课时21.3.2 实际问题与一元二次方程（2）
增长率问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——增长率问题
1．某公司员工2018年的人均年收入为18万元，2020年的人均年收入为23万元，设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．为改善居住环境，我县2019年投入治理黑臭水体2500万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000 B．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
C．2500（1+x）2＝12000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
3．据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________．
4．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【划考点】设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。
1．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
2．某商品原价每盒25元，两次降价后每盒16元，则平均每次的降价百分率是（ ）
A．25% B．20% C．15% D．10%
3．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元，如果设这两个月口罩出口订单额的月平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量全球第一，销量逐年增加，2018年销量为125.6万辆，到2020年销量为130万辆，设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．125.6（1－x）2－130 B．125.6（1＋2x）＝130
C．130（1－x）2＝125.6 D．125.6（1＋x）2＝130
5．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．551（1＋x）2＝1660 B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551 D．1660（1﹣x）2＝551
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
8．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝240 B．100+100（1+x）2＝240
C．100+100x+100（1+x）2＝240 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝240
9．近年来，我国使用移动支付的人数成逐年上升趋势．据统计2018年3月底我国使用移动支付的有6亿人左右，预计到2020年3月底将增加到8.64亿人左右，求这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率约为多少？
解：设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x．依题意，列方程得________．
10．前段时间，李克强总理就高血压，糖尿病的用药50%纳入报销的视频在各大网站频频报道，现有某治高血压药原来售价100元每瓶，为促进医疗改革连续两次降价后售价为81元每瓶，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．
11．某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为，则_____________．
12．某工厂经过两年的时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．设平均每年增长的百分率为，可得方程______．
13．某电视机制造商2021年一月份生产电视机2000台，2021年三月份生产电视机2420台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为_____________．
14．某小型快递公司去年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月、三月每月投递的快递总件数逐月递增，到三月底，这三个月投递的快递总件数为33.1万件．若设该快递公司二、三两月快递总件数的月平均增长率为，则可列出方程：_________．
15．张师傅今年初开了一家药店，二月份开始盈利，二月份的盈利是6000元，四月份的盈利达到8640元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？
16．某生产口罩的企业2019年12月盈利万元，由于新冠肺炎病毒防控的需要，2020年2月该厂盈利万元．从2019年12月到2020年2月，如果该企业每月盈利的增长率相同，求：
（1）该企业2020年1月盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的月增长率保持不变，请计算2020年3月盈利多少万元？
17．今年是我国“十四五”规划的开局之年，某市积极响应祖国的“巩固脱贫成果，接续振兴乡村”的号召，确定2021年投入资金25亿元，进行乡村建设，且往后逐年加大资金投入，预计2023年投资36亿元，若今后两年平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求今后两年平均每年投资增长的百分率；
（2）如果2024年的增长率在（1）的基础上再增加五个百分点，求2024年的投资总额．
18．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2014年年底拥有家庭轿车辆，2016年年底家庭轿车的拥有量达到辆．
（1）若该小区2014年年底到2016年底家庭轿车拥有量的平均增长率都相同，求年平均增长率；
（2）按（1）中的增长率增长，该小区到2017年年底家庭轿车将达到多少辆？
（3）为了缓解停车矛盾，该小区决定投万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位元/个，露天车位元/个，考虑到实际因素，计划室内车位的数量与露天车位的比为，求该小区可建两种车位各多少个？
19．新疆棉纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．新疆宏兴棉花厂2010年棉花产值为480万元，近年来，全程机械化在该厂得到推广应用，2020年宏兴棉花厂棉花产值为1080万元，2020年的棉花产量为2010年产量的2倍，2020年该厂棉花单价比2010年单价多0.2万元/吨．
（1）求2020年宏兴棉花厂的单价为多少？
