14．等式的基本性质1 忽略了a可能等于0
[解析] 在利用等式的基本性质2时，一定要注意同时除以的数不能为0，特别要警惕那些以字母形式出现或表面上不是0而实际上是0的数．
15．解：等式两边同时乘4，得3m－4＝3n.
整理，得3(m－n)＝4.
等式两边同除以3，得m－n＝，
所以m－n>0，即m>n.
16．[解析] 由题意可知，看错后的方程是3a＋4x＝12，此方程的解为x＝2，将解代入看错后的方程求出a的值，再将a的值代入原方程即可求出原方程的解．
解：根据题意，知x＝2是方程3a＋4x＝12的解，所以3a＋4×2＝12，解得a＝.
把a＝代入原方程，得4－4x＝12，解得x＝－2.
17．解：由(a＋3)x＝b－1不能得到x＝.
理由：当a＝－3时，a＋3＝0，0不能作除数．
而由x＝可以得到等式(a＋3)x＝b－1.
理由：根据等式的基本性质2，方程的两边同时乘(a＋3)，结果仍然是等式．第4课时 追及与形积变化问题
知识点 1 追及问题
1．甲、乙两人练习短距离赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米．如果甲让乙先跑5米，那么甲追上乙需( )
A．15秒 B．13秒 C．10秒 D．9秒
2．A，B两地间的路程为450千米，一列慢车每小时行驶60千米，一列快车每小时行驶90千米．若两车同时分别从A，B两地开出，相向而行，则________小时后相遇；若慢车从A地先开出1小时，快车再从A地同向开出，则快车经过________小时可追上慢车．
3．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步，走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么所列方程是______________________．
4．甲上午6时步行从A地匀速出发，于下午5时到达B地，乙上午10时骑自行车从A地匀速出发，于下午3时到达B地，则乙在什么时间追上甲？
知识点 2 等积变形问题
5．教材习题A组第1题变式 根据图5－4－5中给出的信息，可列出的方程是( )
图5－4－5
A．π×＝π××(x＋5)
B．π×＝π××(x－5)
C．π×82x＝π×62×(x＋5)
D．π×82x＝π×62×5
6．现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30 cm，底面的长是25 cm，宽是20 cm.水箱里盛有深为a cm(0
A.a cm B.a cm
C．(a＋2)cm D. cm
7．将一个底面积为35 cm2，高为20 cm的金属圆柱熔铸成一个底面长8 cm，宽5 cm的长方体，求该长方体的高．这个问题的等量关系是__________________，如果设长方体的高是x cm，则可列方程为________________．
8．某钢铁厂要铸造长、宽、高分别为260 mm，150 mm，130 mm的长方体毛坯，需要截取横截面积为130 cm2的方钢多长？
9．如图5－4－6所示，将一个底面直径是10 cm，高为36 cm的“瘦长”形圆柱压成底面直径为20 cm的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
图5－4－6
10．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．现小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，倒水过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5.若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为( )
底面积(厘米2)
甲杯 60
乙杯 80
丙杯 100
A.5.4厘米 B．5.7厘米
C．7.2厘米 D．7.5厘米
11．一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑行550米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地出发．
(1)若两人背向而行，则他们经过多长时间首次相遇？
(2)若两人同向而行，则他们经过多长时间首次相遇？
12．一个车队共有n(n为正整数)辆小轿车，正以每小时36千米的速度在一条笔直的街道上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为5.4米，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头到最后一辆的车尾经过自己身边共用了20秒的时间，假设每辆车的车长均为4.87米．
(1)求n的值；
(2)若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为v米/秒，当车队的第一辆车的车头从他身边经过了15秒钟时，为了躲避一只小狗，他突然以3v米/秒的速度向前跑，这样从第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过他身边共用了35秒，求v的值．
13．如图5－4－7，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2，100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲的容积是__________．
图5－4－7
14．运动会前夕，爸爸骑自行车陪小明在400 m的环形跑道上训练，他们在同一地点沿着同一方向同时出发．
图5－4－8
(1)请根据他们的对话内容，求出小明和爸爸的速度；
(2)爸爸追上小明后，在第二次相遇前，再经过________min，小明和爸爸在跑道上相距50 m.
