7.3频率与概率 同步练习（含答案）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§3　频率与概率
基础过关练
题组一　用频率估计概率
1.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取出一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9
则取到的号码为奇数的频率是(　　)
A.0.53　　　　B.0.5　　　　C.0.47　　　　D.0.37
2.(辽宁抚顺模拟)从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品,若用M表示“抽到次品”这一事件,则对事件M的说法正确的是(　　)
A.事件M发生的概率为
B.事件M发生的频率为
C.事件M发生的概率接近
D.事件M发生的频率接近
3.给出下列三种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,若从中任取100件,则必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果出现3次正面,因此,出现正面的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任选一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)若西安市某学校从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
题组二　概率的意义
5.某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明(　　)
A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
6.(山东青岛高三期中)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 t的生活垃圾.经分拣以后数据(单位:t)统计如下表所示,根据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是(　　)
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
A.厨余垃圾投放正确的概率为
B.居民生活垃圾投放错误的概率为
C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱
D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20 000
7.(河北衡水武邑中学模拟)某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有2套次品,则该厂所生产的2 500套座椅中大约有　　　　套次品.
8.对一批衬衣进行质量抽检,检验结果如下表所示:
抽取件数 50 100 200 500 600 700 800
次品件数 0 20 12 27 27 35 40
次品频率 0 0.20 0.06 0.054
(1)将上面统计表补充完整;
(2)记事件A为任取一件衬衣为次品,求P(A);
(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,若销售1 000件衬衣,则至少需要进多少件衬衣 (计算结果保留整数)
能力提升练
题组一　概率的意义
1.(四川遂宁期末,)供电部门对某社区1 000位居民年12月份的用电情况进行统计后,将其用电量(单位:千瓦时)分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]五组,整理得到如下所示的频率分布直方图,则下列说法中错误的是(　　)
A.12月份用电量人数最多的一组有400人
B.12月份用电量不低于20千瓦时的有500人
C.12月份人均用电量为25千瓦时
D.在这1 000位居民中任选1位协助收费,选到的居民用电量在[30,40)的概率为
2.(江苏常州模拟,)蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类,在我国的云南及周边各省都有分布,春暖花开的时候是放蜂的大好时机.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂,养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂,假设每箱中蜜蜂的数量相同,那么,该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人　　　　放养的比较合理(　　)
A.甲 B.乙
C.甲和乙 D.不能确定
3.(多选)()下列说法错误的有(深度解析)
A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值
B.在同一次试验中,不同的样本点不可能同时发生
C.任意事件A发生的概率P(A)满足0D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件
4.()已知随机事件A发生的概率是0.02,事件A出现了10次,那么共进行了
　　　　次试验.
5.(浙江宁波高一模拟,)在高考数学试题中有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,则随机选择其中1个选项正确的概率是.某学生家长说:“要是都不会做,那么每题都随机选择其中的1个选项,则一定有3道题答对.”这句话　　　　(填“正确”或“错误”).
题组二　用频率估计概率
6.(上海吴淞中学模拟,)某比赛为甲、乙两名运动员制订下列发球规则:
规则一:投掷一枚硬币,出现正面向上,甲发球,否则乙发球;
规则二:从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球;
规则三:从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机地取出2个球,如果同色,甲发球,否则乙发球.
其中对甲、乙公平的规则是(　　)
A.规则一和规则二 B.规则一和规则三
C.规则二和规则三 D.规则二
7.()对某厂生产的某种产品进行抽样检查,结果如下表所示:
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 478
根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查　　　　件产品.
8.(浙江杭州二中模拟,)某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在校门口每2分钟随机抽取一名学生,登记佩戴了胸卡的学生的名字,结果在150名学生中有60名学生佩戴胸卡.学校调查了初中部的所有学生,发现有500名学生佩戴胸卡.试估计该中学初中部共有多少名学生.
题组三　统计与概率的综合应用
9.(江西南昌段考,)某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查,共有100个人接受了调查,他们被要求在“赞成调整”“反对调整”“对这次调查不发表看法”中任选一项,调查结果如下表:
男 女 合计
赞成调整 18 9 27
反对调整 12 25 37
对这次调查不发表看法 20 16 36
合计 50 50 100
随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少
10.(山东潍坊中学调考,)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“ ”表示未购买.
　　　　商品 顾客人数　　　 甲 乙 丙 丁
100 √ √ √
217 √ √
200 √ √ √
300 √ √
85 √ ×
98 √ ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大
11.(甘肃兰州模考,)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量(单位:辆)如下表.
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
现按分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A类有10辆.
(1)求z的值;
(2)用分层随机抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本视为一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(3)用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测,它们的得分(单位:分)如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.从这8个数中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
12.(四川宜宾高三期末,)某次高三年级模拟考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,为下一步教学作参考依据,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本.现采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目,有360人选做B题目,选取的样本中,A题目的成绩平均数为5,方差为2,B题目的成绩平均数为5.5,方差为0.25.
(1)用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差;
(2)本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查,求取到的两个成绩来自不同题目的概率.
答案全解全析
基础过关练
1.A　取到的号码为奇数的频率是=0.53.故选A.
2.B　由题意可知,事件M发生的频率为,由于只做了一次试验,故不能得出概率接近的结论.故选B.
3.A　由频率与概率之间的联系与区别知①②③均不正确.故选A.
4.解析　(1)由题中表格可知,在4月份30天的天气中,不下雨的天数是26,则从中任选一天,该天不下雨的频率为=,用频率估计概率,则在4月份任选一天,西安市在该天不下雨的概率约为.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为=,用频率估计概率,则运动会期间不下雨的概率约为.
5.D　合格率是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小.