（2）2021年2月宏兴棉花厂的棉花出货量为50吨，棉花出厂价和2020年棉花单价相同，三月以来，HM，nike等公司企图肆意抹黑中国形象，对新疆棉进行抵制，这种行为激发了中国人民的爱国热情，3月该厂棉花出货量比2月增加了a%，棉花单价比2月上升了a%，4月该厂棉花出货量比2月增加了a%，棉花单价和2月份相同，这样3月和4月该厂棉花出货量总产值达到216.9万元，求a的值．
20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？课时21.3.2 实际问题与一元二次方程（2）
增长率问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
用一元二次方程解决实际问题——增长率问题
1．某公司员工2018年的人均年收入为18万元，2020年的人均年收入为23万元，设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意，2019年人均年收入为万元，
2020年人均年收入为万元，∴方程为：，
故选：B．
2．为改善居住环境，我县2019年投入治理黑臭水体2500万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500（1+2x）＝12000 B．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000
C．2500（1+x）2＝12000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000
【答案】D
【解析】解：设每年投入治理的费用年平均增长百分率为x，
由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．故选：D．
3．据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________．
【答案】
【解析】解：根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值，列方程得：，
故答案为：．
4．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【答案】（1）；（2）单价应降低15元
【解析】（1）解：设平均每年下降的百分率为
根据题意有：，，
即或
解得：，（舍）
答：平均每年下降的百分率为．
（2）设单价应降低元
据题意有：
， 即或
解得：
∵为了减少库存∴（舍）∴
答：如果每天盈利1150元，单价应降低15元
【划考点】设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。
1．某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x，可以列出方程为（ ）
A．60（1+x）2＝218 B．60（1+3x）＝218
C．60[1+（1+x）+（1+x）2]＝218 D．218（1﹣x）2＝60
【答案】C
【解析】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为，
同理可得三月份生产的零件个数为，
那么．
即：，故选：C．
2．某商品原价每盒25元，两次降价后每盒16元，则平均每次的降价百分率是（ ）
A．25% B．20% C．15% D．10%
【答案】B
【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1 x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．故选：B．
3．为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元，如果设这两个月口罩出口订单额的月平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设这两个月口罩出口订单额的月平均增长率为x。
则2020年4月的订单额为元
2020年5月的订单额为，由题意得。故答案为D
4．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年销量全球第一，销量逐年增加，2018年销量为125.6万辆，到2020年销量为130万辆，设年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．125.6（1－x）2－130 B．125.6（1＋2x）＝130
C．130（1－x）2＝125.6 D．125.6（1＋x）2＝130
【答案】D
【解析】解：设年平均增长率为x，可列方程为：125.6（1+x）2=130，故选：D．
5．“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，
∴50+50(1+x)+ 50(1+x)2=182．故选：B．
6．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，据有关部门统计，2018年末我国贫困人口还有1660万人，此后逐年下降，截至到2020年末我国贫困人口仅有551万人．若设贫困人口的年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A．551（1＋x）2＝1660 B．1660（1﹣2x）＝551
C．1660（1﹣x%）2＝551 D．1660（1﹣x）2＝551
【答案】D
【解析】解：设贫困人口的年平均下降率为x，，根据题意得：
1660（1﹣x）2＝551，故选：D．
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x，可列方程
故选：A．
8．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝240 B．100+100（1+x）2＝240
C．100+100x+100（1+x）2＝240 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝240
【答案】D
【解析】解：依题意，得：100+100(1+x)+100(1+x)2=240．故选：D．
9．近年来，我国使用移动支付的人数成逐年上升趋势．据统计2018年3月底我国使用移动支付的有6亿人左右，预计到2020年3月底将增加到8.64亿人左右，求这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率约为多少？
解：设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x．依题意，列方程得________．
【答案】
【解析】设这两年我国使用移动支付人数的年平均增长率为x
依题意得
10．前段时间，李克强总理就高血压，糖尿病的用药50%纳入报销的视频在各大网站频频报道，现有某治高血压药原来售价100元每瓶，为促进医疗改革连续两次降价后售价为81元每瓶，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．
【答案】10%
【解析】解：设每次下降的百分率为x，
依题意，得：100（1 x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故选：B．
