7.1.4随机事件的运算同步练习-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（含答案）

1.4　随机事件的运算
基础过关练
题组一　事件的关系与运算
1.某人打靶时连续射击两次,击中靶心分别记为A,B,不中分别记为,,事件“至少有一次击中靶心”可记为(　　)
A.A　 B.　+AB
C.B+ D.B+A　+AB
2.抛掷一枚骰子,记“朝上的面的点数是1或2”为事件A,“朝上的面的点数是2或3”为事件B,则(　　)
A.A B
B.A=B
C.事件A+B表示朝上的面的点数是1或2或3
D.事件AB表示朝上的面的点数是1或2或3
3.(山东潍坊一中月考)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”,事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”,事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”,事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”,则下列关系不正确的是(　　)
A.A D B.B∩D=
C.A∪C=D D.A∪B=B∪D
题组二　互斥事件与对立事件
4.下列说法正确的是(　　)
A.互斥事件与对立事件含义相同
B.互斥事件一定是对立事件
C.对立事件一定是互斥事件
D.对立事件可以是互斥事件,也可以不是互斥事件
5.(湖北武汉二中月考)如图,随机事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么(　　)
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
6.(安徽黄山质检)抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为(　　)
A.至多有2件次品
B.至多有1件次品
C.至多有2件正品
D.至少有2件正品
7.从一批产品中取出三件产品,设随机事件A为“三件产品全不是次品”,随机事件B为“三件产品全是次品”,随机事件C为“三件产品中有次品,但不全是次品”,则下列结论中错误的是(　　)
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个都不互斥
8.(辽宁大连月考)已知盒中有5个红球,3个白球,从盒中任取2个球,则下列说法中正确的是(　　)
A.全是白球与全是红球是对立事件
B.没有白球与至少有一个白球是对立事件
C.只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D.全是红球与有一个红球是包含关系
9.下列说法中正确的是(　　)
A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A)+P(B)=1
B.若事件A与事件B满足条件:P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是对立事件
C.某人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次击中靶心”与事件“至多有一次击中靶心”是对立事件
D.把红,橙,黄,绿4张纸牌随机分给甲,乙,丙,丁4人,每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件
10.(陕西西安高三月考)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数,给出下列事件:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是　　　　(填序号).
题组三　用样本点表示事件
11.试验E1:连续抛掷一枚骰子2次,观察每次出现的点数.
①事件A表示随机事件“2次掷出的点数之和为5”;
②事件B表示随机事件“2次掷出的点数之差的绝对值为2”;
③事件C表示随机事件“2次掷出的点数之差的绝对值不超过1”;
④事件D表示随机事件“2次掷出的点数之和为偶数”.
试用样本点表示下列事件,并指出样本点的个数.
(1)A∩C;(2)B∩D;(3)B∪C.
能力提升练
题组一　互斥事件与对立事件
1.(多选)(湖北孝感高二期中,)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有一张红色
C.2张卡片至少有一张红色
D.2张卡片都为绿色
2.(多选)(湖南长沙南雅中学月考,)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,则下列不是对立事件的为(　　)
A.恰有1名男生和恰有2名男生
B.至少有1名男生和至少有1名女生
C.至少有1名男生和全是男生
D.至少有1名男生和全是女生
3.(多选)(福建福州高二期中,)一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”,事件Q表示“取出的球都是白球”,事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”,则下列结论错误的是(　　)
A.P和R是互斥事件
B.P和Q是对立事件
C.Q和R是对立事件
D.Q和R是互斥事件,但不是对立事件
题组二　事件的运算及其表示
4.(北京大兴高一模拟,)若A与B是互斥事件,则下列结论正确的是 (　　)
A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1
5.(山东临沂沂水一中模拟,)先后掷一枚质地均匀的骰子两次,落在水平桌面后,记朝上的面的点数分别为x,y,则事件A:x,y都为偶数,事件B:x≠y的交事件包含的样本点的个数为　　　.
6.(北京昌平模拟,)随机试验E的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},随机事件A={2,4,5,8},随机事件B={1,3,5,8},求,,∩,∪.
7.()试验E:箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
(2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
(3)写出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
8.(河南洛阳高二模拟,)编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(1)将得分在对应区间内的人数填入下表的空格:
区间 [10,20) [20,30) [30,40]
人数
(2)试验E:从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人.
①用运动员编号列出试验E的样本空间,并指出样本点的个数;
②若记随机事件A为“这2人得分之和大于50”,随机事件B为“这2人得分之和为奇数”,试用样本点表示∩B,并说出∩B表示的事件.