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．以方程为工具分析问题、解决问题(即建立方程模型)是全章的重点，同时也是难点．本课主要讲解追及与等积变形问题，这部分内容是一元一次方程应用的延伸与拓广，同时也为后继学习二元一次方程组埋下伏笔
教 学 目 标 知识与技能 1.能根据具体问题中的各种数量关系，正确地列出一元一次方程． 2.进一步学习用方程解决实际问题的基本步骤(审、设、找、列、解、答)． 3.掌握追及与形积变化问题中的基本量之间的关系及分析较复杂实际问题数量关系时的常用方法
过程与方法 1.能运用生活经验和社会实践对有关数学信息进行归纳与类比． 2.结合具体情境发现和解决数学问题
情感、度 与价值观 在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，增强学生敢于面对挑战的信心
教学重 点难点 重点 将实际问题转化为数学问题(方程)
难点 恰当地设未知数，找出问题中的相等关系
易错点 抓不准相等关系或不知道要抓怎样的相等关系
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 某地电话拨号入网有两种收费方式：(A)计时制：0.05元/分；(B)包月制：50元．此外，每种另加收通信费0.02元/分． (1)某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应支付的费用的代数式； (2)用户一个月上网时间为多少小时时，两种计费方式收费相同？ [答案] (1)A：0.05×60x＋0.02×60x＝4.2x(元)， B：50＋0.02×60x＝(50＋1.2x)元． (2)当两种计费方式收费相同时，有4.2x＝50＋1.2x. 解得x＝.因此用户每个月上网小时时，两种计费方式收费相同
活动2 想一想 大家小时候玩过橡皮泥吗？(展示准备好的模型)这是用橡皮泥捏成的高为10厘米的圆柱，现在要将它改捏成高为3厘米的圆柱，但不能剩余橡皮泥，哪名同学愿意试试(不要求很准确)？你能描述一下它的外形变化吗？在这个过程中，圆柱的体积是否发生变化？在工业上，许多零件的制造都运用了这个原理，称为“锻压”
【详解详析】
1．C
2．3 2 [解析] 相遇：快车行驶的路程＋慢车行驶的路程＝450千米；追及：快车行驶的路程－慢车行驶的路程＝60千米．
3．x＝＋100 [解析] 根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步可得走路快的人与走路慢的人的速度比为100∶60，利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程x＝＋100.
4．解：设乙出发x小时后追上甲，A，B间的距离是a.
根据题意，得(x＋4)×＝x·，解得x＝3.
－12＝1(时)＝1小时20分．
答：乙在下午1时20分追上甲．
5．C [解析] 设大量筒中水位高度为x cm，则小量筒中水位高度为(x＋5)cm.根据题意，得π×x＝π××(x＋5)．变形，得π×82x＝π×62×(x＋5)．故选C.
6．B [解析] 水箱的容量为30×25×20＝15000(cm3)，水深为a cm时，水的体积为
a×25×20＝500a(cm3)，棱长为10 cm的立方体铁块的体积为10×10×10＝1000(cm3)．因为07．圆柱的体积＝长方体的体积 35×20＝8×5×x
8．解：设需要截取横截面积为130 cm2的方钢x mm.
130 cm2＝13000 mm2.
由题意，得13000x＝260×150×130，
解得x＝390.
答：需要截取横截面积为130 cm2的方钢390 mm.
9．解：设高变成了x cm.根据题意，得
π×(10÷2)2×36＝π×(20÷2)2×x，解得x＝9.
答：高变成了9 cm.
10．C [解析] 设后来甲、乙、丙三杯内水的高度分别为3x厘米，4x厘米，5x厘米．根据题意，得60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x，解得x＝2.4，则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2(厘米)．故选C.
11．解：(1)设两人背向而行，经过x分钟首次相遇，则550x＋250x＝400，解得x＝.
故他们经过分钟首次相遇．
(2)设两人同向而行，经过y分钟首次相遇，
则550y－250y＝400，解得y＝.
故他们经过分钟首次相遇．
12．解：(1)36千米/时＝10米/秒，
则4.87n＋5.4(n－1)＝20×10，
解得n＝20.
(2)车队总长度20×4.87＋5.4×19＝200(米)．
由题意得(10－v)×15＋(10－3v)×(35－15)＝200，解得v＝2.
13．3200 cm3 [解析] 设甲的容积为x cm3，则甲的水位高度为 cm，乙的水位高度为 cm，根据甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，列出方程得－＝8，解得x＝3200.
