3.7 切线长定理 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
北师版九年级下册 圆
§3.7 切线长定理
1.理解切线长的概念和切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对各类问题的思考和交流，培养学生反思问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力.
1.切线的判定定理是什么？
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2.切线的性质定理是什么？
圆的切线垂直于经过切点的半径
温故知新
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
2.这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
B
A
130°
O
P
情境导入
如何用圆规和直尺作出圆的这两条切线呢？
新知探究
O
A
B
P
.
操作
如图，1.连结OP；
即直线PA、PB为⊙O的切线
2.以OP为直径作⊙C，与⊙O交于A、B两点；
3.连接PA，PB；
如图3-28、PA、PB是○O的两条切线，A、B是切点.
（1）这个图形是轴对称图形吗 如果是、它的对称轴是什么
（2）在这个图中你能找到相等的线段吗 说说你的理由.
图3-28
一、切线长定义：
过圆外一点画圆的切线、这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
即：线段PA和PB的长.
新知讲解
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
切线和切线长联系和区别
概念辨析
二、切线长定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. (即：PA=PB）
A
P
O
。
B
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
∵ PA、PB是⊙O的切线，
A、B为切点
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
符号语言
新知讲解
已知∶如图3-29，P4，PB是○O的两条切线、A，B是切点.
求证∶PA=PB.
证明∶连接OA，OB.
PA，PB是OO的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△POA和Rt△POB中，
OA=0B,OP= OP,
RL△PO≌RL△POB
∴PA=PB
新知讲解
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若PA＝6 cm，则PB＝ cm.
2.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝ 度.
跟踪练习
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60
如图3-31，在Rt△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24、圆O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.求 圆O的半径.
典例精讲
解∶连接0D，OE，OF.则 OD=0E=OF、设 OD=r 在 Rt△.ABC中，AC=10.BC=24，则AB=26.
∵圆O分别与AB、BC，AC相切于点D，E，F、
∴OD⊥AB、OE⊥BC，OF⊥AC、BD=BE，AD=AF，CF=CF .
又∵四边形OECF为正方形. CE=CF=r:
∴BE= 24-r,AF= 10-r.
∴AB=BD+AD=BE＋AF=24-r+10-r-34-2r. 而 AB=20，
∴34-2r=26. ∴r=4. 即○O的半径为4.
如图3-30、四边形ABCD的四条边都与圆O相切、图中的线段之间有哪些等量关系
与同伴进行交流.
合作共学
【练】如图，一圆内切于四边形ABCD，AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为( )
A．50 B．52 C．54 D．56
B
如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，且∠B=90°，该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径．
合作共学
解：（1）存在．
连接AC，作∠ABC的平分线交AC于O，作OH⊥BC于H，如图，
在△ABC和△ADC中，
AB=AD CB=CD AC=AC
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∴AC平分∠BAD和∠BCD， ∵OB平分∠ABC，
∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，
∴四边形ABCD存在内切圆，内切圆的圆心为点O，半径为OH，
（2）∵∠ABC=90°，∴∠OBH=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴OH=BH，
设OH=r，则BH=r，CH=8-r，
∵OH∥AB，
∴△COH∽△CAB，
∴
如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO＝6 cm，CO＝8 cm.
(1)求证：BO⊥CO；
(2)求BE和CG的长．
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠DCB.
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB.
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠DCB)＝ ×180°＝90°.
∴∠BOC＝90°，即BO⊥CO.
合作共学
(2)连接OF，则OF⊥BC.
∵在Rt△BOC中，BO＝6 cm，CO＝8 cm，
∴BC＝ ＝10(cm)．
易证Rt△BOF∽Rt△BCO，
∴ ，即 .
∴BF＝3.6 cm.
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切，
∴BE＝BF＝3.6 cm，CG＝CF.
∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)，
∴CG＝CF＝6.4 cm.
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课堂练习
2、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，CA=13cm，
BC=14cm，则BD的长为______cm，AF= cm, CE= cm.
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提示：利用方程思想解决.
设BD=xcm,则CD=CE=（14-x）cm，AE=AF=（9-x）cm
1、如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E且分别交PA，PB于点C，D.若PA＝4，则△PCD的周长为 ．
3.如图．PA和PB是圆0的两条切线，A，B为切点，∠P=4°.点D在AB上，
点E和点F分别在PB和PA上、且AD=BE、BD=AF、则∠EDF= .
70°
4．如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )
A. √2 B. √3 C．2 D．3
C
课堂练习
通过各类涉及切线问题的讨论，进一步熟悉切线的有关性质.并且注意理解掌握“切线长定理”和三角形内切圆半径与三边的关系。