6.C　由题中表格可得,厨余垃圾投放正确的概率为=;可回收物投放正确的概率为=;其他垃圾投放正确的概率为=.
对于A,厨余垃圾投放正确的概率为,故A正确;
对于B,生活垃圾投放错误的有200+60+40=300(t),故生活垃圾投放错误的概率为=,故B正确;
对于C,因为“厨余垃圾”箱投放正确的概率为=,
“可回收物”箱投放正确的概率为=,“其他垃圾”箱投放正确的概率为=,所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾”箱,故C不正确;
对于D,因为厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数为=200,
所以方差为×[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)2]=20 000,故D正确.故选C.
7.答案　50
解析　设有n套次品,则≈,解得n≈50,所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.
8.解析　(1)∵=0.045,=0.05,=0.05,
∴题表后三格中应依次填入0.045,0.05,0.05.
(2)∵抽取的总数是50+100+200+500+600+700+800=2 950,
次品总数是20+12+27+27+35+40=161,
∴P(A)=≈0.05.
(3)设需要进x件衬衣,则(1-0.05)x≥1 000,
解得x≥≈1 053,
∴至少需要进1 053件衬衣.
能力提升练
C　由频率分布直方图可知12月份用电量人数最多的一组有0.04×10×
1 000=400(人),故A中说法正确;12月份用电量不低于20千瓦时的有1 000-0.01×10×1 000-0.04×10×1 000=500(人),故B中说法正确;易知各组对应的人数依次为100,400,300,100,100,所以12月份人均用电量为
=22(千瓦时),故C中说法错误;用电量在[30,40)的有100人,故在这1 000位居民中任选1位协助收费,选到的居民用电量在[30,40)的概率为=,故D中说法正确.故选C.
2.B　由题意可知,从养蜂人甲放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,而从养蜂人乙放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为,所以认为这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的比较合理.故选B.
3.CD　∵随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,∴A中说法正确;∵多次试验的结果可能会有多种,但每次试验只会出现一种结果,∴在同一次试验中,不同的样本点不可能同时发生,∴B中说法正确;必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0且小于1,∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,∴C中说法错误;若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是小概率事件,但不是不可能事件,∴D中说法错误.故选CD.
导师点睛　频率是较少数据统计的结果,是一种具体的趋势和规律.在进行大量重复试验后,频率具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增加,这种摆动幅度越来越小,这个常数就是这个事件发生的概率.
4.答案　500
解析　设共进行了n次试验,则有=0.02,解得n=500,故共进行了500次试验.
5.答案　错误
解析　把解答一道选择题作为一次试验,选择正确选项的概率是,说明答对的可能性为.做12道选择题,即进行了12次试验,每次试验的结果都是随机的,那么答对3道题的可能性较大,但是并不一定答对3道题,可能都选错,也可能有1,2,3,4,…,甚至12道题都选择正确.
6.B　对于规则一,两人发球的可能性都是,是公平的.
对于规则二,记2个红球分别为红1、红2,2个黑球分别为黑1、黑2,则随机取出2个球的情况有(红1,红2),(红1,黑1),(红1,黑2),(红2,黑1),(红2,
黑2),(黑1,黑2),共6种,其中同色的情况有2种,所以甲发球的可能性为,不公平.
对于规则三,记3个红球分别为红1、红2、红3,则随机取出2个球的情况有
(红1,红2),(红1,红3),(红1,黑),(红2,红3),(红2,黑),(红3,黑),共6种,其中同色的情况有3种,所以两人发球的可能性均为,是公平的.
7.答案　1 000
解析　由题表中数据可知:抽查5次,抽到合格产品的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率为0.95.设需抽查n件产品,则=0.95,所以n=1 000,故大约需抽查1 000件产品.
8.解析　设该中学初中部共有n名学生,依题意得≈,解得n≈1 250.
所以该中学初中部大约有1 250名学生.
9.解析　用A表示事件“对这次调整表示反对”,B表示事件“对这次调整不发表看法”,则A和B是互斥事件,并且A∪B表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”.由互斥事件的概率加法公式,得P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=0.73.
10.解析　(1)从题中统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2.
(2)从题中统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,
所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3.
(3)估计顾客同时购买甲和乙的概率为=0.2,
估计顾客同时购买甲和丙的概率为=0.6,
估计顾客同时购买甲和丁的概率为=0.1,
所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
11.解析　(1)依题意知,从每层抽取的比率为,从而生产的轿车总数为50×40=2 000,所以z=2 000-100-150-300-450-600=400.
(2)由(1)知C类轿车共生产1 000辆,又样本容量为5,故抽取的比率为,即抽取的5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型,从中任取2辆,一共有10种不同取法,记事件A为“至少有1辆舒适型轿车”,则事件表示抽取到2辆标准型轿车,易知事件共包含3个样本点,从而事件A包含的样本点个数为7,所以P(A)==0.7.
(3)样本平均数为×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0,记事件B为“从这8个数中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”,则事件B包含的样本点有6个,所以P(B)==0.75.
12.解析　(1)由题意知,按照分层随机抽样的方法,抽出的样本中A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为x1,x2,…,x6;B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为y1,y2,y3,y4.
记样本的平均数为,样本的方差为s2,由题意可知,
===5.2,
==[-2×0.2×(xi-5)+0.22],
==+2×0.3×(yi-5.5)+0.32],
所以s2=
===1.36,
所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.
(2)由题意得,样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别设为x1,x2,x3,B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别设为y1,y2.
从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有10种取法,为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),(x1,y1),(x2,y1),(x3,y1),(x1,y2),(x2,y2),(x3,y2),其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为(x1,y1),(x2,y1),(x3,y1),(x1,y2),(x2,y2),(x3,y2),
记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件A,
则P(A)==0.6.