第21章 一元二次方程
复习与测试（基础卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共18分)
1．(本题2分)在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(本题2分)把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2＋5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
3．(本题2分)对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根
4．(本题2分)若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
5．(本题2分)一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．(本题2分)一元二次方程的根是（ ）．
A．3或1 B．或
C．或 D．或
7．(本题2分)关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a＞0 D．a＞0且a≠1
8．(本题2分)若x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
9．(本题2分)用配方法解方程：，则配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共16分)
10．(本题2分)如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．
11．(本题2分)已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 _______ 三角形．
12．(本题2分)已知关于的一元二次方程的常数项是0，则__________，方程的根为__________．
13．(本题2分)小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为_______．
14．(本题2分)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为____________．
15．(本题2分)某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______．
16．(本题2分)如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，则小路的宽为 _____．
17．(本题2分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为__秒．
三、解答题(共86分)
18．(本题12分)用适当的方法解方程：
(1) (2) - 2x＝5
(3) x 2 -4x+2＝0 (4)
19．(本题8分)若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
20．(本题8分)已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．
21．(本题8分)已知关于x的一元二次方程(m为常数)．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程一个根为3，求m的值．
22．(本题10分)设方程的两根为，，不解方程求下列各式的值．
（1）．（2）．
23．(本题4分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长．
解：设AB为x m，则BC为（50－2x）m．根据题意，得
x（50－2x）＝300
解得x1＝10，x2＝15
答：AB的长为10 m或15 m．
以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充使之完整．
24．(本题10分)某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如果每件的售价每涨元（售价每件不能高于元），那么每星期少卖件．设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润为元？
25．(本题12分)如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，其中一边留一道宽的门．
（1）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的式子表示的长并直接写出的取值范围；
（2）若整个菜园的总面积为，求的长．
26．(本题14分)如图所示，已知在△ABC中，∠B=90 ，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动时间为ts．
（1）当t=1时，△PBQ的周长= cm．
（2）当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2？请说明理由．
（3）当t= s时，PQ的长度最小，最小值为 cm？第21章 一元二次方程
复习与测试（基础卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共18分)
1．(本题2分)在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A.是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选: C．
2．(本题2分)把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正确的是（ ）
A．y2﹣y﹣2＝0 B．y2＋5y﹣2＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0
【答案】A
【解析】解：y2＋2（y﹣1）＝3y，去括号得，y2＋2y﹣2＝3y，
移项得，y2＋2y﹣2-3y＝0，合并同类项得，y2-y﹣2＝0，故选：A．
3．(本题2分)对于一元二次方程，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数是2 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根
【答案】B
【解析】解：原方程一般式为：，
∴二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是1，A、C正确，B错误，
当时，左边=3，右边=3，左边等于右边，
∴是它的一个根，D正确，故选：B．
4．(本题2分)若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【解析】解：将代入元二次方程得，，即
故答案为A．
5．(本题2分)一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】解：∵，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B．
6．(本题2分)一元二次方程的根是（ ）．
A．3或1 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】解：∵，∴，∴，故选C．
7．(本题2分)关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a＞0 D．a＞0且a≠1
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x-1=0有两个实数根，
∴Δ=（-2）2-4×（a-1）×（-1）=4a≥0， 解得a≥0， 又∵a-1≠0，
∴a≥0且a≠1， 故选B．
8．(本题2分)若x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】D
【解析】解：∵x1，x2为方程x2+3x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣3．故选D．
9．(本题2分)用配方法解方程：，则配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：方程两边同时除以2，得到，即：，
整理变形为：，故选：A．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共16分)
10．(本题2分)如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．
【答案】
【解析】∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．
11．(本题2分)已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 _______ 三角形．
【答案】直角
【解析】解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以△ABC是直角三角形.故答案为：直角
12．(本题2分)已知关于的一元二次方程的常数项是0，则__________，方程的根为__________．
【答案】
【解析】解：∵关于的一元二次方程的常数项是0，
∴，且，∴，则原方程为：，
即，∴，故答案为：；．
13．(本题2分)小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为_______．
【答案】﹣6
【解析】解：解方程x2﹣5x+c＝0得x1＝﹣1，x2＝6，∴x1x2＝c＝﹣1×6，
∴c＝﹣6，故答案为：﹣6．
14．(本题2分)参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为____________．
【答案】x（x﹣1）＝72
【解析】解：设参加比赛的球队有x支，依题意得：x（x﹣1）＝72．故答案为：x（x﹣1）＝72．
15．(本题2分)某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______．
【答案】10%
【解析】解：设降价百分率为x，列方程：40（1﹣x）2＝32.4．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意舍去）．故答案为：10%．
16．(本题2分)如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，则小路的宽为 _____．
【答案】1m
【解析】解：设小路的宽为xm，则种草的部分可合成长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m的矩形，依题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
整理得：x2﹣17x+16＝0，解得：x1＝1，x2＝16．
当x＝1时，16﹣2x＝14＞0，符合题意；
当x＝16时，16﹣2x＝﹣16＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1m．
17．(本题2分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ的面积为5cm2时，点P，Q运动的时间为__秒．
【答案】1
【解析】解：设点P，Q运动的时间为t秒，则 ， ， ，
∴ ，
∵△PBQ的面积为5cm2，∴，解得： 或 ，
∵当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
∴不符合题意，舍去．故答案为：1
三、解答题(共86分)
18．(本题12分)用适当的方法解方程：
(1) (2) - 2x＝5
(3) x 2 -4x+2＝0 (4)
【答案】（1）x1=6,x2=0；（2）x1=1+,x2=1 ；（3）x1=2+,x2=2 ；（4）x1=3,x2=.
