课时21.3.4 实际问题与一元二次方程（4）
工程、行程问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——工程、行程问题
1．小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】小球滚动到5m时约用了xs，依题意，得：x =5
整理得：x2﹣8x+8=0，解得：x=4±2．
∵x＜4，∴x=4﹣2≈1.2．故选B．
2．汽车刹车后行驶的距离（米）与行驶的时间（秒）函数关系式是，汽车刹车后停下来前进了________米．
【答案】
【解析】∵
∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来。故答案为：.
3．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
【答案】（1）甲工厂最多可生产1000万片的口罩；（2）m的值为4．
【解析】解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：0.6x≤0.8（2000﹣x）×，解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．解得：m1＝m2＝4．答：m的值为4．
4．为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
【解析】设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x﹣5）个月，由题意，得x（x﹣5）=6（x+x﹣5），
解得：x1=2（舍去），x2=15．
∴乙队单独完成这项工程需要15﹣5=10个月
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
5．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
【答案】快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米
【解析】设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米，
依题意得－＝.解得x1＝－72，x2＝60.
经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．
但x1＝－72不合题意，应舍去．故x＝60.
所以x＋12＝72.
答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．
【划考点】1、工程、行程问题常用的相等关系式有：①工作总量=工作时间×工作效率；②路程=速度×时间；
2、在解决工程问题时，常常把工作总量当成单位“1”；
3、行程问题常见题型有：相遇问题、追及问题、绕圈问题、逆流顺流问题等等。
1．岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-1）=28 B．x（x+1）=28
C．2x（x-1）=28 D．x（x-1）=28
【答案】D
【解析】设邀请x个队，每个队都要赛（x 1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，x（x 1）＝28，故选：D．
2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
【答案】A
【解析】解：设约用了x秒．汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，∴x=1，故选：A．
3．一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）
【答案】1.2．
【解析】由题意得：小球的平均滚动速度是，
设小球滚动5时约用了，由题意得：，
整理得：，解得：，∵，
∴，故小球滚动用了1.2秒．
4．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要________．
【答案】
【解析】依题意：10t+3t2=200，整理得3t2+10t 200=0，
解得t1= 10(不合题意舍去),t2=.
即行驶200m需要s.故答案为
5．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车去B地，已知甲比乙每小时多走3千米，结果比乙早到0.5小时，若A、B两地相距30千米，则乙每小时_______千米.
【答案】12
【解析】设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x+3)千米，
根据题意得：，
解得x=12或x=﹣15（舍去），故答案为12.
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.
【答案】10
【解析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：
(2x)2+(25-x)2=252，4x2-50x+x2=0，5x(x-10)=0，x1=0 (舍去), x2=10 (秒).
∴10秒后P、Q两点相距25cm.故答案为10.
7．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值．
【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32．
【解析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为x小时，根据题意得：，解得：x≥300，
答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；
（2）由题意得：300×（1+3.2%）×30+60×（1-%）×300×（1+%+30%）=39000+9000，整理得：，
解得：或，
∵﹥0，∴=，故的值是．
8．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
【答案】（1）1000米；（2）4
【解析】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
依题意，得：8（2000-x）≥×6x，解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
（2）依题意，得：（6+m）（6+m）+8（6-m）=6×（6+8）+11m-8，
整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4．答：m的值为4．
9．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.
【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28.
【解析】（1）设原计划修建滨河步道x千米，
根据题意，得.解这个方程，得.
答：原计划修建滨河步道8千米
（2）根据题意，一期工程疏通河道里程数：（千米）.
一期工程疏通河道费用：（万元/千米）.
一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米）
令，原方程可化为
，
整理这个方程，得.
解这个方程，得，.
∴（舍去），.∴.
答：a的值是28.
10．列方程或方程组解应用题：
某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月
【答案】甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月
【解析】设乙队单独完成这项工程需要个月，则甲队单独完成这项工程需要个月，由题意，得．．
解得 ．不合题意，舍去.
∴．
答：甲队单独完成这项工程需要15个月，乙队单独完成这项工程需要10个月．
11．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度运动，同时，另一点从点开始以的速度沿边向点运动．
（1）几秒钟后，的长度是？
（2）几秒钟后，的面积是面积的？
【答案】（1）秒后 PQ 的长为；（2）秒后的面积是面积的
【解析】（1）假设t秒后PQ长度为15cm∴，
∵∴ ∴
解得或（舍去） ∴答案为秒后 PQ 的长为；
（2）∵∴
∵∴
∴．
设秒后的面积是面积的
∴
依题意得∴
∴或（舍去） ∴秒后的面积是面积的．
12．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间
【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【解析】解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
13．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【解析】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
，解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．课时21.3.4 实际问题与一元二次方程（4）
工程、行程问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——工程、行程问题
1．小球以的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，后小球停下来．小球滚动到时约用了多少时间（精确到）？（ ）
A． B． C． D．
2．汽车刹车后行驶的距离（米）与行驶的时间（秒）函数关系式是，汽车刹车后停下来前进了________米．
3．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
4．为了满足铁路交通的快速发展，安庆火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
5．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
【划考点】1、工程、行程问题常用的相等关系式有：①工作总量=工作时间×工作效率；②路程=速度×时间；
2、在解决工程问题时，常常把工作总量当成单位“1”；
3、行程问题常见题型有：相遇问题、追及问题、绕圈问题、逆流顺流问题等等。
1．岐山县体育局要组织一次中小学篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？则下列方程正确的是（ ）
A．x（x-1）=28 B．x（x+1）=28
C．2x（x-1）=28 D．x（x-1）=28
2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（ ）
A．1s B．1.2s C．2s D．4s
3．一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了________秒（结果保留小数点后一位）
4．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要________．
5．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车去B地，已知甲比乙每小时多走3千米，结果比乙早到0.5小时，若A、B两地相距30千米，则乙每小时_______千米.
6．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25 cm.
7．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值多，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了，使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多，求的值．
8．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
9．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园.
（1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？
（2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值.
10．列方程或方程组解应用题：
某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月
11．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度运动，同时，另一点从点开始以的速度沿边向点运动．
（1）几秒钟后，的长度是？
（2）几秒钟后，的面积是面积的？
12．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间
13．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
