2.7 第1课时 角的和与差及角的平分线
知识点 1 角的和与差
1．如图2－7－1，下列式子错误的是( )
图2－7－1
A．∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
B．∠AOC＝∠AOD－∠COD
C．∠AOC＝∠AOB＋∠BOD－∠BOC
D．∠AOC＝∠AOD－∠BOD＋∠BOC
2．借助常用的三角尺，能画出一些度数的角，下列选项中不能借助三角尺画出角的是( )
A．15° B．100° C．165° D．135°
3．已知∠AOB＝60°，∠BOC＝30°，则∠AOC的度数为( )
A．90° B．45°或30°
C．30° D．90°或30°
4．如图2－7－2，已知∠AOC＝90°，直线BD过点O，∠COD＝115°，则∠AOB的度数为________．
图2－7－2
5．如图2－7－3，已知∠AOC＝∠BOD＝110°，∠BOC＝75°，求∠AOD的度数．
图2－7－3
知识点 2 角的平分线
6．如图2－7－4，已知OC是∠AOB的平分线，下列结论不正确的是( )
图2－7－4
A．∠AOB＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOC＝∠BOC D．∠AOB＝2∠AOC
7．如图2－7－5，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是( )
图2－7－5
A．∠COD＝∠AOB B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOD D．∠BOC＝∠AOD
8．如图2－7－6，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB的度数是( )
图2－7－6
A．50° B．75° C．100° D．120°
9．如图2－7－7，已知O是直线CD上一点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．
图2－7－7
知识点 3 角度的加减运算
10．计算：(1)48°39′＋67°31′； (2)180°－21°17′×5.
11．如图2－7－8，已知M是直线AB上一点，∠AMC＝52°48′，∠BMD＝72°19°，则∠CMD的度数为( )
图2－7－8
A．49°07′ B．54°53′ C．55°53′ D．53°7′
12．已知直线AB上有一点O，射线OD和射线OC在AB的同侧，∠AOD＝42°，
∠BOC＝34°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数是( )
A．142° B．90°
C．38° D．以上都不对
13．将一张纸按图2－7－9所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为( )
图2－7－9
A．80° B．90° C．100° D．110°
14．如图2－7－10，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠EOD＝70°，则∠BOC的度数为________．
图2－7－10
15．如图2－7－11，OC是∠AOB的平分线，∠AOD比∠BOD大30°，则∠COD的度数为________．
图2－7－11
16．如图2－7－12，OB平分∠AOC，∠AOD＝78°.
(1)若∠BOC＝20°，求∠COD的度数；
(2)若OC是∠AOD的平分线，求∠BOD的度数．
图2－7－12
17．如图2－7－13，从直线AB上任一点引一条射线OC，已知OD平分∠BOC.
若∠EOD＝90°，则OE一定是∠AOC的平分线，请说明理由．
图2－7－13
18．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．
19．两个角的顶点重合，且有一边重合，另一边互为反向延长线．若这两个角的度数之比为5∶4，则这两个角的度数差是( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
20．如图2－7－14，已知同一平面内∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.
(1)填空：∠BOC＝________°.
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为________°.
(3)在(2)的条件下，如果将题目中“∠AOC＝60°”改成“∠AOC＝2∠α(∠α<45°)”，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
图2－7－14
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节课是在学习了角的度量及角的大小的基础上，对角的数量关系作进一步探讨．而角平分线的性质、补角和余角的性质又是今后学习对顶角相等及平行线的判定和性质的重要依据．另外教材在此已开始对学生提出“说点儿理”的要求，为以后推理证明题做准备，并为学生进一步学习平面几何图形打下基础
教 学 目 标 知识与技能 1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义．会进行角的和差运算，知道如何进位或借位． 2.了解角平分线的意义及其简单应用，了解两角互余、两角互补的意义，会正确表示一个角的余角或补角，能熟练地求出一个角的余角或补角． 3.通过探究掌握余角补角的性质“同角(等角)的余角相等”“同角(等角)的补角相等”，培养学生的归纳、分析能力
过程与方法 在教学中注重培养学生合情推理和演绎推理的能力，引导学生在实验、观察、交流、比较等活动的基础上通过类比、总结逐渐培养学生的动手能力、几何语言的表达能力以及几何识图能力，使学生的逻辑逐步清晰、过程逐渐规范
情感、度 与价值观 增强学生学数学的愿望和信心，培养学生善于观察、善于发现、主动探索、勇于实践的科学精神．初步培养学生推理的严谨性和结论的确定性
教学重 点难点 重点 1.角的和与差、角平分线及其意义． 2.互余、互补的概念及其性质
难点 两角互余、两角互补的本质特征，互余、互补的性质
易错点 运用互余、互补的概念及其性质进行与角相关的运算
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1．观察图形，解决问题：图中都有哪些角，如何表示？ 2.你们能用手中的三角尺画出30°，45°，60°，90°的角吗？ [答案] 1.略 2.略
活动2 想一想 1.“忆一忆”1题的图形中，那些角之间有怎样的关系呢？ 2.你能用三角尺作出15°，75°，150°的角吗？说明你的理由． [答案] 1.略 2.略
【详解详析】
1．90° 180°
2．C 3.D
4．60° 150°
5．84° [解析] 因为∠α的补角为54°，∠β的余角为48°，所以∠α＝180°－
54°＝126°，∠β＝90°－48°＝42°，所以∠α－∠β＝126°－42°＝84°.
6．153° [解析] 因为∠1是∠2的余角，∠3是∠2的补角，所以∠3－∠1＝90°，
所以∠3＝90°＋63°＝153°.
7．解：(1)由题意，得3∠α＋∠α＝180°，解得∠α＝45°.
(2)设这个角的度数为x，则它的余角的度数为(90°－x)．
由题意，得x－(90°－x)＝30°，
解得x＝80°.
即这个角的度数是80°.
8．(1)＝ 同角的余角相等 (2)＝ 等角的余角相等 (3)＝ 同角的补角相等 (4)＝ 等角的补角相等
9．解：(1)∠AOB与∠DOE，∠AOB与∠COD，∠COD与∠BOC，∠BOC与∠DOE都是互余的角．
(2)∠AOB与∠BOE，∠BOC与∠BOE，∠AOC与∠COE，∠COD与∠AOD，∠EOD与∠AOD都是互补的角．
10．C 11.B 12.C
13．45° [解析] 设这个角的度数为x，则90°－x＋180°－x＝180°，解得x＝45°.
14．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．
解：因为∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－90°＝90°，
所以∠BOD＋∠DOE＝90°，
即∠DOE与∠BOD互余．
因为OB平分∠COD，
所以∠BOC＝∠BOD，
所以∠DOE与∠BOC互余．
因为∠DOF＝90°，
所以∠DOE＋∠EOF＝90°，
所以∠DOE与∠EOF互余，
即与∠DOE互余的角有∠BOD，∠BOC，∠EOF.