即甲的容积为3200 cm3.
14．解：(1)设爸爸的速度为x m/min，则小明的速度为x m/min.
根据题意，得4(x－x)＝400，解得x＝400，
x＝400×＝300.
答：小明的速度为300 m/min，爸爸的速度为400 m/mim.
(2)50÷(400－300)＝50÷100＝0.5(min)；
(400－50)÷(400－300)＝350÷100＝3.5(min)．
故答案为0.5或3.5.第3课时 百分率、销售与储蓄问题
知识点 1 百分率问题
1．2017·深圳 一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程为( )
A．10%x＝330 B．(1－10%)x＝330
C．(1－10%)2x＝330 D．(1＋10%)x＝330
2．某品牌自行车2月份销售量为90辆，比1月份的销售量减少了10%，则1月份的销售量为( )
A．110辆 B．100辆
C．99辆 D．80辆
3．某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共450台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共519台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%.该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
知识点 2 销售问题
4．2018·牡丹江二模 某款服装进价为80元/件，标价为x元/件，商店对这款服装推出“买两件，第一件原价，第二件打六折”的促销活动．按促销方式销售两件该款服装，商店仍获利32元，则x的值为( )
A．125 B．120 C．115 D．110
5．某个体户在一次买卖中同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本价计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中他( )
A．亏18元 B．赚18元
C．赚36元 D．不赚不亏
6．已知面包店的面包一袋15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一袋面包就可以打九折，价钱比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了________袋面包．( )
A．38 B．39 C．40 D．41
7．小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用306元，其中上衣按标价打七折，裤子按标价打八折．若上衣的标价为300元，则裤子的标价为________元．
8．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价分别为多少元．
知识点 3 储蓄问题
9．爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为3.8%)，3年后能取5570元，则他开始时存入了________元．
10．将一笔资金按一年定期存入银行，年利率为2%，到期支取时，得本息和6630元，求这笔资金有多少元．
11．“家电下乡”农民得实惠，村民小郑购买一台双门冰箱，在扣除13%的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了1648.7元，那么他购买这台冰箱节省了________元钱．
12．某商品的成本价是每台500元，3月份的销售价为每台625元．经市场预测，该商品销售价在4月份将降低20%，而后在6月份再提高8%，那么在6月份销售该商品预计可获利( )
A．25% B．20%
C．8% D．12%
13．某超市推出如下购物优惠方案：(1)一次性购物在80元(不含80元)以内时，不享受优惠；(2)一次性购物在80元(含80元)以上，300元(不含300元)以内时，一律享受九折的优惠；(3)一次性购物在300元(含300元)以上时，一律享受八折的优惠．某顾客在本超市两次购物分别付款65元，252元，如果他在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，那么应付款( )
A．316元 B．304元或316元
C．276元 D．276元或304元
14．某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40千克到菜市场去卖，黄瓜和土豆这天的批发价和零售价如下表所示：
品名 批发价(元/千克) 零售价(元/千克)
黄瓜 2.4 4
土豆 3 5
(1)他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？
(2)如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少元？
15．五一期间，小明、小亮等同学随家长一同到瘦西湖公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图5－4－4)，试根据图中的信息，解答下列问题：
图5－4－4
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱，并说明理由．
16．红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．
(1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？
(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 学生在已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．以方程为工具分析问题、解决问题(即建立方程模型)是全章的重点，同时也是难点．本课时是一元一次方程应用的延伸与拓广，同时也为后继学习二元一次方程组埋下伏笔
教 学 目 标 知识与技能 1.能根据具体问题中的各种数量关系，正确地列出一元一次方程． 2.进一步学习用方程解决实际问题的基本步骤(审、设、找、列、解、答)． 3.掌握营销与储蓄问题中的基本量之间的关系及分析较复杂实际问题数量关系时的常用方法
过程与方法 1.能运用生活经验和社会实践对有关数学信息进行归纳与类比． 2.结合具体情境发现和解决数学问题
情感、度 与价值观 在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，增强学生敢于面对挑战的信心
教学重 点难点 重点 将实际问题转化为数学问题(方程)
难点 恰当地设未知数，找出问题中的相等关系
易错点 抓不准相等关系或不知道要找怎样的相等关系
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 用代数式表示： (1)某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是多少万元？ (2)某超市4月份盈利a万元，计划5，6月份平均每月盈利的增长率为x，那么该超市第二季度共盈利多少万元？ [答案] (1)a(1－10%)(1＋15%)万元；(2)万元
活动2 想一想 周日，小丽与妈妈一起来到表姐开的服装店玩，表姐指着一件衣服对妈妈说：“这件衣服进价100元，加价20%，但卖不掉，只好再降价20%，亏本了．”小丽在一边想，加价20%，又降价20%，应该是不赔不赚才对呀！你说表姐与小丽哪一个说得对呢？ [答案] 表姐说得对． 100×(1＋20%)×(1－20%)＝96(元)<100元，所以亏本了
【详解详析】
1．D [解析] 利用等量关系：上个月卖出的双数×(1＋10%)＝现在卖出的双数，即可列出方程．
2．B [解析] 设1月份销售了x辆．依题意，得(1－10%)x＝90，解得x＝100.
