7.4事件的独立性 同步练习（含答案）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　事件的独立性
基础过关练
题组一　事件的独立性的判断
1.抛掷一枚硬币出现正面或反面,记事件A表示“出现正面”,事件B表示“出现反面”,则(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　
A.A与B相互独立
B.P(AB)=P(A)·P(B)
C.A与不相互独立
D.P(AB)=
2.袋内装有除颜色外完全相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,若用事件A表示“第一次摸得白球”,事件B表示“第二次摸得白球”,事件C表示“第二次摸得黑球”,那么事件A与B,A与C之间的关系是(　　)
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
3.若事件A,B发生的概率都大于零,则(　　)
A.如果A,B是互斥事件,那么A与也是互斥事件
B.如果A,B不是相互独立事件,那么它们一定是互斥事件
C.如果A,B是相互独立事件,那么它们一定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件,那么它们一定是对立事件
4.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是(　　)
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又相互独立
题组二　独立事件的概率
5.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)=(　　)
A.0 B.
C. D.
6.若甲、乙两人投球的命中率分别为,,则甲、乙两人各投一次,其中恰好命中一次的概率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
7.如图所示,在两个圆盘中,指针落在每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.(四川德阳高二调考)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,已知三人是否达标彼此之间互不影响,则三人都达标的概率是　　　　,三人中至少有一人达标的概率是　　　　.
题组三　事件独立性的综合应用
9.(山西太原一中月考)三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,且是互相独立的.若将它们接入电路中,则电路不发生故障的概率是(　　)
A. B. C. D.
10.(河南省实验中学月考)已知甲、乙两位射手,甲击中目标的概率为0.7,乙击中目标的概率为0.6,如果甲、乙两位射手的射击相互独立,那么甲、乙两位射手同时瞄准一个目标射击,目标被击中的概率为　　　　.
11.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题是否答对相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是　　　　.
12.(湖北襄阳五校联考)为了实现中国梦的构想,在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功相互独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
能力提升练
题组一　独立事件的概率
1.(河北沧州高二下学期期中,)端午节放假,甲、乙、丙回老家过节的概率分别为,,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少一人回老家过节的概率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.(湖北武汉高三调研,)一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个,某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,若任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(黑龙江牡丹江模拟,)从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他几项标准合格的概率为,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)(　　)
A. B. C. D.
4.()甲、乙两名同学参加一项射击游戏,游戏规定每击中一次目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为(　　)
A. B. C. D.
5.(山东德州高一模考,)甲、乙两人各进行一次射击,如果两人射中目标的概率都是0.8,求:
(1)两人都射中目标的概率;
(2)恰有一人射中目标的概率;
(3)至少有一人射中目标的概率.
题组二　事件独立性的综合应用
6.(河北沧州模拟,)体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,并视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学每次投篮投中的概率均为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=　 　.
7.()本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为,,两人租车时间都不会超过四小时.若甲、乙两人何时还车相互独立,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为　　　　.
8.(湖北黄冈中学高三第三次模拟,)10月1日,某品牌的两款新手机(记为W型号,T型号)同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量(单位:部),得到下表:
A B C D E
W型号手机销量 6 6 13 8 11
T型号手机销量 12 9 13 6 4
若在10月1日当天,从A,B这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率.
答案全解全析
基础过关练
1.C　由题意得P(A)=,P(B)=,P(AB)=0,故A与B,A与均不相互独立,A,B,D不正确,故选C.
2.A　由于摸球是有放回地,故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立,而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
3.C　当事件A,B的关系如图1所示时,A与B互斥,但A与不互斥,A错误;
当事件A与B不相互独立时,A与B也不一定是互斥事件,B错误;
如果事件A与B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B),依题意得P(A)·P(B)>0,因此P(AB)≠0,即事件A与事件B一定能同时发生,故它们不是互斥事件,C正确;
当事件A,B的关系如图2所示时,A+B是必然事件,但A,B不是对立事件,D错误.故选C.
