2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1方程的根与函数的零点课件（20张）

(共20张PPT)
第一章 统计案例
4.5.1
函数的零点与方程的解
高一数学必修第一册 第四章 指数函数和对数函数
理解函数的零点、方程的根与图象交点
三者之间的关系;
2. 会借助函数的零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间;
能借助函数的单调性及图象判断零点的个数.
4.核心素养:直观想象、逻辑推理、数学抽象.
学习目标
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…
方 程 解 法 史 话
我的解是3和-1
我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！
一、探究新知
1.求下列方程的解
方　　程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
方程的根
函　　数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
2
-2
-4
3
-1
1
2
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
两个交点
(-1,0),(3,0)
一个交点
(1,0)
没有交点
结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.
2探究问题1):填表，观察说出表中一元二次方程的实
数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系.
方　　程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
方程的根
函　　数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
2
-2
-4
3
-1
1
2
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
4
2
3
-1
1
2
O
x
y
两个交点
(-1,0)，(3,0)
一个交点
(1,0)
没有交点
判别式Δ
Δ> 0
Δ= 0
Δ< 0
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
两个不相等的
实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x1
x2
x1
(x1,0), (x2,0)
(x1,0)
结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.
3.探究问题2):若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数
y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述
结论是否仍然成立？
结论：和上面一样，但要注意，方程的实数根就 是函数图象与x轴交点的横坐标，而不是点；因此我们可以借助求出函数与x轴的交点坐标来求一些疑难方程的根.
4探究问题3):一般函数的图象与方程根的关系会是怎样呢
画出下列函数的图象：
①. y＝3x+2,
②. y＝2x-8,
③. y=lnx+2x-6.
2).区别:
1).联系:
①数值上相等：求函数零点就是求方程的根.
②存在性相同：
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点对于函数而言，根对于方程而言．
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 x 叫
做函数y=f(x)的零点．
5.函数零点的定义
注意:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
注:零点是自变量的值，而不是一个点
-1, 4
1, - 5
1).函数f (x)=x(x2-16)的零点为( )
A. (0,0), (4,0) B. 0, 4
C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4
2).求下列函数的零点：
(1)f(x)=-x2+3x+4
(2)f(x)=lg(x2+4x-4)
D
6.巩固概念
(代数法)求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0; (3)写出零点.
1).求方程根的方法
①公式法
②求函数的零点法
2).求函数零点的方法
①代数法:求相应方程的根,得零点
②几何法：画函数图象得零点
7. 研究函数的零点的作用
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：
在区间[-2, 1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“<”或“>”）．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)=_______，f(4)=_______，
f(2)·f(4)____0（“<”或“>”）．
观察函数图象并填空:
2
-2
-4
1
O
1
-2
2
3
4
-3
-1
-1
y
x
－1
－4
5
<
3
<
-3
7
8.在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,b]上
存在零点？
观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“<”或“>”).
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“<”或“>”).
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“<”或” >”).
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
有
<
有
<
有
<
x
y
O
a
b
c
d
8.在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,b]上
存在零点？
x
y
O
x
y
O
b
a
a
b
c
c
如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
巩固定理：下列函数在相应区间内是否存在零点？
(1) f(x)=log2x, x∈[0.5, 2]；
(2) f(x)=2x·ln(x-2)-3, x∈[3, 5] ．
9.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．
x
y
O
b
a
c
x
y
O
a
b
c
x
y
O
b
a
c
x
y
O
a
b
c
例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）
9.函数零点存在定理
例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
a
b
O
x
y
画图象举反例说明：
图1
图2
图3
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1, 6]上的零点至少有（ ）个
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
C
B
1.已知函数f (x)的图象是连续不断的,有如下对应值表：
二、巩固新知
2.函数f (x)= -x 3-3x+5的零点所在的大致区间为（ ）
A. ( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0.5)
3.
例2:求方程lnx+2x- 6=0的实数解的个数.
解:设函数f(x)=lnx+2x- 6.利用计算工具列出y=f(x)的
对应值如下表，
x y
1 -4
2 -1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
f(x)=lnx+2x- 6
其图象如图
由表格和图象可知,f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，由函数零点存在定理
函数f(x)=lnx+2x- 6在区间(2,3)内至少有一个零点．
容易证明函数
f(x)=lnx+2x- 6在x ∈ (0,+∞)是增函数，所以它只有一个零点即相应的方程lnx+2x- 6=0 只有一个实数解
解法2：估算f(x)在各整数处的取值的正负：
解法3：
方程lnx+2x-6=0的实数解的个数转化为将函数 f(x) = lnx +2x-6 的零点的个数，再转化为函数 y= lnx与y=-2x +6的图象交点的个数．
y=—2x +6
y= lnx
x 1 2 3 4
f(x)
-
+
6
O
x
1
2
3
4
y
+
-
3.
例2:求方程lnx+2x- 6=0的实数解的个数.
1.函数零点与方程根的关系:
2.用函数方程思想，数形结合思想，求函数零点、
确定零点个数、求零点所在区间．
作业: 课本P155 习题4.5 2、3题
三、课堂小结
函数
方程
零点
根
数 值
存在性
个 数