因为∠DOE＋∠BOF＝∠DOE＋∠EOF＋∠BOE＝∠DOF＋∠BOE＝180°，
所以∠DOE与∠BOF互补．
因为∠DOE＋∠COE＝∠DOE＋∠COB＋∠BOE＝∠DOE＋∠BOD＋∠BOE＝
∠BOE＋∠BOE＝180°，
所以∠DOE与∠COE互补，
即与∠DOE互补的角有∠BOF，∠COE.
15．解：(1)因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC＋∠AOD＝180°，∠BOD＋∠AOD＝180°，
所以∠AOC和∠BOD分别与∠AOD互补．
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF.
因为∠DOF＝90°，所以∠COF＝∠DOF＝90°，
所以∠AOC＝∠DOE，所以∠DOE也是∠AOD的补角，
所以与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2)因为OF平分∠AOE，
所以∠EOF＝∠AOE＝60°.
因为∠DOF＝90°，所以∠DOE＝∠DOF－∠EOF＝90°－60°＝30°.
所以∠BOD＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－120°－30°＝30°.
16．解：(1)猜想：∠AOD 与∠BOC 互补．
因为∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋∠BOD，
∠BOD＝90°－∠BOC，
所以∠AOD＝90°＋90°－∠BOC，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠AOD与∠BOC互补．
(2)(1)中的猜想仍然成立．
因为∠AOB，∠COD都是直角，
所以∠AOB＋∠COD＝180°.
又因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝ 360°，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
17．解：(1)∠2是90°的角．
理由如下：
由折叠可知，∠1＋∠3＝∠2.
又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，
所以2∠2＝180°，
所以∠2＝90°.
(2)∠1与∠3互为余角，或∠1＋∠3＝90°.
(3)∠1与∠AEC互补，∠3与∠BEF互补，
或∠1＋∠AEC＝180°，∠3＋∠BEF＝180°.2.3 线段的长短
知识点 1 比较线段的长短
1．线段AB长为3米，线段CD长为287厘米，则线段AB和线段CD的大小关系是( )
A．AB>CD B．ABC．AB＝CD D．不能确定
2．2017·海淀区二模 如图2－3－1，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是( )
图2－3－1
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB D．不能确定
3．如图2－3－2给出的四条线段中，最长的线段是________．
图2－3－2
知识点 2 线段的画法
4．如图2－3－3，平面上有射线AP和点B，C，按下列语句画图：
(1)连接AB；
(2)用尺规在射线AP上截取AD＝AB；
(3)连接BC，并延长BC到点E，使CE＝BC；
(4)连接DE.
图2－3－3
知识点 3 线段的基本事实及两点之间的距离
5．如图2－3－4，从A地到B地，最短的路线是( )
图2－3－4
A．A—G—E—B B．A—C—E—B
C．A—D—G—E—B D．A—F—E—B
6．关于两点之间的距离，下列说法不正确的是( )
A．连接两点的线段就是两点之间的距离
B．连接两点的线段的长度，是两点之间的距离
C．如果线段AB＝AC，那么点A到点B的距离等于点A到点C的距离
D．两点之间的所有连线中，线段最短
7．A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向A，B两村供水，抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图2－3－5中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．
图2－3－5
8．根据数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，回答下列问题：
(1)数轴上表示－3和－9的两点之间的距离是多少？数轴上表示2和－8的两点之间的距离是多少？
(2)数轴上表示x和－2的两点A和B之间的距离是多少？如果|AB|＝4，那么x的值为多少？
9．为了解决某地的缺水问题，政府准备投资建设一个蓄水池．不考虑其他因素，请你在图2－3－6中画出蓄水池点E的位置，使它到A，B，C，D4个村庄的距离和最小，并说明理由．
图2－3－6
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课从学生的生活经验出发，抽象提炼线段的基本性质、线段的长短比较方法等内容，知识的获得完全来自学生的生活经验和理解水平．通过学习活动，可以让学生体验到数学学习过程是一个观察、实验、猜想、归纳和类比的探索过程，对学生几何意识的起步、基本的操作方法、几何语言的培养乃至后期几何图形的学习都具有重要的作用
教 学 目 标 知识与技能 1.借助于身高的情境，了解比较线段长短的方法．会用几何语言表示两条线段的长短关系． 2.借助于实际情境，理解“两点之间的所有连线中，线段最短”的基本事实
过程与方法 1.经历对线段的长短进行比较的过程． 2.通过演示探索、发现规律，了解有关线段的基本事实以及比较线段长短的方法，并能用所学的知识解决实际问题
情感、度 与价值观 1.渗透数形结合思想． 2.在实际生活中运用几何事实，增强学生“用数学”的意识，初步感受几何推理
教学重 点难点 重点 比较线段长短的方法、有关线段的基本事实
难点 1.“两点之间的所有连线中，线段最短”在实际问题中的应用． 2.作一条线段等于已知线段
易错点 对两点之间的距离概念理解不清
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 如图，已知A，B，C，D四点． (1)画直线AB；(2)画射线CD； (3)画线段BC；(4)连接AD.[答案] 略
活动2 想一想 比较图中二人的身高，我们有两种方法：方法(1)为直接用卷尺量出身高，方法(2)是让两人站在一块平地上，再量出差．那么仿照比较身高的方法，怎样比较两条线段的长短呢？ [答案] 略
【详解详析】
1．A [解析] 因为3米＝300厘米，而300厘米>287厘米，所以AB>CD.故选A.
2．A 3.d
4．解：如图所示．
5．D
6．A [解析] 两点之间的距离是指两点之间线段的长度，是数量．
7．解：如图所示：
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
8．解：(1)数轴上表示－3和－9的两点之间的距离是6，数轴上表示2和－8的两点之间的距离是10.
(2)A，B两点之间的距离是|x＋2|.如果|AB|＝4，那么x的值为2或－6.
9．解：蓄水池点E的位置如图所示．
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．2.8 平面图形的旋转
知识点 1 旋转的概念
1．下面生活中的实例，不是旋转的是( )
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
2．将图2－8－1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )
图2－8－1
图2－8－2
3．下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是( )
图2－8－3
4．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则旋转前后重叠部分角的大小是( )
A．15° B．45° C．60° D．75°
5．如图2－8－4所示，三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转70°后得到三角形EDC，在这个旋转过程中，旋转中心为________，旋转角为________ ，且点A与________ 是对应点，线段AB与________ 是对应线段，∠B与_________________________________对应角．
图2－8－4
知识点 2 旋转的性质
6．如图2－8－5，三角形ABC以点C为旋转中心，旋转后得到三角形EDC，已知
AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则DE的长为( )
图2－8－5
A．1.5 B．3 C．4 D．5
7．2018秋·临邑县期末 如图2－8－6，将直角三角形ABC(∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )
图2－8－6
A．55° B．70° C．125° D．145°
8．2017·宜宾 如图2－8－7，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形COD.若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是________．
图2－8－7
9．如图2－8－8，E为正方形ABCD内一点，将三角形ABE绕点B按顺时针方向旋转至与三角形CBF重合．若BE＝10 cm，则∠EBF＝________°，BF＝______cm.