11．某商品原售价为100元，经连续两次涨价后售价为121元，设平均每次涨价的百分率为，则_____________．
【答案】10%
【解析】解：依题意得：100（1＋x）2＝121，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（不合题意，舍去）．故答案为：10%．
12．某工厂经过两年的时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．设平均每年增长的百分率为，可得方程______．
【答案】
【解析】解：由题意可列方程为，
故答案为：．
13．某电视机制造商2021年一月份生产电视机2000台，2021年三月份生产电视机2420台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为_____________．
【答案】
【解析】解：设二，三月份每月平均增长率为x，
根据题意得：2000（1+x）2=2420．故答案为：
14．某小型快递公司去年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月、三月每月投递的快递总件数逐月递增，到三月底，这三个月投递的快递总件数为33.1万件．若设该快递公司二、三两月快递总件数的月平均增长率为，则可列出方程：_________．
【答案】10+10（1+x）+10（1+x）2=33.1
【解析】解：依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2=33.1．
故答案为：10+10（1+x）+10（1+x）2=33.1．
15．张师傅今年初开了一家药店，二月份开始盈利，二月份的盈利是6000元，四月份的盈利达到8640元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？
【答案】（1）每月盈利的平均增长率为20%；（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到10368元．
【解析】解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：6000（1+x）2＝8640．
解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去），
答：每月盈利的平均增长率为20%；
（2）8640（1+20%）＝10368（元），
答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到10368元．
16．某生产口罩的企业2019年12月盈利万元，由于新冠肺炎病毒防控的需要，2020年2月该厂盈利万元．从2019年12月到2020年2月，如果该企业每月盈利的增长率相同，求：
（1）该企业2020年1月盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的月增长率保持不变，请计算2020年3月盈利多少万元？
【答案】（1）万元；（2）万元．
【解析】解：（1）设该企业每月盈利的增长率为，
根据题意，得．解得，（舍去）．
．答：该企业2020年1月盈利万元；
（2）（万元）
答：2020年3月盈利万元．
17．今年是我国“十四五”规划的开局之年，某市积极响应祖国的“巩固脱贫成果，接续振兴乡村”的号召，确定2021年投入资金25亿元，进行乡村建设，且往后逐年加大资金投入，预计2023年投资36亿元，若今后两年平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求今后两年平均每年投资增长的百分率；
（2）如果2024年的增长率在（1）的基础上再增加五个百分点，求2024年的投资总额．
【答案】（1）今后两年平均每年投资增长的百分率为20%；（2）2024年的投资总额为45亿元．
【解析】解：（1）设今后两年平均每年投资增长的百分率为，
依题意得：，解之得，（不合题意，舍去）
答：今后两年平均每年投资增长的百分率为20%．
（2）依题意得：
答：2024年的投资总额为45亿元．
18．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2014年年底拥有家庭轿车辆，2016年年底家庭轿车的拥有量达到辆．
（1）若该小区2014年年底到2016年底家庭轿车拥有量的平均增长率都相同，求年平均增长率；
（2）按（1）中的增长率增长，该小区到2017年年底家庭轿车将达到多少辆？
（3）为了缓解停车矛盾，该小区决定投万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位元/个，露天车位元/个，考虑到实际因素，计划室内车位的数量与露天车位的比为，求该小区可建两种车位各多少个？
【答案】（1）25%；（2）125辆；（3）可建室内车位20个，露天车位50个
【解析】解：（1）设每年的平均增长率为x，根据题意得：
64（1+x）2=100，解得：x==25%，x=（舍），
∴年平均增长率为25%；
（2）100×（1+25%）=125辆，∴到2017年年底家庭轿车将达到125辆；
（3）设可建室内车位a个，露天车位b 个，
根据题意得：，解得：，
∴该小区可建室内车位20个，露天车位50个．
19．新疆棉纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．新疆宏兴棉花厂2010年棉花产值为480万元，近年来，全程机械化在该厂得到推广应用，2020年宏兴棉花厂棉花产值为1080万元，2020年的棉花产量为2010年产量的2倍，2020年该厂棉花单价比2010年单价多0.2万元/吨．
（1）求2020年宏兴棉花厂的单价为多少？
（2）2021年2月宏兴棉花厂的棉花出货量为50吨，棉花出厂价和2020年棉花单价相同，三月以来，HM，nike等公司企图肆意抹黑中国形象，对新疆棉进行抵制，这种行为激发了中国人民的爱国热情，3月该厂棉花出货量比2月增加了a%，棉花单价比2月上升了a%，4月该厂棉花出货量比2月增加了a%，棉花单价和2月份相同，这样3月和4月该厂棉花出货量总产值达到216.9万元，求a的值．
【答案】（1）1.8万元/吨；（2）20．
【解析】解：（1）设2020年宏兴棉花厂的单价为x万元/吨，则2010年单价为（x-0.2）万元/吨。由题意得：，解得x=1.8
经检验，x=1.8是分式方程的根
答：2020年宏兴棉花厂的单价为1.8万元/吨；
（2）3月份出货量：50×（1+a%），单价：1.8×（1+a%）
3月份的产值：50×（1+a%）×1.8×（1+a%）=90×（1+a%）
四月份出货量：50×（1+a%），单价：1.8
四月份产值：50×（1+a%）×1.8=90×（1+a%）
3月和4月该厂棉花出货量总产值：90×（1+a%）2+90×（1+a%）=216.9
化简为：a2+800a-16400=0，解得a=20，a=-820舍去
答：a的值为20．
20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【解析】（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
