第三章 指数运算与指数函数 复习提升练（含答案） -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

本章复习提升
易混易错练
易错点1　混淆指数幂的运算性质致错
1.(福建福州福清一中高一上月考,)下列函数中,满足f(x+y)=f(x)f(y)且是增函数的是(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　
A.f(x)=x B.f(x)=x3
C.f(x)= D.f(x)=3x
2.(北京一零一中学高一下期末,)已知函数f(x)=ax,其中a>0,且a≠1,如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)=(　　)
A.1 B.a C.2 D.a2
易错点2　忽视换元后“新元”的范围致错
3.(山东青岛高一下期末联考,)已知关于x的不等式9x+(4+a)3x+4>0恒成立,求实数a的取值范围.
4.(广西柳州铁一中高一下期末,)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时,求函数f(x)的值域.
易错点3　错用指数函数的单调性致错
5.(内蒙古赤峰高一下统考,)若函数f(x)=在R上是增函数,则a的取值范围为(　　)
A.(1,+∞) B.(2,3]
C.(2,+∞) D.[1,2)
易错点4　忽视指数函数的整体运算转化导致性质判断或应用出错
6.(辽宁鞍山一中月考,)若函数f(x)=(k为常数)在其定义域上为奇函数,则k的值为(　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.0
7.(辽宁大连八中高一下期中,)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
8.(广西贵港高一下期末联考,)已知函数f(x)=a|x+b|(a>0,a≠1,b∈R).
(1)若f(x)为偶函数,求b的值;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,试求a,b应满足的条件.
思想方法练
一、数形结合思想在指数型函数中的应用
1.(湖北四市联考,)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(　　)
2.(湖南长沙、株洲等市高一上联考,)已知函数f(x)=,则函数y=f(x+1)的图象大致是(　　)
3.(山东淄博期末质检,)已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,函数F(x)=则函数F(x)(　　)
A.有最小值0,无最大值
B.无最小值,有最大值1
C.有最小值-1,无最大值
D.既无最小值,也无最大值
4.(山东青岛莱西一中高一下月考,)比较大小:,.
二、函数与方程思想在指数型函数中的应用
5.(河南郑州外国语学校高一下期末,)关于x的方程=有负数根,则实数a的取值范围为　　　　.
6.(安徽合肥一六八中学高一上月考,)如图所示,开始时桶1中有a升水,桶2中无水,现将桶1中的水逐渐倒入桶2中,t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1=aπ-nt,那么桶2中的水量就是y2=a-aπ-nt(单位:升),桶1与桶2的大小和形状完全相同,假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等,则桶1中的水量为 升时,需再经过　　　　分钟.
三、转化与化归思想在指数型函数中的应用
7.(安徽淮北一中高一上月考,)已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为　　　　.
8.(广东佛山石门中学高一上月考,)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-+,则此函数的值域为　　　　.
四、分类讨论思想在指数型函数中的应用
9.(河北石家庄高一上期末联考,)已知0,且a≠1),求x的取值集合.
10.(河北石家庄二中高一下月考,)已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为14,求a的值.
答案全解全析
易混易错练
1.D　f(x)=x, f(x+y)=x+y≠xy,不满足f(x+y)=f(x)f(y),∴A不满足题意;
f(x)=x3, f(x+y)=(x+y)3≠x3·y3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),∴B不满足题意;
f(x)=, f(x+y)==·,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f(x)=不是增函数,∴C不满足题意;
f(x)=3x, f(x+y)=3x+y=3x3y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)=3x是增函数,∴D满足题意.
2.A　∵以P(x1, f(x1)),Q(x2, f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,∴x1+x2=0,
又∵f(x)=ax,∴f(x1)·f(x2)=·==a0=1,故选A.
3.解析　解法一:令3x=t,则t>0,
即t2+(4+a)t+4>0恒成立.
令f(t)=t2+(4+a)t+4(t>0),则Δ=(4+a)2-4×4<0或
解得-8综上,a的取值范围为(-8,+∞).
解法二:由已知得4+a>-恒成立.
令3x=t,则t>0,
∵t+≥4(当且仅当t=2时取等号),
∴-≤-4.
∵4+a>-恒成立,
∴4+a>-4,即a>-8.
∴实数a的取值范围为(-8,+∞).
4.解析　令ax=t(t>0),则y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,∵x≥0,
∴t≥1,∴y≥2;
当0∴0综上,当a>1时,函数f(x)的值域是[2,+∞);当0(-1,2].
5.B　依题意得 即26.C　∵f(x)在其定义域内为奇函数,
∴-f(x)=f(-x),即-= -= -(k-2x)(k+2x)=(k·2x-1)(1+k·2x) -(k2-22x)=k2·22x-1 k2·22x-1+k2-22x=0,即k2-1=0,
∴k=±1,故选C.
7.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
即=0,解得b=1,
所以f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
经检验,当a=2,b=1时, f(x)为奇函数,满足题意.
(2)由(1)知f(x)==-+.
由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1),所以t2-2t>-2t2+1,即3t2-2t-1>0,
解得t>1或t<-,所以该不等式的解集为.
8.解析　(1)因为f(x)为偶函数,所以对任意的x∈R,都有f(x)=f(-x),
即a|x+b|=a|-x+b|,所以|x+b|=|-x+b|,
解得b=0.
(2)记h(x)=|x+b|=
①当a>1时, f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,即h(x)在区间[2,+∞)上是增函数,所以-b≤2,即b≥-2.
②当0综上,f(x)在区间[2,+∞)上是增函数时,a,b应满足的条件为a>1且b≥-2.
思想方法练
1.B　y=|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是(1,0),且过点(1,0),(0,1),|f(x)|≥0,|f(x)|在(-∞,1)上单调递减,故选B.
2.B　y=f(x+1)的图象可看作是y=f(x)的图象向左平移一个单位长度得到的.
故选B.
3.C　在同一直角坐标系中作出函数|f(x)|与g(x)的图象,然后根据题意画出函数F(x)的图象(实线部分),如图所示:
由图可知函数F(x)有最小值-1,无最大值.故选C.
4.解析　在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=与y=的图象,如图所示.
当x=-0.5时,观察图象可得>.
5.答案　
解析　由题意,得x<0,所以0<<1,从而0<<1,解得-6.答案　10
解析　由题意得aπ-5n=a-aπ-5n,解得π-n=.设再经过t0分钟,桶1中的水量为升,则a=,即=3,解得t0=10.
7.答案　
解析　令t=2x,∵0≤x≤2,∴1≤t≤4,
又y=22x-1-3·2x+5,∴y=t2-3t+5=(t-3)2+,∵1≤t≤4,∴t=1时,ymax=.
8.答案　
解析　设t=,当x≥0时,09.解析　分情况讨论:
①当0∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5.
②当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,
∴x2-3x+1综上所述,当05};当a>1时,x的取值集合是{x|-110.解析　令t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,∵x∈[-1,1],∴t∈,∴当t=a,即x=1时,函数取得最大值,即a2+2a-1=14,解得a=3(a=-5舍去).
当0∴t∈,
∴当t=,即x=-1时,函数取得最大值,即a-2+2a-1-1=14,解得a=.
综上所述,a=3或a=.