图2－8－8
10．在三角形ABC中，∠BAC＝150°，AB＝4，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且C恰好为AD的中点，如图2－8－9.
(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
(2)求出∠BAE的度数和AE的长．
图2－8－9
知识点 3 旋转作图
11．(1)如图2－8－10，将点A绕点O顺时针旋转60°，请在图中画出点A的对应点．
图2－8－10
(2)在如图2－8－11所示的网格图中作出三角形ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后的三角形AB1C1.
图2－8－11
12．图2－8－12是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是( )
图2－8－12
A．60° B．72° C．90° D．144°
13．如图2－8－13所示，三角形ABC和三角形DEC都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列叙述不正确的是( )
图2－8－13
A．旋转中心是点C
B．旋转角为90°
C．既可看成是顺时针旋转又可看成是逆时针旋转
D．旋转角是∠ABC
14．如图2－8－14，在正方形网格中，三角形MNP绕某点逆时针旋转一定的角度，得到三角形M1N1P1，则其旋转中心是点________．
图2－8－14
15．如图2－8－15，将三角形OAB绕着点O逆时针旋转两次得到三角形OA″B″，每次旋转的角度都是50°.若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________°.
图2－8－15
16．教材习题B组第2题变式 请在图2－8－16中画出三角形ABO以点O为旋转中心逆时针分别旋转90°，180°，270°时对应的图形．
图2－8－16
17．如图2－8－17，在三角形ABC中，AB＝BC＝AC，D是BC边上的一点，三角形ABD经过旋转后到达三角形ACE的位置，请回答下列问题：
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果M是AB的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？
图2－8－17
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 学生通过对几何初步知识的学习，初步积累了一定的几何图形知识．本节在此基础上，让学生进行观察、分析、画图等操作性活动，形成图形旋转的概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫的作用
教 学 目 标 知识与技能 1.通过观察生活中的旋转实例，让学生自觉地发现和归纳出相应的结论，并能用旋转的性质解简单的几何题． 2.遵循学生是学习的主人的原则，在为学生创造大量实例的基础上，引导学生动手操作、自主思考、合作交流、讨论归纳．通过具体的实例，认识旋转，理解旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质
过程与方法 经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等活动，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识和有条理表达的能力
情感、度 与价值观 发现旋转变换所蕴含的美，激发学习兴趣，培养学生的艺术创作能力和初步的艺术欣赏能力
教学重 点难点 重点 理解旋转的概念，掌握图形旋转的基本性质
难点 旋转概念的形成以及图形旋转的基本性质的归纳与运用
易错点 忽略旋转方向与旋转中心
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 在我们生活的世界里，旋转这种现象司空见惯，你能举出生活中的实例吗？ [答案] 略
活动2 想一想 电风扇旋转的扇叶、转动的车轮、游乐场里的摩天轮等都是常见的旋转现象，它们有什么共同的特征？ [答案] 旋转前后形状、大小不变
【详解详析】
1．A 2.D 3.C
4．B [解析] 如图所示，已知∠AOB＝60°，则∠AOB旋转15°后是∠A′OB′，故旋转前后重叠部分角是∠AOB′，∠AOB′＝60°－15°＝45°.故选B.
5．点C 70° 点E 线段ED ∠D
6．A 7.C
8．60° [解析] 由题意及旋转的性质，得∠AOC＝45°.因为∠AOB＝15°，
所以∠COD＝∠AOB＝15°，所以∠AOD＝45°＋15°＝60°.故答案为60°.
9．90 10 [解析] 因为三角形ABE绕点B按顺时针方向旋转至与三角形CBF重合，
所以BE＝BF＝10 cm，∠ABE＝∠CBF.
因为∠ABE＋∠EBC＝90°，所以∠CBF＋∠EBC＝90°，即∠EBF＝90°.
10．解：(1)旋转中心为点A，旋转角为∠BAD，即旋转角为150°.
(2)因为三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转150°后与三角形ADE重合，
所以∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，
所以∠BAE＝360°－150°－150°＝60°.
因为C为AD中点，所以AC＝AD＝2，所以AE＝2.
11.解：(1)如图所示，点A′即为所求．
(2)三角形AB1C1即为所求．
12．B [解析] 如图，设点O的是五角星的旋转中心．
因为该五角星是正五角星，所以∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠AOE.
因为它们都是旋转角，且它们的和为360°，
所以至少将它绕旋转中心顺时针旋转360÷5＝72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．
故选B.
13．D [解析] A项，三角形ABC通过旋转得到三角形DEC，它的旋转中心是点C，正确；
B项，∠ACB＝90°，即顺时针旋转的旋转角为90°，正确；
C项，既可看成是顺时针旋转又可看成是逆时针旋转，正确；
D项，旋转角是∠ACD或者是360°－∠ACD，错误．故选D.
14．点B
15．20 [解析] 由旋转的性质可知，∠BOB′＝∠B′OB″＝50°.因为∠B″OA＝120°，所以∠AOB＝∠B″OA－∠BOB′－∠B′OB″＝20°.
16．解：如图所示，三角形ABO以点O为旋转中心逆时针分别旋转90°，180°，270°后的对应图形为三角形A′B′O，三角形A″B″O，三角形ABO.
17．解：(1)旋转中心是点A.
(2)旋转了60°.
(3)点M到了AC的中点处．2.2 点和线
知识点 1 线段、射线和直线的概念及表示方法
1．以下说法正确的是( )
图2－2－1
A．①可表示为点a B．②可表示为直线ab
C．③可表示为直线AB D．④可表示为直线l
2．如图2－2－2，下列不正确的几何语句是( )
图2－2－2
A．直线AB与直线BA是同一条直线
B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线
D．线段AB与线段BA是同一条线段
3．射线、线段都是________的一部分，射线有______个端点，线段有________个端点．
4．图2－2－3所示的图形中有______条直线，分别是____________________；以B为端点的线段有________条，分别是______________________；以A为端点的射线有______条，分别是____________________________．
图2－2－3
5．点A，B，C，D的位置如图2－2－4，按下列要求画出图形：
(1)画直线AB，直线CD，它们相交于点E；
(2)连接AC，连接BD，它们相交于点O；
(3)画射线AD，射线BC，它们相交于点F.
