-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 期末复习冲刺卷（word版含答案）

第一章 空间向量与立体几何 期末复习冲刺卷
一、单选题
1．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．在正方体中，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．将边长为的正方形及其内部)绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
5．如图在长方体中，设，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
6．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．①②
7．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．不是定值
C．三棱锥的体积为定值 D．
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
11．对于任意非零向量，，以下说法错误的有
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
12．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，G是的重心，E，F分别为上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．下列关于空间向量的命题中，
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
上述命题中，正确的有______．
14．已知正方体，给出下列四个命题：
①；②；
③与的夹角为60°；④二面角大于120°．
其中错误命题的序号是________．
15．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到，，，的距离都等于2.给出以下结论：
①；②；③；④；⑤.
其中正确结论的序号是________.
16．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，用，，表示，则________.
四、解答题
17．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，，，E为棱PA的中点，平面PCD．
（1）求AD的长；
（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范围．
19．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，，，是中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．在三棱锥中，，，.
（1）求证：；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
21．如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
（1）用，，表示；
（2）求的长.
22．如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，M，N分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值．
参考答案
1．B
【解析】因为，
所以，所以，所以 ，
解得，所以，
故选：B.
2．D
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，所以，，设直线与直线所成角为，所以
故选：D
3．B
【分析】
建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可．
【解析】解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
又点到平面的距离为1，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
故选：B．
4．B
【分析】
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【解析】选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
5．A
【分析】
利用向量加法化简，结合向量数量积运算求得正确结果.
【解析】由长方体的性质可知，
，
所以
.
故选：A
6．B
【分析】
求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确.
【解析】由，，，，2，，，2，，知：
在①中，，故①不正确；
在②中，，，，故②正确；
在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；
在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
7．A
【分析】
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果.
【解析】因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
8．C
【分析】
画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【解析】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
9．ACD
【分析】
A.易证明平面，得到面面垂直；B.转化，再求数量积；C. ,根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由平面，判断线线是否垂直.
【解析】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；
B.
，故，故B不正确；
C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；
D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型.
10．AB
【分析】
直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.
【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.
故选：AB
【点睛】
本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.
11．BD
【分析】
利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；取，且可判断B选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；求得，可判断D选项的正误.
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选：BD.
【点睛】
本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.
12．ABD
【分析】
取，以为基底表示，，，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案.
【解析】如图，设，则是空间的一个正交基底，
则，取的中点H，则，
，
，
，
∴，A正确；，B正确；，C不正确；，D正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
13．①③④
【分析】
根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.
【解析】对于①，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则向量，与空间任意向量都共面，则与必共线，即，故①正确；
对于②，若非零向量，，满足，，当非零向量，，不共面时，与可以不平行，故②不正确；
对于③，因为，所以，
所以，所以、、共面，所以，，，四点共面，故③正确；
对于④，若向量，，，是空间一组基底，则向量，，不共面，则对任意实数都有，即，
所以不共面，所以也是空间的一组基底．故④正确.
故答案为：①③④
14．③
【分析】
如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可
【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，
对于①，因为，， 所以，，所以 ，所以①正确，
对于②，因为，所以②正确，
对于③，设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，所以 ③错误，
对于④，设平面的法向量为，则
，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，由图可知二面角为钝角，设二面角的平面角为，则，所以，所以④正确，
故答案为：③
15．③④
【分析】
根据空间向量的加法运算、减法运算，空间向量的数量积定义，逐一判断可得选项.
【解析】对于①：，所以①不正确；
对于②：，所以②不正确；
对于③：，所以③正确；
对于④：因为底面是边长为1的正方形，，所以，，而，于是，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查空间向量的加法、减法运算，空间向量的数量积的定义，属于基础题.
16．
【分析】
，，作为空间向量的基底，用向量线性运算法则可得．
【解析】．
故答案为：．
【点睛】
本题考查空间向量基本定理，掌握空间向量线性运算法则是解题基础．
17．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，,由线线垂直证明线面垂直，即得证
（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；
（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解
【解析】（1）证明：以为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图
则，，，，，
∵，，，
∴，，
即，，∵，∴平面；
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，而，，
则，令，可得，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，
∴，即二面角的余弦值为；
（3），平面的法向量为，
设点到平面的距离为，
∴，即点到平面的距离为.
18．（1）4；（2）
【分析】
（1）过E作，交PD于点M，连接，根据平面PCD，得到，再结合，得到四边形BCME是平行四边形求解；
（2）易证，然后以点B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，以经过点B且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，设，求得平面CDP的一个法向量，再由平面BCP的一个法向量为，然后由求解.
【解析】（1）如图所示：
过E作，交PD于点M，连接，
因为平面PCD．平面BCME，
平面PCD平面BCME=MC，
所以，
又因为，
所以，
所以四边形BCME是平行四边形，
所以，又因为，
所以.
（2）因为，E为棱PA的中点，
所以，且 ，
所以，又因为平面平面PBC，平面平面PBC=BP，
所以平面PBC，
又因为平面PBC，
所以，
则以点B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，以经过点B且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，由题意设，
则，设平面CDP的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
易知平面BCP的一个法向量为，
则，
因为，
所以，
所以二面角的大小的取值范围是.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先通过证，，证得平面，进而可证明平面平面；
（2）先证得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，用向量法即可求解二面角的余弦值.
【解析】（1）证明：由题可得，
所以，
在题可知为等边三角形，所以，从而
因此在中，从而有，
而，满足，
从而有，
又，从而平面，
而平面，从而平面平面；
（2）由平面平面，而与两平面交线垂直，
从而有平面，
设，则，从而有平面，
因此以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，
所以平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，
则
又二面角为钝二面角，所以余弦值为.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取中点，连接，，证明平面即可；
（2）首先证明平面，然后以射线，，为，，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.
【解析】（1）取中点，连接，，因为，，
所以，，又因为，所以平面，
即.
（2）由（1）得，平面，又因为平面，
所以平面平面，
易得，，所以，即，
又因为平面平面，所以平面，
如图所示，以射线，，为，，正半轴建系，
，，，，，
，，，
设为平面一个法向量，则有，取，
设为直线与平面所成角，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据向量的加法运算用基底表示向量即可；（2）计算，展开，利用向量的数量积公式计算可求出结果.
【解析】（1）根据向量的三角形法则得到.
（2）∵
，
∴，即的长为.
22．（1）证明见详解；（2）；（3）；
【分析】
（1）由中位线性质有，根据线面平行的判定即可证结论；
（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，确定直线的方向向量与平面的法向量，即可求所成角的正弦值；
（3）求面的法向量，结合（2）的结论，即可求面与面所成角的余弦值．
【解析】（1）M，N分别为，的中点，
∴，又面，面，
∴平面；
（2）由题意，可构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，，
∴，
∴，
设面的法向量为，则，若，有，
直线与平面所成角的正弦值为，
（3）由（2）知：，则，
设面的法向量为，则，若有，而面的法向量为，
∴；