2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念(第一课时）课件（共21张）

(共21张PPT)
1.数列的定义：
按确定的顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
2.数列的通项公式：
如果数列的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式 。
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的递推公式.
3.数列的递推公式：
复习回顾
观察下面几个的数列：
9，18，27，36，45，54，63，72，81 ①
38，40，42，44，46，48 ②
25，24，23，22，21 ③
新课导入
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律。
思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①—③的取值规律吗？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
【注意】
①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
an+1-an是不是同一个常数？
②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒了！！
③公差可以是正数，负数，也可以为0.
1. 等差数列的定义
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*）
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
（7）
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
a1=1 公差 d=
练习2 判断题
（1）数列a，2a，3a，4a，…是等差数列 （ ）
（2）数列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差数列（ ）
（3）若an－an+1=3 （n∈N*），则{an}是公差为3的等差数列（ ）
（4）若a2－a1=a3－a2， 则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+1－an （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
若an－an-1=an+2－an+1 （n≥2，n∈N*），则数列{an}是等差数列（ ）
1，2，5，6，9，10,…
练习3 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2 ，（ ） ， 4
（2）-12，（ ） ，0
3
-6
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。
2. 等差中项
由等差数列的定义可知
练习3 写出等差中项
（1）2 ，___， 4；
（2）－1 ，___， 5；
（3）a ，_______， b；
（4）0 ，___， 0.
3
2
0
若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
a2=a1+d
a3=a2+d=（a1+d ）+d=a1+2d
a4=a3+d=（a1+2d ）+d=a1+3d
…
an=an-1+d=a1+（n-1）d （n ≥ 2）
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
方法1： 由等差数列的定义可得
不完全归纳法
an+1-an=d
思考 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
∴a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3=d
…
an-an-1=d （n ≥ 2）
累加以上n-1个式子得
an-a1=（n-1）d
方法2：∵由等差数列的定义可得
累加法
又∵当n=1时，上式也成立
∴an=a1+（n-1）d
an+1-an=d
∴ an=a1+（n-1）d
若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？
首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为
练习4 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
（1）an=9+（n－1）×9=9n
（2）an=38+（n－1）×2=2n+36
（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d
3. 等差数列的通项公式
a1 、an、n、d知三求一
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点（n，an）组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
（k＋b）
k
an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）
②任给一次函数f(x)＝kx＋b（k，b为常数），则f(1)＝k＋b，
f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
思考 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
4. 等差数列与一次函数的关系
例题1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2....的第20项
解:
例题2 －401是不是等差数列 －5，－9，－13，…，的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5，d=－9－（－5）=－4，
所以数列的通项公式为an=－5－4（n－1）=－4n－1.
令－4n－1=－401，解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
练习5 在等差数列中，已知a5=10，a12=31，求首项与公差.
解：设数列的首项为a1与公差为d
由题意可知
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
解得
归纳：在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一
等差数列
思考:
an=a1 +(n-1)d
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
d=an-am /(n-m)
am=
an-am =
an =am+(n-m) d
在下列等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10
解：a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n
解：∵21=3+（n-1）×2
∴n=10
（3）已知a1=12，a6=27，求d
解： ∵a6=a1+5d，即27=12+5d
∴ d=3
（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1
解：∵a7=a1+6d 8=a1+6×（-1/3）
∴a1=10
an=a1+（n-1）d
例2. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列{}是否为等差数列？说明理由；（2）求an.
典型例题
等差数列的判定与证明
等差数列
an=a1+(n-1)d
直线上均匀排开的一群孤立的点
1定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
公差：d=an-an-1 (n≥2，n∈N*)
2通项公式:
推导公式:
an=am+(n－m)d
4图象:
课堂小结
3等差中项：a，A，b成等差数列 2A=a+b
小结
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
符号表示：an - an-1=d（n≥2，n∈N*）
3.由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项。即
2.首项a1公差d，的等差数列{an}的通项公式为
在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n，知三求一.