图2－2－4
知识点 2 点与直线的位置关系
6．如图2－2－5，下面表述正确的是__________(填序号)．
(1)延长直线AB；(2)直线l在点A上；(3)点B在直线l上；(4)P是直线AB外一点．
图2－2－5
知识点 3 直线的基本事实
7．下列现象中，可以用直线的基本事实“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”来解释的有( )
①农民伯伯拉秧绳插秧；②园林工人栽一行树，先栽首尾的两棵树；③解放军叔叔打靶瞄准；④木匠师傅弹墨线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；若用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明________________________________．
9．有三个点A，B，C，过其中每两个点画直线，可以画出直线的条数为( )
A．1条 B．2条
C．1条或3条 D．无法确定
10．乘火车从A站出发，沿途经过3个车站可到达B站．那么在A，B两站之间需要安排________种不同的车票．
11．如图2－2－6所示．
(1)试验观察：
已知每过两点可以画一条直线，那么：
第①组最多可以画________条直线；
第②组最多可以画________条直线；
第③组最多可以画________条直线．
(2)探索运用：
如果平面上有100个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画________条直线.
图2－2－6
教师详解详析
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教材的地 位和作用 本课通过探索线的分类、画法和直线的基本性质，帮助学生构建简单的几何图形的概念体系，体会线的分类所遵循的原则，掌握各种线的特征和画法及应用，这些是以后学习其他更为复杂几何图形的基础
教 学 目 标 知识与技能 1.知道点的概念以及线段、射线、直线的概念． 2.知道点、线段、射线、直线的表示方法，会按要求画出线段、射线、直线． 3.知道“两点确定一条直线”并能用来解释生活中的现象
过程与方法 1.从不同的情景中形成点的概念；培养学生的几何想象能力和观察力，用运动的观点看待几何图形． 2.通过操作体会“两点确定一条直线”，培养学生自主探究和合作交流的能力
情感、度 与价值观 使学生感受数学来源于生活，体会点、线、面在实际生活中的具体运用，体会利用图形描述世界的必要性
教学重 点难点 重点 1.点、线段、射线、直线的概念及其表示方法． 2.两点确定一条直线
难点 1.线段、射线、直线的表示方法． 2.应用线段、直线的性质解决实际问题
易错点 对几何语言的认识与运用
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1.图形是由__点__、__线__、__面__构成的． 2.面与面相交得到__线__，线与线相交得到__点__，点动成__线__，线动成__面__，面动成__体__
活动2 想一想 用一个钉子把一根木条钉在墙上，用手拨动木条，它能绕钉子转动吗？若在该木条的不同的位置钉上两个钉子，此时再拨动木条，你发现了什么现象？这是为什么？ [答案] 能转动；不能转动了；理由：因为两个钉子能使木条固定在一个位置不动
【详解详析】
1．D
2．C [解析] A正确，因为直线向两方无限延伸，不符合题意；B正确，射线的端点和方向都相同，不符合题意；C错误，因为射线的端点不相同，符合题意；D正确，不符合题意．故选C.
3．直线 1 2
4．2 直线AB，直线AD
4 线段BA，线段BO，线段BD，线段BC
4 射线AE，射线AF，射线AD，射线AB
5．解：(1)(2)(3)如图所示．
6．(3)(4)
7．D
8．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
9．C [解析] 当三点在同一条直线上时，可以画一条；当三点不在同一条直线上时，可以画三条．
10．20
11．(1)3 6 10
(2)49502.6 角的大小
知识点 1 角的比较
1．用一个放大镜去观察一个角，下列说法正确的是( )
A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了
C．角的度数没有变化 D．以上选项都不对
2．∠ABC与∠MNP相比较，若顶点B与N重合，且BC与MN重合，BA在∠MNP的内部，则它们的大小关系是( )
A．∠ABC＞∠MNP B．∠ABC＝∠MNP
C．∠ABC＜∠MNP D．不能确定
3．一副三角尺有6个角，这6个角中最小角的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图2－6－1所示，其中最大的角是________，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小关系是________________(用“＞”连接)．
图2－6－1
5．如图2－6－2，直线AB和CD相交于点O.
(1)分别测量∠AOC，∠AOD，∠BOD和∠BOC的度数；
(2)∠AOC和∠BOD相等吗？∠AOD和∠BOC呢？
图2－6－2
6．如图2－6－3，回答下列问题：
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；
(2)借助三角尺比较∠DOE与∠BOF的大小；
(3)借助量角器比较∠AOE与∠FOD的大小．
图2－6－3
知识点 2 角的画法
7．如图2－6－4，已知∠1，用直尺和圆规求作一个角，使它等于∠1.(不写作法，保留作图痕迹)
图2－6－4
8．已知∠A＝18°18′，∠B＝18.18°，∠C＝18.3°，则下列选项正确的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．∠A<∠B D．∠A>∠C
9．在图2－6－5所示的4×4的方格中，记∠ABD＝∠α，∠DEF＝∠β，∠CGH＝∠γ，则( )
图2－6－5
A．∠β<∠α<∠γ
B．∠β<∠γ<∠α
C．∠α<∠γ<∠β
D．∠α<∠β<∠γ
10．比较两个角的大小，有以下两种方法：
方法一：用量角器量出两个角的度数，则度数大的角大；
方法二：构造图形，若一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．
对于如图2－6－6给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．(注：构造图形时，用尺规作图作出示意图)
图2－6－6
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教材的地 位和作用 本课以前面学习的角的有关知识为基础，通过类比线段长短的比较，得出角的大小比较方法，体验数学学习过程是一个观察、实验、猜测、归纳和类比的探索过程，感受中学数学的研究方式，为学生以后学习其他章与角的有关知识打好基础
教 学 目 标 知识与技能 1.通过类比线段长短的比较方法，会用估测、测量、叠合的方法比较两个角的大小． 2.会用直尺和圆规作一个角等于已知角
过程与方法 经历两角比较大小的过程，以及作一个角等于已知角的过程，发展类比联想的思维能力和对知识的迁移能力
情感、度 与价值观 关注图形语言和符号语言的转化，发展几何直觉
教学重 点难点 重点 角的大小比较方法
难点 作一个角等于已知角
易错点 用叠合法比较角的大小时，叠合的方法不清楚
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 比较线段长短的方法有哪些？如何画一条线段等于已知线段？ [答案] 估测、度量、叠合．画一条线段等于已知线段的方法略
活动2 想一想 我们每个人的手上都有一副三角尺，你知道三角尺上各个角是多大吗？你能类比线段的长短比较对这些角进行比较吗？ [答案] 略
【详解详析】
1．C [解析] 用放大镜观察一个角时，角的度数不会发生变化．
2．C [解析] 根据题意画出图形，比较出两角的大小关系即可得出∠ABC＜∠MNP.故选C.