答案全解全析
基础过关练
1.D　易知“至少有一次击中靶心”可记为B+A+AB.
2.C　由已知得A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以事件A+B表示朝上的面的点数为1或2或3,故选C.
3.D　“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中;“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中飞机,另一种是两枚炮弹都击中飞机.∵B∪D中包含该试验的所有样本点,而A∪B中不包含“恰好有一枚炮弹击中飞机”这一事件,∴A∪B≠B∪D.
4.C　直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.
5.B　由Venn图可知∪是必然事件,故选B.
6.B　至少有2件次品包含有2或3或4或5或6或7或8或9或10件次品,共9种结果,故它的对立事件为有1或0件次品,即至多有1件次品.
7.D　由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生,因此两两互斥.
8.B　从盒中任取2个球,出现球的颜色情况有三种:全是红球,有一个红球且有一个白球,全是白球,至少有一个的对立面是一个也没有,故选B.
9.D　对于A,事件A与事件B是互斥事件,但不一定是对立事件,故A不正确;对于B,若是在同一试验下,P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件,但若在不同试验下,虽然有P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,但事件A和事件B不一定对立,故B不正确;对于C,事件“至少有一次击中靶心”与事件“至多有一次击中靶心”不是对立事件,故C不正确;对于D,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件,故D正确.
10.答案　③
解析　①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件,也不是对立事件;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件,也是对立事件;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件,也不是对立事件.
故答案为③.
11.解析　用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次抛掷的点数,j表示第二次抛掷的点数,
则该试验的样本空间Ω=.
(1)A∩C={(2,3),(3,2)},样本点的个数为2.
(2)B∩D={(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2),(4,6),(5,3),(6,4)},样本点的个数为8.
(3)B∪C={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)},样本点的个数为24.
能力提升练
1.ABD　从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中,与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”.“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件.故选ABD.
2.ABC　A中两个事件是互斥事件,不是对立事件.理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”的实质是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.
B中两个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种情况.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种情况,它们可同时发生.
C中两个事件不是互斥事件,从而也不是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生.
D中两个事件是互斥事件,也是对立事件.理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种情况,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以是对立事件.故选ABC.
3.ABD　袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的方法有如下几种:①取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.
事件R包括①③两种情况,∴事件P是事件R的子事件,故A中结论不正确;
事件Q与事件R互斥且对立,故C中结论正确,D中结论不正确;
事件P与事件Q互斥,但不对立,故B中结论不正确.故选ABD.
4.D　由于A与B是互斥事件,所以A与B不可能同时发生,如果A与B互斥且对立,则P(A)+P(B)=1;如果A与B互斥但不对立,则P(A)+P(B)<1.综上,P(A)+P(B)≤1.
5.答案　6
解析　由题意知,事件A与B的交事件包含的样本点为(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(6,2),(6,4), 共6个.
6.解析　解法一:由题意得A∪B={1,2,3,4,5,8},Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∴={6,7,9}.
由题意得A∩B={5,8},∴={1,2,3,4,6,7,9}.
由题意得={1,3,6,7,9},={2,4,6,7,9},∴∩={6,7,9},∪={1,2,3,4,6,7,9}.
解法二:作出Venn图,如图所示,由图可以直接得出结果.
∴={6,7,9},={1,2,3,4,6,7,9},∩={6,7,9},∪={1,2,3,4,6,7,9}.
7.解析　(1)分别设3双手套为a1a2;b1b2;c1c2,其中a1,b1,c1分别代表左手的3只手套,a2,b2,c2分别代表右手的3只手套.试验E的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},样本点的个数为15.
(2)随机事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,
c2),(b2,c1),(b2,c2)},样本点的个数为12.
随机事件B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)},样本点的个数为6.
随机事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},样本点的个数为6.
(3)A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)};
B∩C= ;
A∩C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(b1,c2),(a2,c1),(b2,c1)};
B∪C={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2),(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),
(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)}.
8.解析　(1)由得分记录表,可得从左到右依次应填4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,试验E的样本空间Ω={(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13)},样本点的个数为15.
②随机事件A={(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11)}.
随机事件B={(A3,A4),(A3,A10),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A11),(A5,A10),(A5,A13),(A10,A11),(A11,A13)}.
={(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A13),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A13),(A11,A13)}.
∩B={(A3,A4),(A3,A10),(A3,A13),(A5,A13),(A11,A13)}.
∩B表示的事件为“这2人得分之和不超过50且为奇数”.