3．解：设该厂第一季度生产甲种机器x台，则生产乙种机器(450－x)台．
根据题意，得(1＋10%)x＋(1＋20%)(450－x)＝519，
解得x＝210，450－210＝240(台)．
答：该厂第一季度生产甲种机器210台，生产乙种机器240台．
4．B [解析] 依题意有x＋0.6x－80×2＝32，解得x＝120.故选B.
5．A [解析] 设在这次买卖中盈利25%的上衣的原价是x元，则可列方程(1＋25%)x＝135，解得x＝108，比较可知，第一件赚了27元；设亏损25%的上衣的原价为y元，可列方程(1－25%)·y＝135，解得y＝180，比较可知亏了45元，则一共亏了45－27＝18(元)．
6．B [解析] 设小明买了x袋面包．根据题意，得15x－15(x＋1)×90%＝45，解得x＝39.故选B.
7．120 [解析] 设裤子的标价为x元，则300×70%＋80%x＝306，解得x＝120.
8．解：设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为(150－x)元．根据题意，得50%x＋60%(150－x)＝80，
解得x＝100，
150－100＝50(元)．
答：《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
9．5000 [解析] 设他开始时存入了x元．根据题意，得x(1＋3.8%×3)＝5570，
解得x＝5000.
10．解：设这笔资金有x元．
根据题意，得(1＋2%)x＝6630.
解得x＝6500.
答：这笔资金有6500元．
11. 361.3 [解析] 设节省了x元．由题意，得(1648.7＋100)÷(1－13%)＝1648.7＋x，
解得x＝361.3，即他购买这台冰箱节省了361.3元钱．
12．C [解析] 设在6月份销售该商品预计可获利的利率为x，由于成本价是每台500元，3月份的销售价为每台625元．经市场预测，该商品销售价在4月份将降低20%，而后在6月份再提高8%，由此可以列出方程625×(1－20%)(1＋8%)＝500(1＋x)，
解得 x＝0.08＝8%.
即6月份销售该商品预计可获利8%.
13．D [解析] 设第一次购买物品的原价为x元，第二次购买物品的原价为y元，
因为80×0.9＝72(元)，300×0.8＝240(元)，300×0.9＝270(元)，65＜72，240＜252＜270，
所以x＝65，80≤y＜300或y≥300.
当y＜300时，有0.9y＝252，解得y＝280，
所以0.8(x＋y)＝276；
当y≥300时，有0.8y＝252，解得y＝315，
所以0.8(x＋y)＝304.
14．解：(1)设他当天购进黄瓜x千克，则购进土豆(40－x)千克．
根据题意，得2.4x＋3(40－x)＝114.
解得x＝10，
所以40－x＝40－10＝30.
答：他当天购进黄瓜10千克，土豆30千克．
(2)(4－2.4) ×10＋(5－3)×30＝16＋60＝76(元)．
答：如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚76元．
15．解：(1)设去了x个成人，(15－x)个学生．
根据题意，得120x＋60(15－x)＝1260，
解得x＝6，则15－x＝15－6＝9.答：一共去了6个成人，9个学生．
(2)因为120×0.6×16＝1152(元)，
1152<1260，所以按团体票买16张票更省钱．
16．解：(1)设顾客购买x元的商品时，买卡与不买卡花钱相等．
根据题意，得300＋0.8x＝x，
解得x＝1500.