3．B [解析] 一副三角尺共两块(缺少一块就不成“副”了)，一块是三个内角分别为45°，45°，90°；另一块是三个内角分别为30°，60°，90°，所以最小的角度为30°.故选B.
4．∠DOA ∠DOA>∠DOB>∠DOC
5．解：(1)∠AOC＝30°，∠AOD＝150°，∠BOD＝30°，∠BOC＝150°.
(2)∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝∠BOC.
6．解：(1)因为OD在∠FOE的内部，
所以∠FOD＜∠FOE.
(2)用含有45°角的三角尺比较，
可得∠DOE＞45°，∠BOF＜45°，
则∠DOE＞∠BOF.
(3)用量角器度量得∠AOE＝30°，∠FOD＝30°，则∠AOE＝∠FOD.
7．解：如图，∠ABC即为所求作的角．
8．B [解析] 将其都化成“度”的形式，再比较大小．∠A＝18°18′＝18.3°＝∠C.故选B.
9．B
10．解：方法一：测量得∠ABC＝45°，∠DEF＝65°，所以∠ABC<∠DEF.
方法二：以E为顶点，EF为一边，作∠FEA′，使∠FEA′＝∠ABC，且EA′与ED在EF的同侧，如图，则∠FEA′<∠DEF.又因为∠FEA′＝∠ABC，所以∠ABC<∠DEF.2．1 从生活中认识几何图形
知识点 1 立体图形
1．下列图形中，属于立体图形的是( )
图2－1－1
2．下列物体，与足球形状类似的是( )
A．铅笔 B．烟囱帽
C．西瓜 D．电视机
3．如图2－1－2，属于棱柱的有( )
图2－1－2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．教材“做一做”变式 图2－1－3中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来．
图2－1－3
知识点 2 平面图形
5．下列各组图形中都是平面图形的是( )
A．三角形、球、圆柱
B．点、线、面、体
C．角、三角形、四边形、圆
D．点、相交线、线段、正方体
6．有下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于平面图形的是( )
A．③⑤⑥ B．①②④
C．③⑥ D．④⑤
知识点 3 几何图形的基本要素
7．几何图形的基本要素是______、________、________，包围着几何体的是________，面与面相交形成________，线与线相交形成________．
8．下列叙述错误的是( )
A．圆柱、圆锥的底面都是圆
B．正方体的六个面都是正方形
C．锥体的侧面都是三角形
D．柱体的上、下两个面一样大
9．下面几个图形中，含有曲面的立体图形是( )
图2－1－4
10．分别指出图2－1－5中的几何体有几个面，几条棱，几个顶点．
图2－1－5
知识点 4 点、线、面的运动
11．点动成________，线动成________，面动成________．
12．如图2－1－6所示，将半圆绕其直径所在的直线旋转一周，得到的几何体是( )
图2－1－6
A．球 B．圆柱
C．半球 D．圆锥
13．请从数学(几何)的角度解释下列现象：
(1)国庆节之夜，燃放的礼花在天空中留下美丽的弧线：________________；
(2)用一条笔直的细线切一块豆腐：__________；
(3)自行车辐条转动时，形成一个面：____________．
14．下列现象能说明“面动成体”的是( )
A．旋转一扇门，门运动的痕迹
B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．时钟秒针旋转时扫过的痕迹
15．图2－1－7绕虚线旋转一周得到的实物图是( )
图2－1－7 图2－1－8
16．2017·南京 不透明袋子中装有一个几何体模型，两名同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( )
A．三棱柱 B．四棱柱
C．三棱锥 D．四棱锥
17．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．图2－1－9是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是( )
图2－1－9
A．五棱柱 B．六棱柱
C．七棱柱 D．八棱柱
18．一个正方体锯掉一个角后，顶点有( )
A．7个 B．8个 C．9个 D．7个或8个或9个或10个
19．如图2－1－10所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB＝4 cm，BC＝8 cm.
(1)将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到______种大小不同的几何体；
(2)分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周得到的几何体的体积．(圆锥的体积＝
πr2h，其中π取3)
图2－1－10
20．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
图2－1－11
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 ________
长方体 8 6 12
正八面体 ________ 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______________；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x＋y的值．
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教材的地 位和作用 本节内容建立了实物和几何图形两者之间的联系，是小学所学简单几何体的认识的延续，主要为后续学习几何知识培养学生空间观察力打下基础，在中考中往往与其他内容综合命题
教 学 目 标 知识与技能 在具体情境中，认识立体图形与平面图形，并能用自己的语言描述常见几何图形的特征
过程与方法 通过实物，经历探索物体与图形的形状、大小、位置关系的过程，建立空间观念，发展几何直觉，能从实物中抽象出几何图形
情感、度 与价值观 1.体验在实际生活中几何图形的广泛存在与应用；认识几何图形与生活的紧密联系． 2.激发学生对“几何图形”学习的兴趣，以及学生爱生活、爱数学的热情
教学重 点难点 重点 认识几何图形，用自己的语言描述其几何特征
难点 了解从物体外形抽象出来的几何图形，识别几何体
易错点 几何图形的表示方法
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 如图所示，请在各图形下面的横线上写出它们的名称．
活动2 想一想 我们的生活离不开图形，如各种水果，喝水用的水杯，儿时我们玩过的积木、足球，还有我们的学习用品——文具盒、铅笔等，它们形态各异，都具有一定的形状．它们有什么特征？怎样进行分类？这就是本节课我们要讨论的一些问题
【详解详析】
1．C 2.C 3.A 4.略
5．C [解析] 球、圆柱、正方体都是立体图形，故A，D不正确；体是立体图形，故B不正确．
6．B
7．点 线 面 面 线 点
8．C [解析] 圆锥的侧面是一个曲的面．故选C.
9．D [解析] A项，角是平面图形，故A不符合题意；B项，半圆环是平面图形，故B不符合题意；C项，棱台不含曲面，故C不符合题意；D项，侧面是曲面的立体图形，故D符合题意．故选D.
10．解：(1)有6个面，10条棱，6个顶点．
(2)有8个面，18条棱，12个顶点．
(3)有8个面，12条棱，6个顶点．
11．线 面 体
12．A
13．(1)点动成线 (2)线动成面
(3)线动成面
14．A [解析] A项，旋转一扇门，门运动的痕迹说明“面动成体”，故本选项符合题意；B项，扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，故本选项不符合题意；C项，天空划过一道流星说明“点动成线”，故本选项不符合题意；D项，时钟秒针旋转时扫过的痕迹说明“线动成面”，故本选项不符合题意．
15．D [解析] 得到的实物是一个圆柱和两个圆锥组成的组合体．选D.
16．D [解析] 四棱锥的底面是四边形，侧面是4个三角形，底面有4条棱，侧面有4条棱，共8条棱．故选D.
17．B [解析] 九棱锥有18条棱，五棱柱、六棱柱、七棱柱、八棱柱的棱数分别为15，18，21，24.故选B.