　　　 图1　　　　　　图2
4.C　∵P(A)=1-P()=1-=,
∴P(AB)=P(A)P(B),∴事件A与B相互独立.又∵P(AB)≠P(A)+P(B),∴事件A与B并不互斥.
5.B　由题意可得P(EF)=P(E)·P(F)=×=.
6.A　“甲投球一次命中”记为事件A,“乙投球一次命中”记为事件B,“甲、乙两人各投一次,其中恰好命中一次”记为事件C,则C=(A∩)∪(∩B),且(A∩)与(∩B)互斥,则P(C)=P[(A∩)∪(∩B)]=P(A∩)+P(∩B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×==.故选A.
7.A　“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)==,“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B,则P(B)=,因为事件A、B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=,故选A.
8.答案　0.24;0.96
解析　三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5=0.24,
三人都不达标的概率为(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.2×0.4×0.5=0.04,
故三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96.
9.A　记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
记“电路不发生故障”为事件M,则M=(A2∪A3)∩A1,∴不发生故障的概率为P(M)=P[(A2∪A3)∩A1]=[1-P()·P()]·P(A1)=×=.故选A.
10.答案　0.88
解析　由题意知,甲、乙两射手同时未击中的概率为(1-0.7)×(1-0.6)=0.12,
所以目标被击中的概率为1-0.12=0.88.
11.答案　0.46
解析　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)发生,故所求概率为
P=P[(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)]
=P(A1∩A2∩A3)+P(A1∩∩A3)+P(∩A2∩A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)
=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5
=0.46.
12.解析　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,
∴恰有两个项目成功的概率为++=.
(2)三个项目全部失败的概率为××=,
∴至少有一个项目成功的概率为1-=.
能力提升练
1.C　设甲、乙、丙回老家过节分别为事件A、B、C,至少一人回老家过节为事件D,则P(D)=1-P(　　)=1-P()P()P()=1-××=.故选C.
2.C　由题意知,若任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率为P=+×=.故选C.
3.B　由题意可知各项标准之间相互独立,故该生各项均合格的概率为××=.故选B.
4.C　设“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B,则“甲射击一次,未击中目标”为事件,“乙射击一次,未击中目标”为事件,则P(A)=,P()=1-=,P(B)=p,P()=1-p,依题意得×(1-p)+×p=,解得p=,故选C.
5.解析　记“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目标”为事件B.
(1)显然,“两人各射击一次,都射中目标”就是事件A∩B发生,又事件A与B相互独立,
所以P(A∩B)=P(A)P(B)=0.8×0.8=0.64.
(2)“两人各射击一次,恰有一人射中目标”包括两种情况:一种是甲射中乙未射中(即事件A∩发生),另一种是甲未射中乙射中(即事件∩B发生),根据题意,这两种情况在两人各射击一次时不可能同时发生,即事件A∩与∩B是互斥的,所以所求概率为P=P(A∩)+P(∩B)=P(A)P()+P()·P(B)
=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8
=0.16+0.16=0.32.
(3)解法一:“两人各射击一次,至少有一人射中目标”的概率为P=P(A∩B)+P(A∩)+P(∩B)=0.64+0.32=0.96.
解法二:“两人都未射中目标”的概率是
P(∩)=P()P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.04,
所以至少有一人射中目标的概率为1-P(∩)=1-0.04=0.96.
6.答案　0.4
解析　由题意可得p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,
整理可得p3-3p2+3p-0.784=0,即(p-0.4)×(p2-2.6p+1.96)=0,
因为p2-2.6p+1.96>0恒成立,
所以该方程存在唯一的实数根,即p=0.4.
7.答案　
解析　由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,,
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
8.解析　将从A手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为甲,从B手机店售出的新款手机中随机抽取的1部手机记为乙,设“甲手机为T型号手机”为事件M1,“乙手机为T型号手机”为事件M2,
依题意,有P(M1)==,P(M2)==,且事件M1、M2相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机”为事件M,
则P(M)=1-P(M1M2)=1-×=,
即抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为.