7.2古典概型 同步练习（含答案）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§2　古典概型
基础过关练
题组一　古典概型的概念
1.下列试验中,属于古典概型的是(　　)
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从直径规格为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意抽一件,测量其直径d
C.抛一枚硬币,观察是正面向上还是反面向上
D.某人射击中靶或不中靶
2.下列试验是古典概型的为　　　　(填序号).
①从6名同学中选出4名参加数学竞赛,每人被选中的概率;
②同时掷两枚骰子,朝上的面的点数之和为6的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
题组二　古典概型概率公式的应用
3.(四川遂宁高二上学期期末)“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙两人抢到的金额之和不低于3元的概率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
4.(黑龙江鹤岗一中高二期末)年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办.如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观,那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为(　　)
A. B. C. D.
5.(山东潍坊诸城模拟)若书架上放着数学书、物理书、化学书分别为5本、3本、2本,则随机抽出1本是物理书的概率为　　　.
6.在很多游戏中都要掷骰子,利用掷出点数的大小决定谁优先.某次下棋规定:谁掷出骰子的点数大谁先走棋,若甲先掷然后乙再掷,则甲先走棋的概率为　　　.
7.(山东济南高一模拟)一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2,3,…,10这10个数字,现随机地抽取两个小球,如果:
(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.
题组三　互斥事件的概率运算
8.(山东泰安高一模拟)若P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)=(　　)
A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定
9.(山东聊城高一模拟)某家庭电话在响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　)
A. B. C. D.
10.(山东烟台龙口模拟)甲、乙两人下一局棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A.60% B.30% C.10% D.50%
11.(山东曲阜一中模拟)从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为,那么所选3人都是男生的概率为　　　　　　.
12.(辽宁沈阳高一模拟)中国乒乓球队派甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
13.(山东青岛莱州一中模拟)在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”,事件B为“取出的球为黑球”,事件C为“取出的球为白球”,事件D为“取出的球为绿球”.求:
(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.
能力提升练
题组一　古典概型
1.(陕西西安模拟,)集合A={2,3},B={1,2,3},从集合A,B中各任取一个数,则这两数之和等于4的概率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
2.(广东深圳高三期末,)年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)()下列关于各事件发生的概率判断正确的是(　　)
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,则甲被选中的概率为
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定该蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
4.(浙江绍兴模拟,)在平面直角坐标系中,从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个,则这三个点能构成三角形的概率是　　　　(结果用分数表示).
5.(山东潍坊高密一中月考,)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若从中一次抽取两根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为　　　　.
6.(陕西汉中模拟,)从含有三件正品、一件次品的产品中不放回地任取两件,则取出的两件中恰有一件次品的概率是　　　　.
7.(山东日照高一上学期期末校际联考,)已知某中学高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180,120,60.现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去森林公园风景区参加“保护鸟禽,爱我森林”宣传活动.
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)设抽取的6名同学分别用A,B,C,D,E,F表示,现从中随机抽取2名学生承担分发宣传材料的工作,设事件M表示“抽取的2名学生来自高一年级”,求事件M发生的概率.
题组二　古典概型与其他知识的综合应用
8.(山东济南模拟,)已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},试验E:从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点的坐标,观察点的位置,设事件A表示“点落在x轴上”,事件B表示“点落在y轴上”,则事件A与B的概率关系为(　　)
A.P(A)>P(B) B.P(A)C.P(A)=P(B) D.不确定
9.(江西赣州瑞金模拟,)如下茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为(成绩均为整数)(　　)
A. B.
C. D.
10.(湖南张家界模拟,)如图所示,a,b,c,d,e是处于断开状态的开关,任意闭合其中的两个,则电路接通的概率是　　　　.
11.(北京西城模拟,)将一枚骰子连续抛掷两次,若先后出现的点数分别记为b,c,求方程x2+bx+c=0有实数根的概率.
12.(江苏南通模拟,)某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码之和等于6,则中一等奖,若等于5,则中二等奖,若等于4或3,则中三等奖.
(1)求顾客中三等奖的概率;
(2)求顾客中奖的概率.
题组三　古典概型与统计的综合应用
13.(山东日照调研考试,)某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取其中的6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元),相关数据如下表所示:
网点 1 2 3 4 5 6
金额 6 4 12 18 12 20
(1)计算样本数据的平均数;
(2)若将网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,试估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数;
(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个进行网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.
组号 年龄分组 回答正确的人数 回答正确的人数 占本组人数的频率
第1组 [20,30) 10 0.5
第2组 [30,40) x 0.9
第3组 [40,50) 54 m
第4组 [50,60) n 0.36
第5组 [60,70] y 0.2
14.(四川成都高一期末,)每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时,便会想起电影《泰坦尼克号》中一幕幕感人画面,让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动遂宁市旅游发展和带动全市经济,更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”,遂宁市某地将按“泰坦尼克号”原型1∶1的比例重新修建.为了了解该旅游开发地在大众中的熟知度,随机从本市20~70岁的人群中抽取了a人,让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成 ”得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图.
(1)求m(x+y+n)的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,分别求第2,3,4组每组抽取的人数;
(3)从(2)中抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有年龄在[30,40)的概率.
答案全解全析
基础过关练
1.C　古典概型的特征:①试验的样本空间的样本点总数有限,即有限性;②每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等,即等可能性.由此判断,只有C符合题意.故选C.
2.答案　①②④
解析　①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点,③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
D　甲、乙两人抢到的金额之和包含的样本点共有10个,其中两人抢到的金额之和不低于3元包含的样本点有6个,分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),
(2.28,1.55),故所求概率为=.故选D.