18．D
19．解：(1)3
(2)以AB为轴：×3×82×4＝×3×64×4＝256(cm3)；
以BC为轴：×3×42×8＝×3×16×8＝128(cm3)．
答：以AB为轴得到的圆锥的体积是256 cm3，以BC为轴得到的圆锥的体积是128 cm3.
20．解：(1)四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V＋F－E＝2.
(2)由题意，得F－8＋F－30＝2，解得F＝20.
(3)因为有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
所以共有24×3÷2＝36(条)棱，
那么24＋F－36＝2，解得F＝14，
所以x＋y＝14.2.5 角以及角的度量
知识点 1 角的定义和表示方法
1．有下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边必须画得一样长；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．图2－5－1中能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是( )
图2－5－1
3．图2－5－2中小于平角的角有( )
图2－5－2
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
知识点 2 角的度量单位及换算
4．2017·河北 用量角器测量∠MON的度数，下列操作正确的是( )
图2－5－3
5．下列角度互化正确的是( )
A．63.5°＝63°50′ B．23°12′36″＝23.48°
C．18°18′18″＝18.33° D．22.25°＝22°15′
6．完成下列角度的换算．
(1)65.34°＝________°________′________″；
(2)72°15′＝________°；
(3)0.2°＝________′；
(4)1.45°＝________′.
7．已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，下列结论中正确的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．∠B＝∠C D．以上均不正确
8．教材练习第2题变式当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是( )
A．9点钟 B．8点钟
C．4点钟 D．8点钟或4点钟
9．由2点15分到2点30分，钟表上的分针转过的角度为________．
10．如图2－5－4所示，写出所有以点O为顶点的角：________________，写出所有以点B为顶点的小于平角的角：__________________．
图2－5－4
11．根据图2－5－5 所示的图形，回答下列问题：
图2－5－5
(1)从一点O出发引出2条射线，可组成________个角；
(2)从一点O出发引出3条射线，可组成________个角；
(3)从一点O出发引出4条射线，可组成________个角；
(4)从一点O出发引出5条射线，可组成________个角；
(5)从一点O出发引出n(n≥2，且n为正整数)条射线，可组成________个角．
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课用贴近生活的实例，引导学生动脑、动手、观察、归纳，将实际问题数学化，在用数学手段研究实际问题的过程中，去建立角及其度量的知识．角及其度量不仅是几何图形的基础，还是以后学习三角形、多边形和三角函数等内容的必备知识
教 学 目 标 知识与技能 1.认识角及角的有关概念，并会表示角． 2.知道角的度量单位，并能进行单位的转换
过程与方法 经历从现实生活中认识角的过程，通过观察、操作培养学生的观察能力和动手操作能力，以及主动参与、勇于探究的精神
情感、度 与价值观 学习的过程中，善于把角的知识与现实生活相联系，用角的知识解释生活现象
教学重 点难点 重点 1.角与角的相关概念． 2.角的表示方法
难点 角的单位换算
易错点 角的表示方法及度量单位换算
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1.我们小学学过的角有：__锐角、钝角、直角、平角和周角__． 2.填空：1周角＝__2__平角＝__4__直角
活动2 想一想 在实际生活中有没有由直线与直线、射线与射线或线段与线段组成的图形？它们能够组成怎样的图形？这节课我们就来学习相关内容
【详解详析】
1．A [解析] 只有说法④正确．故选A.
2．C 3.C 4.A
5．D [解析] A项，63.5°＝63°30′≠63°50′，故A不符合题意；
B项，23.48°＝23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合题意；
C项，18.33°＝18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合题意；
D项，22.25°＝22°15′，故D正确．故选D.
6．(1)65 20 24 (2)72.25 (3)12 (4)87
7．B [解析] 先将三个角的单位统一成度再进行比较，∠A＝25°12′＝25.2°，所以∠A＝∠C.故选B.
8．D [解析] 因为钟表上每相邻两个表示整点的大格之间的夹角是30°，所以当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，时针距分针4个格，所以只有8点钟或4点钟时符合要求．故选D.
9．90° [解析] 分针转过的角度为钟表上3个大格的角度，即3×30°＝90°.
10．∠AOB，∠AOC，∠BOC ∠ABO，∠CBO，∠CBE，∠EBA
11．(1)1 (2)3 (3)6 (4)10 (5)2.4 线段的和与差
知识点 1 线段和与差的表示
1．根据图2－4－1填空：
图2－4－1
(1)AC＝________＋________；
(2)CD＝BD－________；
(3)BC＝________－AB；
(4)CD＝AB＋BD－________．
2．如图2－4－2所示，P，Q是线段AB上的两点，且PQ＝QB，则AQ＝________＋
PQ＝AP＋________．
图2－4－2
3．如图2－4－3，下列关系式中与图不符的是( )
图2－4－3
A．AD－CD＝AC B．AB＋BC＝AC
C．BD－BC＝AB＋BC D．AD－BD＝AC－BC
4．已知线段AB＝3 cm，延长线段BA到点C，使BC＝2AB，求AC的长．
知识点 2 线段和与差的作图
5．教材例1变式 已知线段a，b，小雪作出了如图2－4－4所示的图形，其中AD是所求线段，则线段AD＝________(用含a，b的式子表示)．
图2－4－4
6．如图2－4－5，已知线段a，b(a>b)，画线段AB，使AB＝2a－2b.(不写作图过程，仅保留作图痕迹)
知识点 3 线段的中点
7．如图2－4－6，若C是线段AB的中点，则________＝________＝________；
或______＝2________＝2________．
图2－4－6
8．如图2－4－7，C，D是线段AB上的两点，D是线段AC的中点．若AB＝10 cm，
BC＝4 cm，则AD的长为( )
图2－4－7
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
9．如图2－4－8，C，D是线段AB上两点，CB＝3 cm，DB＝5 cm，D是AC的中点，则线段AB的长为( )
图2－4－8
A．7 cm B．8 cm C．11 cm D．13 cm
10．如图2－4－9，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，如果AB＝10 cm，AM＝3 cm，那么NC＝________ cm.
图2－4－9
11．如图2－4－10，已知C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，BD＝2 cm，求AD的长．
图2－4－10
12．点M在线段AB上，下面给出的四个式子中，不能判定M是线段AB的中点的是( )
A．AB＝2AM B．BM＝AB
C．AM＝BM D．AM＋BM＝AB
13．A，B，C三点在同一直线上，且线段AB＝6 cm，BC＝4 cm.若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( )
A．5 cm B．1 cm
C．5 cm或1 cm D．无法确定
14．如图2－4－11，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP＝PB.若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，则绳子的原长为( )
图2－4－11
A．60 cm B．100 cm
C．150 cm D．100 cm或150 cm
15．如图2－4－12，已知M是线段AB的中点，N是线段AM上的点，且满足AN∶
MN＝1∶2.若AB＝12 cm，则线段AN＝________ cm.