所以当顾客消费1500元时买卡与不买卡花钱相等．
(2)小张买卡合算．
3500－(300＋3500×0.8)＝400(元)．
所以小张能节省400元钱．
(3)设这台冰箱的进价为y元．根据题意，得
(300＋3500×0.8)－y＝25%y，
解得y＝2480.
答：这台冰箱的进价是2480元．第5课时 几何图形及动点问题
知识点1 几何图形的周长与面积问题
1．为了做一个试管架，在长为a cm(a>6)的木板上钻3个小孔(如图5－4－9)，每个小孔的直径为2 cm，则x等于( )
图5－4－9
A. cm B. cm
C. cm D. cm
2．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，所标尺寸如图5－4－10所示，求小长方形的宽AE.若AE＝x cm，依题意可得方程( )
图5－4－10
A．6＋2x＝20－3x B．6＋2x＝x＋(20－3x)
C．20－3x＝6 D．6＋2x＝20－x
3．教材练习第(1)题变式 已知一个角的补角比它的余角的4倍少30°，若设个角为x°，则可列方程为__________________，x的值是________．
4．如图5－4－11所示，一个长方形草坪，长为6米，宽为4米，要在草坪中修一条如图所示宽度相同的小路，使剩余草坪的面积为20平方米，则所修小路的宽为________．
图5－4－11
5．如图5－4－12，三角形ABC的周长为30 cm，点P，Q同时从点A出发绕三角形的三条边运动(点P从点A到点C再到点B，点Q从点A到点B再到点C)，点P的速度是1 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，则几秒后两点首次重合？
图5－4－12
6．用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形．
(1)要使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
(2)要使长方形的宽比长少4 cm，求这个长方形的面积；
(3)比较(1)(2)所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
(4)若长方形的宽比长少3 cm，2 cm，1 cm，0 cm，长方形的面积有什么变化？你发现了什么规律？
知识点2 动点问题
7. 如图5－4－13，∠AOB的边OA上有一动点P从距离点O18 cm的点M处出发，沿M→O→B运动，速度为6 cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为3 cm/s.点P，Q同时出发，设运动时间是t(s)，当点P追上点Q时t的值为( )
图5－4－13
A．2 B．3 C．6 D．9
8．如图5－4－14，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10 cm，AD＝BC＝8 cm，动点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动到点D停止，动点Q从点D出发，沿D→C→B→A路线运动到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，6 s后点P，Q同时改变速度，点P的速度变为2 cm/s，点Q的速度变为1 cm/s.
(1)问点P出发几秒后，P，Q两点相遇？
(2)点Q出发几秒后，点P和点Q在运动路线上相距25 cm
图5－4－14
9．小明写信给妹妹，他折叠长方形信纸装入标准信封时发现，若将信纸按图5－4－15①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8 cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰有1.4 cm.设信纸的纸长为x cm，则所列的方程为________________．
图5－4－15
10．如图5－4－16所示，长方形的长是10 cm，宽是8 cm，点M，N从点A同时出发沿长方形的边运动，点M由点A到点D，再到点C，点N由点A到点B，再到点C.已知点M每秒走2 cm，点N每秒走1 cm，经过多长时间后，M，N两点所走的路程和为27 cm
图5－4－16
11．如图5－4－17，在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点C开始向点B运动，运动速度是1 cm/s，设运动时间是t s.
(1)用含t的代数式表示三角形ABP的面积；
(2)当三角形ABP的面积是三角形ABC的面积的一半时，求t的值，并指出此时点P在BC边上的什么位置．
图5－4－17
12．如图5－4－18，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数为7，BC＝4，
AB＝16，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ＝3CN.设运动的时间为t(t>0)秒．
(1)点A表示的数为________，点B表示的数为________；
(2)当t<6时，求MN的长(用含t的式子表示)；
(3)t为何值时，原点O恰好为线段PQ的中点？
图5－4－18
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课时是在学生已学有关几何图形初步知识的基础上，运用一些规则几何图形的性质、公式等去建立方程模型来解决的一类数形结合问题，是综合运用方程解决问题的基础，也为今后学习函数埋下了伏笔
教 学 目 标 知识与技能 1.能根据具体的问题情境或几何图形的性质，找出数量关系，列出一元一次方程． 2.进一步学习用方程解决实际问题的基本方法步骤
过程与方法 结合具体情境与几何图形的特点发现与解决数学问题
情感、度 与价值观 在数学活动中培养学生认真观察、分析、解决问题的能力，培养学生的观察、想象能力
教学重 点难点 重点 将几何问题转化为方程
难点 图形中的运动变化问题
易错点 抓不准相等关系或不知道要抓怎样的相等关系
教学 导入 设计 活动 忆一忆 有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长4厘米、宽2厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米？(不计损耗) [答案] 设铸成后的铜块的高为x厘米． 依题意得 43＝4×2×x，解得x＝8. 答：铸成后的铜块高为8厘米
【详解详析】
1．C 2.B
3．180－x＝4(90－x)－30 50
4．1米
5．解：设x s后两点首次重合．
根据题意，得x＋2x＝30，解得x＝10.