【解析】(1)(x 3)2 9=0； (x 3)2=9，∴x 3=±3，∴x1=6,x2=0；
(2)x2 2x=5；x2 2x+1=5+1，(x 1)2=6，∴x 1=±，∴x1=1+,x2=1 ；
(3)x2 4x+2=0；x2 4x= 2，x2 4x+4= 2+4，(x 2)2=2，∴x 2=±，∴x1=2+,x2=2 ；
(4)2(x 3)=3x(x 3)2(x 3) 3x(x 3)=0，(x 3)(2 3x)=0，∴x 3=0或2 3x=0，∴x1=3,x2=.
19．(本题8分)若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，所以，①
由，得，所以，②
把①和②代入，
得，即．
20．(本题8分)已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．
【答案】 ； ，或．
【解析】∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，∴，解得；
由原方程，得，解得，
∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，
∴，且是完全平方形式，
∴，或，解得，或．
21．(本题8分)已知关于x的一元二次方程(m为常数)．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程一个根为3，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）m的值为3或1．
【解析】解：（1）原方程可化为．
因为a1，，，
所以．
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）因为一个根为3，将x3代入，得．
解这个方程，得，． 所以m的值为3或1．
22．(本题10分)设方程的两根为，，不解方程求下列各式的值．
（1）．（2）．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）∵是方程的两根，
∴，，∴
．
（2）．
23．(本题4分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长．
解：设AB为x m，则BC为（50－2x）m．根据题意，得
x（50－2x）＝300
解得x1＝10，x2＝15
答：AB的长为10 m或15 m．
以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充使之完整．
【答案】不完整，补充见解析
【解析】解：不完整，设AB为xm，则BC为（50-2x）m，根据题意，得
x（50-2x）=300，解得；x1=10，x2=15，
当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去），
当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）．
答：AB的长为15m．
24．(本题10分)某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如果每件的售价每涨元（售价每件不能高于元），那么每星期少卖件．设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润为元？
【答案】（1），且为非负整数；（2）当售价为元或元时，每星期的利润为元．
【解析】解：（1）由题意得：，且为非负整数；
（2）根据题意得：，
整理得：，解得：，．
答：当售价为元或元时，每星期的利润为元．
25．(本题12分)如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，其中一边留一道宽的门．
（1）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的式子表示的长并直接写出的取值范围；
（2）若整个菜园的总面积为，求的长．
【答案】（1）米，；（2）6米
【解析】解：（1）由题意得：米，，
（2）由题意知：整理得：
∵ ∴∴答：的长是6米．
26．(本题14分)如图所示，已知在△ABC中，∠B=90 ，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动时间为ts．
（1）当t=1时，△PBQ的周长= cm．
（2）当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2？请说明理由．
（3）当t= s时，PQ的长度最小，最小值为 cm？
【答案】(1) (6+)；（2）t=2或t=4；见解析；（3）．
【解析】解：（1）由题意可得：t=1时，AP=1×1=1，BQ=1×1=1，
∴PB=AB-PA=6-1=5，∴PQ=，
∴△PBQ的周长=PB+BQ+PQ=(6+)cm，故答案为(6+)；
（2）由题意可得：，∴（6-t）t=8，解之可得t=2或t=4，
（3）由题意可得：=，
∴当t=3时，的最小值为18，PQ的最小值为，
故答案为3；．