图2－4－12
16．如图2－4－13，已知线段AB＝80 cm，M为AB的中点，点P在MB上，N是PB的中点，且NB＝14 cm，求MP的长．
图2－4－13
17．画线段MN＝3 cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ，延长线段MN至点A，使AN＝MN；延长线段NM至点B，使BN＝3BM，根据所画图形解答下列各题：
(1)求线段BM的长度；
(2)求线段AN的长度；
(3)Q是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？
18．线段AB上有两点P，Q，点P将AB分成两部分，AP∶PB＝2∶3；点Q将AB也分成两部分，AQ∶QB＝4∶1，且PQ＝3 cm.求AP，QB的长．
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本课让学生动手操作画图，通过图形观察计算线段的长度，为今后熟练画出各种情况的几何图形打下良好的基础
教 学 目 标 知识与技能 1.借助延长线的概念，画出正确的几何图形．了解线段的和、差、倍、分的概念． 2.理解线段中点的概念，会用数量关系表示中点及进行相应计算
过程与方法 通过让学生动手操作画图，提高学生的动手能力，观察计算能力
情感、度 与价值观 1.渗透了数形结合及分类讨论的数学思想． 2.初步形成简单的几何推理模式
教学重 点难点 重点 线段中点的定义及有关计算
难点 线段和差的概念及其涉及的数形结合问题
易错点 画线段以及计算线段的和差时，由于思维定式考虑不周
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1.画一条线段与已知线段相等的方法有哪些？ 2.已知线段AB，如图所示． 你能用圆规、直尺画出线段CD，使线段CD＝AB吗？ [答案] 1.度量法和尺规作图法． 2.(1)画射线CF； (2)以点C为圆心，AB为半径画弧，交射线CF于点D，线段CD即为所求．图略
活动2 想一想 1.我们知道有理数可以相加减，那么作为几何图形的线段是否可以相加减呢？ 2.观察：如图所示，A，B，C三点在直线l上． (1)图中有几条线段？ (2)这几条线段之间有怎样的等量关系？ [答案] (1)图中有三条线段：AB，AC，BC. (2)它们有如下的关系：AB＋BC＝AC，AC－BC＝AB， AC－AB＝BC
【详解详析】
1．(1)AB BC (2)BC
(3)AC (4)AC
2．AP PB [解析] 因为AQ＝AP＋PQ，PQ＝QB，所以PQ＝PB，所以AQ＝AP＋PB.
3．C
4．解：如图所示．因为BC＝2AB，AB＝3 cm，
所以BC＝6 cm，
所以AC＝BC－AB＝6－3＝3(cm)．
5．2a－b 6.略
7．AC BC AB AB AC BC
8．B [解析] 因为D是线段AC的中点，所以AC＝2AD.因为AC＝AB－BC＝10－4＝6(cm)，所以AD＝3 cm.
9．A [解析] 因为CB＝3 cm，DB＝5 cm，所以CD＝5－3＝2(cm)．因为D是AC的中点，所以AC＝2CD＝4 cm，所以AB＝AC＋CB＝4＋3＝7(cm)．
10．2 [解析] 因为M是线段AC的中点，AM＝3 cm，所以AC＝2AM＝6 cm.因为AB＝10 cm，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm)．
因为N是线段BC的中点，所以NC＝BC＝×4＝2(cm)．
11．解：因为D是线段CB的中点，BD＝2 cm，
所以CB＝2BD＝4 cm，CD＝BD＝2 cm.
因为C是线段AB的中点，
所以AC＝CB＝4 cm，
所以AD＝AC＋CD＝4＋2＝6(cm)．
12．D
13．C [解析] 分点B在线段AC上和点C在线段AB上两种情况，如图①，
当点B在线段AC上时，
因为AB＝6 cm，BC＝4 cm，M，N分别为AB，BC的中点，所以MB＝AB＝3 cm，
BN＝BC＝2 cm，
所以MN＝MB＋BN＝5 cm；
如图②，
当点C在线段AB上时，
因为AB＝6 cm，BC＝4 cm，M，N分别为AB，BC的中点，所以MB＝AB＝3 cm，
BN＝BC＝2 cm，所以MN＝MB－BN＝1 cm.故选C.
14．D
15．2
16．解：因为N是PB的中点，
所以PB＝2NB＝2×14＝28(cm)．
又因为M是AB的中点，
所以AM＝MB＝AB＝×80＝40(cm)，
所以MP＝MB－PB＝40－28＝12(cm)．
17．[解析] 正确作出图形是解题的关键．
解：根据题意画出图形，如图所示．
(1)因为MN＝3 cm，MQ＝NQ，
所以MQ＝NQ＝1.5 cm.
又因为BM＝BN，
所以BM＝MQ＝NQ＝1.5 cm.
(2)因为AN＝MN，MN＝3 cm，
所以AN＝1.5 cm.
(3)由题意，知BM＝MQ＝QN＝NA，
所以Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点．
图中共有10条线段，它们分别是线段BM，BQ，BN，BA，MQ，MN，MA，QN，QA，NA.
18．解：画出图形．
设AP＝2x cm，PB＝3x cm，则AB＝5x cm.
因为AQ∶QB＝4∶1，所以AQ＝4x cm，QB＝x cm，所以PQ＝PB－QB＝2x cm.
