2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第一册4.5.1、4.5.2 函数的零点与方程的解、用二分法求方程的近似解 课件（共22张）

(共22张PPT)
函数的零点与方程的解二分法
目录
CONTENTS
引入
PART 01
新课讲授
PART 02
课堂练习
PART 03
小结
PART 04
引入
PART 01
二次函数与二次方程
在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。目前为止，我们学习了一次方程和二次方程的求解，尤其是二次方程。
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程。我们知道，二次函数的图象与轴的交点有几个，对应的二次方程的实数解就有几个。
随着学习的不断深入，我们会遇到其他方程的求解。我们就会不禁的思考，二次函数与二次方程的关系能否套用到一般函数与方程。例如这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数来研究它的解的情况呢？
答案是肯定的，所以我们需要先得到一个新的概念：零点。
新课讲授
PART 02
函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。
例：函数的零点为 .
注：零点不是点，是一个值。
这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标。所以，
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点
探究
可以发现，图象若是连续不断，且穿过轴，函数必有零点。要做到这一点，需要函数在区间左右两端点的函数值异号。例如函数=在有零点，所以，同理得，由此可得到一个定理。
函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解。
我们接着利用下面的几个问题来进一步理解零点存在定理。
问题1：这个定理的前提条件有几个？
答：两个：一个是在区间内是连续不断的曲线，另一个是。
问题2：为什么是“至少有一个零点”，而不是“只有一个零点”呢？
答：因为会出现如右图的情况：
满足了零点存在定理的条件，由图可得函数
在区间内有三个零点。
函数零点存在定理
问题3：再加上什么条件就“有且只有一个零点”呢？
答：在区间内为单调函数，如图。
问题4：若函数在区间内有零点，一定能得出的结论吗？
答：不一定，反例如图。
问题5：若函数在区间连续，且满足，则在内有零点吗？
答：不一定，同理问题4的例子。
函数零点的求解
例1：（1）函数的零点是 .
（2）函数的零点是 .
解：（1）令，所以。
（2）令，得
解得，都符合条件。所以零点为。
练习：若函数的零点是，则函数的零点是 .
函数零点的个数问题
例2：方程的实数解的个数为（ ）
A.0 B. C. 2 D. 3
解：因为，则方程的实数解的个数可以转化为函数与函数的图象的交点个数。画图如下可得，交点个数为1个，所以方程的实数解的个数为1个。
练习：函数的零点个数为（ ）
A.0 B. C. 2 D. 3
B
C
函数零点所在区间问题
例3：（1）方程的实数解在以下哪个区间内？（ ）
A. B. C. D.
（2）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
解：（1）方程的实数解所在区间可转化为函数
的零点所在区间，由零点存在定理得，，，所以，则区间为。
（2）同理（1）得，，所以区间为。
练习：若是方程的解，则属于区间（ ）
A. B. C. D.
C
B
C
二分法的雏形
老师在和学生玩一个猜商品价格的游戏，由学生给出一个价格，再通过老师提示是猜高了还是猜低了，让学生不断地给出价格，直到给出的价格与实际价格相差10元内即成功。现有位学生给出1000元高了，500元低了，为了减少猜测的次数，请问下一个价格给出多少比较合理呢？
给出750元比较合理，因为无论是高了还是低了的情况都是一半一半。
思考
我们现在已经知道，函数在区间内存在一个零点，进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
答：由前面游戏的提示，我们不免就会有一个想法：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似解。为了提高效率，我们会选择通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围。
二分法的概念与步骤
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
给出精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点的初始区间，验证。
2.求区间的中点。
3.计算，并进一步确定零点所在的区间：
（1）若（此时），则就是函数的零点；
（2）若（此时），则令；
（3）若（此时），则令。
4.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值；否则重复步骤2~4。
用二分法求方程的近似解
我们现在来试着用二分法求方程的近似解。（精确度为0.01）
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度
因为0.0078125<0.01，所以方程的近似解为2.53125。
课堂练习
PART 03
大展身手
1.函数的零点为( )
A. 1,2,3 B. 1,-1,3 C. 1,-1,-3 D. 无零点
2.方程的解所在区间是( )
A. B. C. D.
3.通过下列函数的图象,判断不能用“二分法”求其零点的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
4.用二分法求方程在区间上的实数根时,则下一个有根区间是__________．
B
A
C
大展身手
5.在下列区间中,函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6.函数的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.若函数只有一个零点,则实数m的取值是______________．
8.已知函数有两个零点,则实数b的取值范围是_____________．
D
A
题6图
题8图
小结
PART 04
3
2
1
函数零点的概念
小结
函数零点存在定理
二分法
谢谢