答：10 s后两点首次重合．
6．解：(1)设这个长方形的长为x cm，则宽为x cm.
根据题意，得2＝60，
解得x＝18，则x＝×18＝12.
即这个长方形的长为18 cm，宽为12 cm.
(2)设这个长方形的长为x cm，则宽为(x－4)cm.
根据题意，得2(x＋x－4)＝60，
解得x＝17，则x－4＝17－4＝13.
故这个长方形的面积为17×13＝221(cm2)．
(3)因为(1)中长方形的面积为18×12＝216(cm)2，故(2)中长方形的面积大些，还能围出面积更大的长方形．
(4)长方形的面积逐渐变大．规律：用定长的铁丝围成的长方形中，正方形的面积最大．
7．C [解析] 由题意可得6t＝3t＋18，解得t＝6.
8．解：(1)设点P出发t s后，P，Q两点相遇．
若两点不变速就能相遇，则有t＋2t＝28，解得t＝.
因为＞6，所以两点不可能未变速就相遇，因此只能经过变速才能相遇．
设变速后又经过x s，P，Q两点相遇．
根据题意可得
1×6＋2×6＋x＋2x＝28，
解得x＝.
那么所用总时间为6＋＝(s)．
所以点P出发 s后，P，Q两点相遇．
(2)未变速前，设点Q出发t′ s时，点P和点Q在运动路线上相距的路程为25 cm，
则t′＋2t′＋25＝28，解得t′＝1；
设变速后经过y s点P，Q在运动路线上相距的路程为25 cm，
则有28－6×(1＋2)＋25＝y＋2y，解得y＝.所用时间为6＋＝(s)．
所以点Q出发1 s或 s时，点P和点Q在运动路线上相距25 cm.
9.＋3.8＝＋1.4
10．解：设经过t s，M，N两点所走的路程和为27 cm.
根据题意，得2t＋t＝27，解得t＝9.
经检验，t＝9符合题意．
答：经过9 s后，M，N两点所走的路程和为27 cm.
11．解：(1)点P运动t s后，CP＝t cm，所以PB＝(10－t)cm，
所以三角形ABP的面积＝BP·AC＝(30－3t)cm2(0≤t≤10)．
(2)三角形ABC的面积＝BC·AC＝30(cm2)．依题意，得30－3t＝×30，解得t＝5，这时CP＝5 cm，P是BC边的中点．
12．解：(1)结合题干中的图，因为点C表示的数为7，BC＝4，所以点B表示的数为3.
因为AB＝16，
所以点A表示的数为－13.
(2)由题意得AP＝5t，CQ＝2t，如图所示：
因为M为AP的中点，所以AM＝AP＝t，
所以在数轴上点M表示的数是－13＋t.
因为点N在CQ上，CQ＝3CN，所以CN＝t，
所以在数轴上点N表示的数是7－t，
所以MN＝7－t－(－13＋t)＝20－t.
(3)由题意，得AP＝5t，CQ＝2t，分两种情况：
①当点P在原点的左侧，点Q在原点的右侧时，OP＝13－5t，OQ＝7－2t.
因为O为PQ的中点，所以OP＝OQ，
所以13－5t＝7－2t，
解得t＝2，即当t＝2时，O为PQ的中点；
②当P在原点的右侧，点Q在原点的左侧时，OP＝5t－13，OQ＝2t－7.
