2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册第1章空间向量与立体几何 综合测试题册

空间向量与立体几何
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．如图所示，在大小为30°的二面角中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
2．在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当 最短时，（ ）
A． B． C． D．
3．平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A． B．5 C． D．
4．四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的坐标为（0，0，2） B．
C． D．
6．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B．3 C．4 D．5
8．已知空间三点：，，，设，，，则下列命题错误的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．是等边三角形
D．
二、多选题
9．已知正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，为底面中心，是的中点，，则（ ）
A．异面直线，所成角的余弦值为 B．
C．异面直线，所成角的余弦值为 D．
10．在边长为1正方体ABCD A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则（ ）
A．二面角A1 AC1 B的大小为90°
B．
C．直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于
D．FG⊥BC1
11．下列命题中，正确的有（ ）
A．空间任意向量都是共面向量
B．已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则
C．在四面体中，若，，则
D．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底
12．已知点是平行四边形所在平面外的一点，，，，则（ ）
A．
B．是平面的法向量
C．
D．直线与平面所成角的余弦值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．
14．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则与所成角的余弦值___________.
15．在空间直角坐标系中，已知，，点C，D，分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是___________.
16．设，，向量，，，且，，则____________．
四、解答题
17．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面DEC，且，平面ADE与平面BEC所成的锐二面角为60°.
（1）求四棱锥的体积；
（2）当四棱锥的体积大于1时，求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，．
（1）求证：；
（2）求与平面的所成角的大小．
20．如图，已知三棱锥满足DA⊥底面ABC，，，E为AD中点，.
（1）求E与F两点的距离；
（2）求异面直线EB与FD所成角的余弦值.
21．如图，在直四棱柱中，
（1）若为的中点，试在上找一点，使平面；
（2）若四边形是正方形，且与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
22．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.
空间向量与立体几何
参考答案
1．C
【分析】
利用空间向量基本定理写出向量的表达式，利用正方形的性质和二面角的定义，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】
解：因为四边形，都是边长为1的正方形，所以有，
因为四边形，都是边长为1的正方形，所以有，因为二面角大小为30°，所以有，因此
，
因为，
所以，因此有
.
故选：C.
2．C
【分析】
根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值.
【详解】
如图所示，因为，，
可得平面，直线，
当最短时，，且，
所以为的中心，为的中点，如图所示，
又由正四面体的棱长为1，所以，
因为平面，所以，
则
.
故选：C.
3．A
【分析】
由空间向量加法的几何意义，结合平行六面体中相关线段的位置关系可得，再由空间向量数量积的运算律求，进而可得的长.
【详解】
由题设，可得如下示意图，
由图知：，，
∴，
又，
∵，
∴，即.
故选：A
4．B
【分析】
取中点，连接，求出坐标，设，表示出点坐标，进而得到，结合向量夹角公式和三角函数，即可求解最值.
【详解】
如图，取中点，连接，以方向为轴，方向为轴，垂直于底面方向为轴，建立空间直角坐标系，由，可得，为等边三角形，为等腰直角三角形，故，二面角的平面角为，设，则，，则，又因为，故，，所以的最大值为.
故选：B
5．D
【分析】
根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.
【详解】
建立空间直角坐标系如图：
由题意可得，，，，
所以，.
设，则，
取，可得.
因为，，
所以平面PAB，
所以平面平面PAB，
所以，
所以.
综上所述，A，B，C错，D正确.
故选：D
6．B
【分析】
取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.
【详解】
在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
7．C
【分析】
由，可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后列式计算即可得解.
【详解】
因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行，
所以，解得，.
故选：C.
8．B
【分析】
根据空间向量的线性运算坐标表示可判断A；根据向量数量积的几何意义可得判断B；计算、、可判断C；利用数量积的坐标运算可判断D，进而可得符合题意的选项.
【详解】
，，，
所以，故选项A正确；
在方向上的投影向量等于，故选项B不正确；
，，，所以是等边三角形，故选项C正确；
，，
，
所以，故选项D正确；
所以命题错误的是选项B，
故选：B.
9．BCD
【分析】
由为正四棱锥，可知为正方形且，根据勾股定理结合得到的长度，即可得到的长，判断B选项是否正确；又因为为正四棱锥，所以平面，则、、两两垂直，在中利用勾股定理求出的长，判断D选项是否正确；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由求出异面直线，所成角的余弦值, 判断AC选项是否正确.
【详解】
正四棱锥四边形为正方形
正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍 ,故B正确；
正四棱锥 平面
以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
在中，，，，故D正确；
由题意，，， ，．
异面直线与所成角的余弦值为,故C正确；
故选：BCD
10．BC
【分析】
建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面和平面的法向量，计算得到A错误，，D错误，根据向量运算和向量夹角运算得到BC正确，得到答案.
【详解】
如图所示以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，.
设平面的法向量为，则，即，
取，得到平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，则，即
取，得到平面的一个法向量为.
，故A错误；
，B正确.
，直线FG与平面A1ACC1所成角为，
则，C正确；
，D错误.
故选：BC.
