课时21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）
数字问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——数字问题
1．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ）
A．24 B．35 C．42 D．53
【答案】A
【解析】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)，
整理得：(x-2)(3x+1)=0，解得(舍去)，∴这个两位数为24，故选：A．
2．如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )
A．40 B．48 C．52 D．56
【答案】B
【解析】设最小数为x，则另外三个数为x＋1，x＋7，x＋8，根据题意可列方程x(x＋8)＝128，解得x1＝8，x2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x＝8，x＋1＝9，x＋7＝15，x＋8＝16，∴四个数分别为8，9，15，16.∵8＋9＋15＋16＝48，∴四个数的和为48.
3．连续两个奇数的乘积为483，则这两个奇数为________________________．
【答案】或
【解析】解：设这两个连续的奇数为
或 或
这两个奇数为：或
故答案为：或
4．五个连续整数－2，－1，0，1，2满足下面关系：
（－2）2+（－1）2+02=12+22，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否再找到五个连续整数，使它们也具有上面的性质？
【答案】10，11，12，13，14．
【解析】设这五个连续整数为x，x+1，x+2，x+3，x+4，
∴x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2，
移项得x2=（x+3）2－（x+2）2+（x+4）2－（x+1）2，
∴整理得x2－8x－20=0，
∴x1=－2，x2=10，
∴这五个连续整数是10，11，12，13，14．
【划考点】
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.
1．两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意得：较大的奇数为x+2，则有：x（x+2）=323．故选：B．
2．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225
【答案】C
【解析】∵最大数为x，∴最小数用x表示为：x-16，
∴列方程为：x(x﹣16)=225，故选：C
3．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（ ）
A．95 B．59 C．26 D．62
【答案】D
【解析】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则（10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612，
解得x=6，10x+y=60+（6-4）=62．故这个两位数是62．故选：D．
4．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3，
由题意可得：．故答案选C．
5．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2∴故选B．
6．一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是________．
【答案】
【解析】解：设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得：
，解得：，（不合题意，舍去），
∴，∴这个两位数为32，故答案为：32．
7．如果两个连续奇数的积是323，如果设其中较小的一个奇数为，可得方程________．
【答案】．
【解析】设其中一个奇数为x，则另一个奇数为，根据两个连续奇数的积是323，
可得．故答案是．
8．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
【答案】11或﹣8
【解析】解：设较小的数为x，则较大的数为x+3，
根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，
分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，
解得：x＝8或x＝﹣11，∴x+3＝11或﹣8，则较大的数为11或﹣8，
故答案为：11或﹣8．
9．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程：______.
【答案】
【解析】∵个位上的数字为，个位上的数字比十位上的数字小4
∴十位上的数字为所以这个两位数为
∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4∴
化简得
故答案为.
10．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为_____．
【答案】144
【解析】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
故答案为144.
11．若代数式的值与的值相等，则________．
【答案】，
【解析】∵代数式+4的值与 5x的值相等，∴+4= 5x，
∴+5x+4=0，即(x+1)(x+4)=0，∴x+1=0或x+4=0，
解得： = 1，= 4.故答案为： 1， 4.
12．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：. 根据这个规则，则方程＝9的解为______________．
【答案】－3或；
【解析】由题意得：当x 2时,2 x=x2=9，
解得：x1=3(不合题意舍去),x2= 3，则x= 3，
当x>2时：2 x=x2+x=9，
解得：x1=,x2= (不合题意舍去)，则x=，
故答案为：x= 3或.
13．一个两位数，两个数字的和为5，把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，求原两位数．
【答案】23或32．
【解析】解：设原两位数字的十位数字为x，则个位数字为（5-x），
根据题意得（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736，
整理得：x2-5x+6=0，解得：x1=2，x2=3，∴5-x=3或2，
∴原两位数是23或32．故答案为：23或32．
14.（1）用公式法解方程：3x2+6x=4.
（2）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数的和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】解：（1）化为一般形式为：，∴，
∴，
∴.
（2）设较小的偶数是2n，较大的为(2n+2)，由题可得：，
解得n=6或n=－7.
当n=6时，2n=12，2n+2=14；
当n=－7时，2n=－14，2n+2=－12.
故这两个偶数的和为26或－26.
15．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．
【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4整理得：2x2－19x+24=0．
26．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字小，三个数字的平方和的倍比这个三位数小，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长．
【答案】 (1)；(2)．
【解析】解：设十位数字为，则个位数字为，百位数字为，
根据题意得：，
化简为；
(2)设其中一条直角边的长为，则另一条直角边为，根据题意得：，
整理得：．
27．发现：四个连续的整数的积加上是一个整数的平方．
验证：(1)的结果是哪个数的平方？
(2)设四个连续的整数分别为，试证明他们的积加上是一个整数的平方；
延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少．
【答案】(1)3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、4、5或-1、0、1
【解析】(1)3×4×5×6＋1=361=192，即3×4×5×6＋1的结果是19的平方；
(2)设这四个连续整数依次为：n-1，n，n+1，n+2，则
(n-1)n(n+1)(n+2)+1=[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n-2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1
=(n2+n-1)2．
故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方；
(3)设中间的整数是x，则第一个是x-1，第三个是x+1，根据题意得
(x-1)2+x2=(x+1)2解之得x1=4，x2=0，
则x-1=3，x+1=5，或x-1=-1，x+1=1，x=0，
答：这三个整数分别是3、4、5或-1、0、1．
28．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【解析】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，
∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，∴m＝，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，∴m＝﹣1，n＝﹣1，∴a﹣b＋c＝0，∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，∴（a＋c）2＝4ac，解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．课时21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）
数字问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——数字问题
1．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ）
A．24 B．35 C．42 D．53
2．如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )
A．40 B．48 C．52 D．56
3．连续两个奇数的乘积为483，则这两个奇数为________________________．
4．五个连续整数－2，－1，0，1，2满足下面关系：
（－2）2+（－1）2+02=12+22，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否再找到五个连续整数，使它们也具有上面的性质？
【划考点】
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.
1．两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225
3．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（ ）
A．95 B．59 C．26 D．62
4．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是________．
7．如果两个连续奇数的积是323，如果设其中较小的一个奇数为，可得方程________．
8．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．
9．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为，列出关于的方程：______.
10．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为_____．
11．若代数式的值与的值相等，则________．
12．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：. 根据这个规则，则方程＝9的解为______________．
13．一个两位数，两个数字的和为5，把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，求原两位数．
14.（1）用公式法解方程：3x2+6x=4.
（2）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数的和.
15．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
26．根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字小，三个数字的平方和的倍比这个三位数小，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长．
27．发现：四个连续的整数的积加上是一个整数的平方．
验证：(1)的结果是哪个数的平方？
(2)设四个连续的整数分别为，试证明他们的积加上是一个整数的平方；
延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少．
28．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．
例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”；
（2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值．