因为O为PQ的中点，所以OP＝OQ，
所以5t－13＝2t－7，解得t＝2，
此时AP＝10<13，所以t＝2不合题意，舍去．
综上所述，当t＝2时，原点O恰好为线段PQ的中点．第2课时 行程和工程问题
知识点 1 行程问题
小明和小刚从相距25千米的两地同时相向而行，3小时后两人相遇，小明的速度是
4千米/时．设小刚的速度为x千米/时，列方程得( )
A．4＋3x＝25 B．12＋x＝25
C．3(4＋x)＝25 D．3(4－x)＝25
2．某学生从家到学校时，每小时走6千米，按原路返回家时，每小时走4千米，结果返回所用的时间比去学校所用的时间多15分钟．设去学校所用时间为x小时，则可列方程为( )
A．6x＝4 B．6x＝4
C．6＝4x D．6＝4x
3．教材练习第1题变式 甲、乙两人骑自行车分别从相距65 km的两地同时出发，相向而行，经过2小时相遇．若甲每小时比乙多骑行2.5 km，则乙每小时骑行( )
A．12.5 km B．15 km
C．17.5 km D．20 km
4．A，B两地相距480 km，一列慢车从A地开出，每小时行60 km，一列快车从B地开出，每小时行 65 km(车长忽略不计)．
(1)两车同时开出，相向而行，经过x h相遇，则由条件列出的方程是______________；
(2)两车同时开出，相背而行，经过x h之后两车相距620 km，则由条件列出的方程是________________________________________________________________________．
5．某人计划开车用5小时从A地到B地，由于比原计划每小时多行9千米，结果用了4小时就到达了B地，则A地到B地有________千米．
6．一辆客车以30千米/时的速度从甲地出发驶向乙地，经过45分钟，一辆货车以每小时比客车快10千米的速度从乙地出发驶向甲地．若两车刚好在甲、乙两地的中点相遇，求甲、乙两地的距离．
知识点 2 工程问题
7．某项工程由甲队单独做需18天完成，由乙队单独做只需甲队一半的时间就可完成．设两队一起做需x天完成，则可得方程为( )
A.＋＝x B.x＝1
C.＋＝x D.x＝1
8．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为__________________________．
9．一项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若两人合做3天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天？
10．某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产．如果每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套服装，就可超过订货任务20套．这批服装的订货任务是多少套？原计划几天完成？
11．A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲的速度是120千米/时，乙的速度是80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值为( )
A．2或2.5 B．2或10
C．10或12.5 D．2或12.5
12．一项工作，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天．若甲、丙先做3天后，甲有事离开，由乙接替甲的工作，则完成这项工作的还需( )
A．3天 B．2天 C．4天 D．5天
13．一艘轮船往返于A，B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．
14．一个空水池上有甲、乙两个进水管，单开甲管，10小时可把空池注满；单开乙管，15小时可把空池注满．现先开甲管，2小时后把乙管也打开，再过几小时池内可蓄有的水？
15．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校．一天早上7：30，小明以80米/分的速度出发，在路上突然想起忘带数学书．于是，他立即以140米/分的速度返回家中取书，并以此速度赶到学校，到校门口时还差4分钟到7：50，已知小明在家取书占用1分钟．
(1)小明早上出发几分钟时，想起忘带数学书？
(2)小明想起忘带数学书时，距离学校有多远？
16．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．
(1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
(2)现两人合作完成了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合适些？为什么？
17．2017 衡水期末 甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为a千米/时(0＜a＜100)，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/时，设客车行驶时间为t(时)．
(1)当t＝5时，客车与乙城的距离为________千米(用含a的代数式表示)．
(2)已知a＝70，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米．
①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间(列方程解答)．