因为PQ＝3 cm，所以2x＝3，所以x＝1.5，
所以AP＝3 cm，QB＝1.5 cm.第2课时 互余、互补及其性质
知识点 1 互余、互补的概念
若∠α与∠β互为余角，则∠α＋∠β＝________；若∠α与∠β互为补角，则∠α＋
∠β＝________．
2．如图2－7－15，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )
图2－7－15
A．50 B．60° C．140° D．150°
3．下列叙述正确的是( )
A．180°的角是补角
B．110°和90°的角互为补角
C．100°，20°，60°的角互为补角
D．120°和60°的角互为补角
4．已知∠1＝30°，则∠1的余角度数是________，∠1的补角度数是________．
5．已知∠α的补角为54°，∠β的余角为48°，则∠α的度数比∠β的度数多________．
6．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补．若∠1＝63°，则∠3＝________．
7．(1)已知∠α的补角是它的3倍，求∠α的度数；
(2)一个角的余角比这个角的少30°，求这个角的度数．
知识点 2 互余、互补的性质
8．(1)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．
(2)若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．
(3)若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．
(4)若∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：________________________．
9．如图2－7－16，O是直线AE上的一点，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)图中互余的角有哪几对？
(2)图中互补的角有哪几对？
图2－7－16
10．将一副三角尺按图2－7－17所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是( )
图2－7－17
11．如图2－7－18，∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线OM，ON分别平分∠AOB与∠COD，已知∠MON＝90°，则∠AOB等于( )
图2－7－18
A．20° B．30° C．40° D．45°
12．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于( )
A．45° B．60° C．90 ° D．180°
13．一个角的余角与这个角的补角也互为补角，这个角的度数是________．
14．如图2－7－19，O为直线AB上的一点，∠AOE为直角，∠DOF＝90°，OB平分∠COD，则图中与∠DOE互余的角有哪些，与∠DOE互补的角有哪些？
图2－7－19
15．如图2－7－20，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠DOF＝90°.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数．
图2－7－20
16．如图2－7－21①，∠AOB，∠COD都是直角．
(1)试猜想，∠AOD和∠BOC 在数量上是否存在相等、互余或互补的关系？并说明理由．
(2)当∠COD 绕点 O 旋转到图②所示的位置时，(1)中的猜想还成立吗？
图2－7－21
17．按图2－7－22所示的方法折纸，然后回答问题：
(1)∠2是多少度的角？为什么？
(2)∠1与∠3有何关系？
(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？
图2－7－22
教师详解详析
【备课资源】
教材的地 位和作用 本节课是在学习了角的度量及角的大小的基础上，对角的数量关系作进一步探讨．而角平分线的性质、补角和余角的性质又是今后学习对顶角相等及平行线的判定和性质的重要依据．另外教材在此已开始对学生提出“说点儿理”的要求，为以后推理证明题做准备，并为学生进一步学习平面几何图形打下基础
教 学 目 标 知识与技能 1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义．会进行角的和差运算，知道如何进位或借位． 2.了解角平分线的意义及其简单应用，了解两角互余、两角互补的意义，会正确表示一个角的余角或补角，能熟练地求出一个角的余角或补角． 3.通过探究掌握余角补角的性质“同角(等角)的余角相等”“同角(等角)的补角相等”，培养学生的归纳、分析能力
过程与方法 在教学中注重培养学生合情推理和演绎推理的能力，引导学生在实验、观察、交流、比较等活动的基础上通过类比、总结逐渐培养学生的动手能力、几何语言的表达能力以及几何识图能力，使学生的逻辑逐步清晰、过程逐渐规范
情感、度 与价值观 增强学生学数学的愿望和信心，培养学生善于观察、善于发现、主动探索、勇于实践的科学精神．初步培养学生推理的严谨性和结论的确定性
教学重 点难点 重点 1.角的和与差、角平分线及其意义． 2.互余、互补的概念及其性质
难点 两角互余、两角互补的本质特征，互余、互补的性质
易错点 运用互余、互补的概念及其性质进行与角相关的运算
教学 导入 设计 活动1 忆一忆 1．观察图形，解决问题：图中都有哪些角，如何表示？ 2.你们能用手中的三角尺画出30°，45°，60°，90°的角吗？ [答案] 1.略 2.略
活动2 想一想 1.“忆一忆”1题的图形中，那些角之间有怎样的关系呢？ 2.你能用三角尺作出15°，75°，150°的角吗？说明你的理由． [答案] 1.略 2.略
【详解详析】
1．90° 180°
2．C 3.D
4．60° 150°
5．84° [解析] 因为∠α的补角为54°，∠β的余角为48°，所以∠α＝180°－
54°＝126°，∠β＝90°－48°＝42°，所以∠α－∠β＝126°－42°＝84°.
6．153° [解析] 因为∠1是∠2的余角，∠3是∠2的补角，所以∠3－∠1＝90°，
所以∠3＝90°＋63°＝153°.
7．解：(1)由题意，得3∠α＋∠α＝180°，解得∠α＝45°.
(2)设这个角的度数为x，则它的余角的度数为(90°－x)．
由题意，得x－(90°－x)＝30°，
解得x＝80°.
即这个角的度数是80°.
8．(1)＝ 同角的余角相等 (2)＝ 等角的余角相等 (3)＝ 同角的补角相等 (4)＝ 等角的补角相等
9．解：(1)∠AOB与∠DOE，∠AOB与∠COD，∠COD与∠BOC，∠BOC与∠DOE都是互余的角．
(2)∠AOB与∠BOE，∠BOC与∠BOE，∠AOC与∠COE，∠COD与∠AOD，∠EOD与∠AOD都是互补的角．
10．C 11.B 12.C
13．45° [解析] 设这个角的度数为x，则90°－x＋180°－x＝180°，解得x＝45°.
14．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．
解：因为∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－90°＝90°，
所以∠BOD＋∠DOE＝90°，
即∠DOE与∠BOD互余．
因为OB平分∠COD，
所以∠BOC＝∠BOD，
所以∠DOE与∠BOC互余．
因为∠DOF＝90°，
所以∠DOE＋∠EOF＝90°，
所以∠DOE与∠EOF互余，
即与∠DOE互余的角有∠BOD，∠BOC，∠EOF.
因为∠DOE＋∠BOF＝∠DOE＋∠EOF＋∠BOE＝∠DOF＋∠BOE＝180°，
所以∠DOE与∠BOF互补．
因为∠DOE＋∠COE＝∠DOE＋∠COB＋∠BOE＝∠DOE＋∠BOD＋∠BOE＝
∠BOE＋∠BOE＝180°，
所以∠DOE与∠COE互补，
即与∠DOE互补的角有∠BOF，∠COE.
15．解：(1)因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC＋∠AOD＝180°，∠BOD＋∠AOD＝180°，
所以∠AOC和∠BOD分别与∠AOD互补．
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF.
因为∠DOF＝90°，所以∠COF＝∠DOF＝90°，
所以∠AOC＝∠DOE，所以∠DOE也是∠AOD的补角，
所以与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2)因为OF平分∠AOE，
所以∠EOF＝∠AOE＝60°.
因为∠DOF＝90°，所以∠DOE＝∠DOF－∠EOF＝90°－60°＝30°.
所以∠BOD＝180°－∠AOE－∠DOE＝180°－120°－30°＝30°.
16．解：(1)猜想：∠AOD 与∠BOC 互补．
因为∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋∠BOD，
∠BOD＝90°－∠BOC，
所以∠AOD＝90°＋90°－∠BOC，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠AOD与∠BOC互补．
(2)(1)中的猜想仍然成立．
因为∠AOB，∠COD都是直角，
所以∠AOB＋∠COD＝180°.
又因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝ 360°，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补．
17．解：(1)∠2是90°的角．
理由如下：
由折叠可知，∠1＋∠3＝∠2.
又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，
所以2∠2＝180°，
所以∠2＝90°.
(2)∠1与∠3互为余角，或∠1＋∠3＝90°.
(3)∠1与∠AEC互补，∠3与∠BEF互补，
或∠1＋∠AEC＝180°，∠3＋∠BEF＝180°.
