3.6.2 圆的切线判定和三角形的内切圆 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
北师版九年级下册 圆
§3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线的4类方法,训练学生的推理能力;
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力;
3.会作三角形的内切圆,掌握运用相关概念解题的方法．
直线和圆的位置关系
图形
公共点个数
直线和圆的位置关系
圆心到直线的距离d与半径r的关系
唯一 一个
两个
相离
相切
相交
d ＜r
d ＝r
d ＞r
Ｏ
Ｏ
Ｏ
d
r
d
r
d
r
A
A
B
温故知新
Ｏ
d
r
B
C
A
如图：直线BC和 圆O的位置关系是____
切线
切点
公共点Ａ叫______
想一想：
　满足什么条件的直线是圆的切线？
直线BC叫⊙O的_____
相切
新知探究一
经过半径OA外端点A作直线L⊥OA，则圆心O到直线L的距离是多少？
直线L和圆的位置关系如何？
O到直线L的距离d=半径r
直线和圆相切
合作探究
Ｏ
A
B
C
经过半径的外端
并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线。
切线的判定定理：
OA为⊙O半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O切线
新知讲解
判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，
求证：直线AB是⊙O 的切线.
证明：连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线.
∴OC⊥AB.
∴AB是⊙O 的切线.
典例精讲
点题：当题目中有明确的切点时，用“连半径，证垂直”解决切线的判定问题.
圆的切线判定的三种方法
１、利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
２、利用d=r：即到圆心的距离d等于圆的半径r的直线是圆的切线。
３、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的
直线是圆的切线。
归纳总结一
简称：“连半径，证垂直”
Ｏ
Ａ
Ｂ
2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？
典例精讲
∟
C
解：过O作OC⊥AB ，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴ ⊙O与直线AB相切.
点题：当题目中没有明确的切点时，用“作垂直，证半径”解决切线的判定问题.
如图，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切.
A
B
C
新知探究二
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
A
B
C
I●
┓
●
D
M
N
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
归纳总结二
A
B
C
I●
┓
●
E
F
还记得前几节讲过的“外心“？
外心：三角形外接圆的圆心.它是三边垂直平分线的交点.
如图，已知△ABC中，I是△ABC的内心，
(1)若∠A=68°，则∠BIC= .
（2）若∠A=80°，则∠BIC= .
（3）若∠BOC=110°，则∠A= .
跟踪练习
.
124°
130°
40°
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
内心均在三角形内部
做一做
跟踪练习
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3.等边三角形的内心和外心重合（ ）
4.三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
错
错
对
对
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
C
跟踪练习
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°, AC=3,BC=4.求⊙O的半径r .
能力拓展训练
解：由Rt△ABC的三边长与其内切圆半径间的关系得:
此公式的推导可作为一个思考题，老师择机引导学生思考证明一下.
2、如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线.
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠COD＝60°.
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
能力拓展训练
3、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB.求证：直线CP与⊙O相切.
证明：连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP.
∴直线CP与⊙O相切.
能力拓展训练
4．(2020·河南模拟)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：(1)∠PAC＝∠CAB；
(2)AC2＝AP·AB.
证明：(1)连接OC.
∵直线PC切半圆O于点C，∴OC⊥PC.
∵AP⊥PC，
∴OC∥AP.
∴∠PAC＝∠OCA.
∵OC＝OA，
∴∠CAB＝∠OCA.
∴∠PAC＝∠CAB.
.
(2)∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AP⊥PC，∴∠P＝∠ACB＝90°.
由(1)可知∠PAC＝∠CAB，
∴△PAC∽△CAB.
∴AB(AC)＝AC(AP)，即AC2＝AP·AB
能力拓展训练
5．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC；②AB=BD；③AB= BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
能力拓展训练
　 判定方法 根据
方法1 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 切线定义
方法2 和圆心距离d等于圆的半径r的直线是圆的切线 d＝r
方法3 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 切线判定定理
一、要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法，如下表所示：
二、两个口诀：1、“连半径，证垂直”（有切点）；2、“作垂直，证半径”（无切点）
三、了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念与外接圆、外心的区别．