②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返回，此时小王有两种返回乙城的方案供选择：
方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；
方案二：在M处换乘客车返回乙城．
试通过计算，分析小王选择哪种方式能更快到达乙城．
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题．以方程为工具分析问题、解决问题(即建立方程模型)是全章的重点，同时也是难点．本课时是一元一次方程应用的延伸，同时也为后继学习二元一次方程组埋下伏笔
教 学 目 标 知识与技能 1.能根据具体问题中的各种数量关系，正确地列出一元一次方程． 2.进一步学习用方程解决实际问题的基本步骤(审、设、找、列、解、答)． 3.掌握相遇、追及与劳动调配问题中的基本量之间的关系及分析较复杂实际问题数量关系时的常用方法
过程与方法 1.能运用生活经验和社会实践对有关数学信息进行归纳与类比． 2.结合具体情境发现和解决数学问题
情感、度 与价值观 在数学活动中培养学生主动探究的能力，并使学生在学习过程中获得成功的经验，增强学生敢于面对挑战的信心
教学重 点难点 重点 将实际问题转化为数学问题(方程)
难点 恰当地设未知数，找出问题中的相等关系
易错点 抓不准相等关系或不知道要抓怎样的相等关系
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 列方程解应用题的一般步骤是怎样的？ [答案] 一般步骤：审、设、找、列、解、答
活动2 想一想 有一次在国外，一位数学家与苏步青教授一起乘车，这位数学家出了这样一道数学题，请苏步青解答： 甲、乙两人同时从相距100千米的A，B两地出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带一只狗和他同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙后又立即回头向甲奔去，遇到甲后又立即向乙奔去……直到甲、乙相遇时狗才停下来，这只狗共跑了多少千米？ 你知道苏步青是怎样解答的吗？ [答案] 二人相遇的时间为100÷(6＋4)＝10(时)，10小时也是狗跑的时间，所以狗跑的总路程为10×10＝100(千米)
【详解详析】
1．C
2．B [解析] 等量关系：去学校的速度×去学校用的时间＝返回家的速度×返回家用的时间．
3．B
4．(1)60x＋65x＝480 (2)60x＋65x＝620－480
5．180 [解析] 设A地到B地有x千米．
由题意，得＝－9，解得x＝180.
即A地到B地有180千米．
6．解：设货车出发后x小时与客车相遇，
则有30×＋30x＝(30＋10)x，解得x＝.
所以×40×2＝180(千米)．
答：甲、乙两地的距离为180千米．
7．B [解析] 甲队单独做需18天完成，一天完成全部工程的，乙队单独做需9天完成，一天完成全部工程的，两队一起做x天，则完成全部工程的x.
8．20x＝15(x＋4)－10
9．解：设乙还需做x天．由题意得＋＋＝1，
解得x＝3.答：乙还需做3天．
10．解：设原计划x天完成．根据题意，得
20x＋100＝23x－20.
解得x＝40.
20×40＋100＝900(套)．
答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成．
11．A [解析] 当甲、乙两车相遇前相距50千米时，根据题意可得120t＋80t＝450－50，解得t＝2；当甲、乙两车相遇后，又相距50千米时，根据题意得120t＋80t＝450＋50，解得t＝2.5.故选A.
12．B [解析] 由题意可设还要x天能完成这项工作的，可列方程×3＋x＝，即＋x＝，解得x＝2.
13．解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水速度为(x＋3)千米/时，逆水速度为(x－3)千米/时，列方程，得3(x－3)＝2(x＋3)，解得x＝15.
答：轮船在静水中的速度为15千米/时．
14．解：设再过x小时池内可蓄有的水．
根据题意，得＋x＝，
解得x＝.
答：再过小时池内可蓄有的水．
15．解：(1)设小明早上出发x分钟时，想起忘带数学书．根据题意，得
＋1＝20－x－4，解得x＝5.
答：小明早上出发5分钟时，想起忘带数学书．
(2)根据题意，得1000－80×5＝600(米)．
答：小明想起忘带数学书时，距离学校有600米．
16．解：(1)能履行合同．设甲、乙合做x天完成，则有x＝1，解得x＝12.
12＜15，因此两人能履行合同．
(2)调走甲合适．
理由：由(1)知，两人合作完成这项工程的75%需要的时间为12×75%＝9(天)．
剩下6天必须由其中1人做完余下的工程，故其工作效率应不低于25%÷6＝.
因为＜＜，故调走甲合适．
17．解：(1)(800－5a)
(2)①两车相距100千米，分两种情况：
相遇前：设时间为t1小时，得800－70t1－90t1＝100. 解得t1＝.
相遇后：设时间为t2小时，得70t2＋90t2－800＝100. 解得t＝.
综上可知，客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间为小时或小时．
②设客车和出租车在服务站M处相遇的时间为t小时，则
70t＋90t＝800, 解得t＝5.
丙城距乙城800－260＝540(千米)，
丙城距M处540－90×5＝90(千米)．
方案一：t′＝(540＋90)÷90＝7(时)，
方案二：t″＝(540－90)÷70＝(时)，
因为t′＞t″，所以方案二更快．