4.B　可能出现的选择有4种,满足条件要求的有1种,则概率P=,故选B.
5.答案　
解析　从中随机抽出1本书共有10种情况,抽到物理书有3种情况,故抽到物理书的概率为.
6.答案　
解析　记点数大的为赢,小的为输.由于对称性,甲赢与甲输(乙赢)的概率相等,又因为和局的概率为,所以甲赢的概率为÷2=.
故甲先走棋的概率为.
7.解析　从十个小球中随机地抽取两个小球,记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”,其所有可能的结果为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),(9,8),(10,9),共18种.
(1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有9种可能,共有90种可能的结果,
因此,事件A的概率是=.
(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则x有10种可能,y有10种可能,共有100种可能的结果,
因此,事件A的概率是=.
8.D　由于不能确定事件A与B是否互斥,所以P(A∪B)不能确定.
9.B　易知,这几个事件两两互斥,故电话在响前四声内被接的概率为+++=.
10.D　甲不输包含甲获胜和甲、乙两人下成和棋两种情况,这两种情况在同一局当中不会同时发生,则甲、乙两人下成和棋的概率为90%-40%=50%.
11.答案　
解析　设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”,事件B表示“所选3人都为男生”,则A,B互为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=.
12.答案　
解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以由互斥事件的概率加法公式得,中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.
13.解析　解法一:由题意可知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件,故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)易知,“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥,故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
解法二:由题意可知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)“取出的球为红球或黑球”的对立事件为“取出的球为白球或绿球”,即A∪B的对立事件为C∪D,故“取出的球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)=1-P(C∪D)=1-=.
(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出的球为绿球”,即A∪B∪C的对立事件为D,所以“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)=1-P(D)=1-=.
能力提升练
1.C　从集合A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两数之和等于4的有(2,2),(3,1),共2种,故所求概率为=.故选C.
2.C　这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,
则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),
(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共15个,
其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.
3.ABC　对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率P=,故A正确;
对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又该试验的样本点有(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),共4个,而能构成三角形的样本点只有(3,5,7),共1个,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P=,故B正确;
对于C,该树枝的树梢有6处,其中有2处能找到食物,所以获得食物的概率为=,故C正确;
对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.故选ABC.
4.答案　
解析　从五个点中任取三个点,该试验的样本点的总数为10,而A,C,E三点共线,B,C,D三点共线,所以从这五个点中任取三个点能构成三角形的个数为10-2=8.
故由古典概型的概率公式得所求概率为=.
5.答案　
解析　一次抽取两根竹竿包含的样本点有(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个,其中长度相差0.3 m的有(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,
所以由古典概型的概率公式得所求的概率P==.
6.答案　
解析　从四件产品中不放回地任取两件,共有6个样本点,事件“取出的两件中恰有一件次品”所含的样本点有3个,故由古典概型的概率公式得所求的概率是.
7.解析　(1)由已知得,高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1,由于采用分层抽样的方法从中抽取6名学生,抽样比为,故从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,1人.
(2)从抽取的6名学生中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),
(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
不妨设抽取的6名学生中,来自高一的是A,B,C,则从抽取的6名学生中随机抽取2名同学来自高一年级的所有可能结果为(A,B),(A,C),(B,C),共3种,所以事件M发生的概率P(M)==.
8.C　横坐标为0与纵坐标为0的可能性是一样的,故P(A)=P(B).
9.C　记其中被污损的数字为x,依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是×(80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是×(80×3+90×2+3+3+7+x+9)=(442+x),令90>(442+x),解得x<8,所以x的可能取值是0~7,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为=.
10.答案　
解析　“任意闭合其中的两个开关”所包含的样本点的总数是10,“电路接通”包含6个样本点,所以电路接通的概率P=.
11.解析　一枚骰子连续抛掷两次,其包含的样本点的总数为36,方程有实根的条件为b2≥4c,满足要求的各种情况如表所示:
b 1 2 3 4 5 6
满足b2≥4c的样本点个数 0 1 2 4 6 6
由此可见,使方程有实数根的样本点个数为0+1+2+4+6+6=19,于是方程有实数根的概率为.
解析　从四个小球中有放回地取两个的所有情况有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),
(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16种不同的结果.
(1)取出的两个小球号码之和等于4或3的情况有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7种,
则顾客中三等奖的概率为.
(2)由(1)知两个小球号码之和等于3或4的取法有7种;
两个小球号码之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2);
两个小球号码之和等于6的取法有1种:(3,3).
顾客中奖的概率为=.
13.解析　(1)由题意知,样本数据的平均数为=12.
(2)样本中优秀服务网点有2个,概率为=,由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×=30(个).
(3)样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,
记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M,则事件M包含的可能情况有(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,
故所求概率P(M)=.
14.解析　(1)第1组的人数为=20,第1组的频率为0.010×10=0.1,
∴a==200,
∴x=200×0.2×0.9=36,y=200×0.15×0.2=6,m==0.9,n=200×0.25×0.36=18,故m(x+y+n)=0.9×(36+6+18)=54.
(2)抽样比为=,
∴第2组中抽取的人数为36×=2;第3组中抽取的人数为54×=3;
第4组中抽取的人数为18×=1.
(3)记[30,40)中的2人分别为A1,A2,[40,50)中的3人分别为B1,B2,B3,[50,60)中的1人为C,则在抽取的6人中随机抽取2人的所有样本点为A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1C,A2B1,A2B2,A2B3,A2C,B1B2,B1B3,B1C,B2B3,B2C,B3C,共15个,其中不含A1,A2的有6个,
∴所抽取的人中恰好没有年龄在[30,40)的概率为=.