2021-2022学年人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
赵州石拱桥
1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
垂直于弦的直径
———（垂径定理）
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，圆是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
都是它的对称轴．　
一、 实践探究
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上
任意一点关于直径所在直线（对称轴）
的对称点也在圆上。
如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E．
（1）点A与点B关于直径CD所在的直线对称吗？

思
考
C
·
O
A
B
D
E
二、
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
A
E
B
O
.
D
总结：
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦对的两条弧。
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
结论
⌒
⌒
⌒
⌒
AE=BE
AC=BC
AD=BD
应用垂径定理的几何语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
E
O
A
B
D
C
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
E
O
A
B
C
E
O
C
D
A
B
O
B
A
E
D
在下列图形中，有符合垂径定理的条件吗？
O
练习一
借你慧眼
垂径定理的几个基本图形
例题一：.
如图：弓形的弦长AB为24cm，
弓形的高CD为8cm，求弓形所
在圆的半径。
D
C
A
B
O
解：连接OA,由题意可知，OC┴AB,
∴AD= AB=12cm
设OA=rcm,则OD=(r-8)cm
∵在直角三角形OAD中，
∴
∴r=13
答：所在圆的半径是13cm.
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。
3．半径为2cm的⊙O中，过半径OC
中点且垂直于这条半径的弦AB
长是 。
8cm
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
练习二
C
A
B
C
D
例题二：
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD
证明：过O作OE⊥AB于E，则
AE=BE，CE=DE
∴AE-CE=BE-DE
即 AC=BD
O
E
练习三
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
∴
∵ OE⊥AC OD⊥AB
例2：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
再逛赵州石拱桥
解：如图，设AB所在圆的圆心 为O,半径为R，
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.3
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
D
37
7.23
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出
赵州桥主桥拱的半径吗？
AB=37
CD=7.23
R
18.5
R-7.23
方法归纳:
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。
2.解决有关弦的问题时，经常
（1）连结半径；
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
请围绕以下两个方面小结本节课：
1、从知识上学习了什么？
２、从方法上学习了什么？
课堂小结
圆的轴对称性；垂径定理
（１）垂径定理和勾股定理结合。
（２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段；
——连接半径。
同学们再见！