11．ACD
【分析】
利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．
【详解】
解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确
对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若
则，解得，所以B错误
对于C，在四面体中，若，，
则
，所以C正确
对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，，
使得，
即，所以也是空间的一组基底，所以D正确．
故选：ACD．
12．AD
【分析】
利用向量垂直的坐标形式可判断A的正误，求出的值可判断B的正误，求出的坐标后可判断C的正误，再求出平面的法向量后可判断D的正误.
【详解】
因为四边形为平行四边形，故.
而，
所以，故成立，故A正确.
，而，
故不成立，故B错误.
，而，故不成立，故C错误.
因为，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
设直线与平面所成角为，则，
而，故，
故选：AD.
13．
【分析】
取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值．
【详解】
取中点，中点，中点，连结、、、、、，
∵，，，，
∴平面平面，
∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，
∵，，四边形是矩形，
∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：
；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设和该截面所成角为，
则，
∴和该截面所成角的正弦值为．
故答案为；．
【点睛】
本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型．
14．
【分析】
以为一组基底，设与所成的角为,由求解.
【详解】
因为，
所以，
，
，
，
，
所以，
，
，
，
所以，
设与所成的角为,
所以.
故答案为：
15．.
【分析】
设，，根据可得，利用定义求结合二次函数求最值.
【详解】
设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即.
∵，
∴.
（当时取最小值）
故答案为：
16．
【分析】
根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.
【详解】
因为，，，且，，
所以，，可得，，
所以，，，
所以，
故答案为：.
17．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，进而求的方向向量、面的法向量，并应用坐标计算空间向量的数量积，即可证结论.
（2）求的方向向量，结合（1）中面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值.
（1）
以为原点，以，，为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
可得：，，，，，，，.
∴，，，
设为面的法向量，则，令得，
∴，即，
∴平面；
（2）
由（1）知：，为面的一个法向量，
设与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18．
（1）或
（2）
【分析】
（1）取CD的中点O，连接OE，过O作交AB于F，可证平面DEC，，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，然后算出平面、平面的法向量，利用平面ADE与平面BEC所成的锐二面角为60°建立方程求出的值，然后可算出答案；
（2）利用向量法求解即可.
（1）
因为四边形ABCD是正方形，所以.
因为平面平面DEC，平面平面，
所以平面DEC.
如图，取CD的中点O，连接OE，过O作交AB于F，故平面DEC.
又，故.
分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，.
所以，，
设平面BEC的一个法向量为，则，即
所以可取，同理可得平面ADE的一个法向量为.
，
解得或.
当时，；
当时，；
（2）
由（1）知，，.
设平面的法向量为，则令，则.
设直线EC与平面ABE所成的角为，则.
所以直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
19．
（1）证明见解析；
（2）
【分析】
（1）根据题意证明平面，进而证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
（1）
证明：因为侧棱平面，平面
所以
因为平面是正方形
所以
因为，
所以平面
因为平面
所以
（2）
由题意，底面是正方形，侧棱底面，
则以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
由于，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
设与平面的所成角为，
所以，
因为，所以
20．
（1）
（2）
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设，进而根据得，再求向量即可得答案；
（2）利用坐标法求解异面直线所成角即可.
（1）
解：以A为坐标原点，的正方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则，，，，.
设，由有，
可得，所以，
所以；
所以E与F两点的距离
（2）
解：设异面直线EB与FD成角为θ，
∵，.
∴，
∴异面直线EB与FD所成角的余弦值为.
21．
（1）点为的中点
（2）
【分析】
（1）当点为的中点时平面，连接，可得，再由棱柱的性质得到，即可得到，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量法表示出与平面所成角的正弦值，即可求出，从而求出二面角的余弦值；
（1）
解：当点为的中点时平面，
证明如下：连接，∵ 分别为 的中点，∴，
在直四棱柱中，，
∴，∵平面，平面，∴平面；
（2）
解：以为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为，，则 ，
则 ，设为平面的法向量，
则，即，令，则 ，即，
与平面所成角的余弦值为，
与平面所成角的正弦值为，且，
∴，解得，∴，
又平面的一个法向量为，
∴，
设二面角的平面角为，为锐角，则.
22．
（1）证明见解析
（2）
（3）存在，.
【分析】
（1）根据面面平行的判定及性质定理，即可得证.
（2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，，即可求得BN长，根据勾股定理，可证，如图建系，求得各点坐标，即可坐标，进而可求得平面CDM的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案.
（3）设点，即可求得E点坐标，进而可求得平面的法向量，由（1）可得平面，所以即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，列出方程，即可求得值，即可得答案.
（1）
因为为正方形，
所以，
因为，且，平面AND，平面BMC，
所以平面平面BMC，
又平面AND，
所以平面.
（2）
因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，
在中，，
所以在中，，
所以，又，
所以，
所以两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：
所以，
则，
设平面CDM的法向量，
则，令，可得，
所以一条法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
（3）
假设存在点E，设点，
所以，
所以点，则，
设平面的法向量，
则，令，可得，
所以一条法向量，
因为平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
即，解得或-1（舍），
所以，则，
所以存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时
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