(共26张PPT)
6.2.2 反比例函数的性质
北师版 九年级上册
新知导入
2.反比例函数的图象：
1.画反比例函数图象的一般步骤：
(1)列表 (2)描点 (3)连线
当k>0时，函数的图象分布在第__________象限；
当k<0时，函数的图象分布在第__________象限.
一、三
二、四
新知导入
3.双曲线既是一个____________又是一个_______________．
对称轴有两条，分别是直线________与直线___________；
对称中心是___________，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于________对称．
轴对称图形
中心对称图形
y＝x
y＝-x
坐标原点
原点
新知讲解
观察反比例函数 的图象，你能发现它们的共同特征吗？
新知讲解
在第一、三象限内
在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
【小组讨论】
（1）上述函数图象分别位于哪几个象限内
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗
新知讲解
观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数 的图象，你能发现它们的共同特征吗？
【小组讨论】
（1）上述函数图象分别位于哪几个象限内
（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗
新知讲解
在第二、四象限内
在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
新知讲解
通过上面的探究，你能根据反比例函数的图象发现反比例函数的有关性质吗？
当k>0时,在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时,在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
一般地，反比例函数 还有以下性质：
新知讲解
【做一做】
（1）已知点(-6，y1), (-4，y2)在反比例函数 的图象上，试比较y1与y2的大小。
（2）已知点(4，y3), (6，y4)在反比例函数 的图象上，试比较y3与y4的大小。
∵k<0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，∵-6<-4，∴y1∵k>0，∴函数值y随自变量x的增大而减小，∵4<6，∴y3>y4
新知讲解
【总结】将下表填写完整。
反比例函数 图象 图象的位置 y随x的变化情况
在第一、三象限内
在第二、四象限内
当k>0时,在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时,在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
新知讲解
【探究】在一个反比例函数图象上任取两点P， Q. 过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2 . S1与S2有什么关系
O
x
y
· P
· Q
过任意一点P(x，y) 分别作x轴、y轴的垂线PM，PN
M
N
所得的矩形PMON的面积S1=PM·PN=|y|·|x|=|xy| .
∴ xy=k， ∴ S1=|k|
同理S2=|k|
∴ S1=S2
新知讲解
【总结归纳】
双曲线的几何特性：
矩形的面积：
过双曲线上任意一点P(x，y) 分别作x轴、y轴的垂线， 所得的矩形的面积S=|x| · |y| = |xy| .
，∴ xy=k， ∴ S=|k|， 即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线， 所得的矩形面积为|k|.
因为k有正、负之分，所以在利用函数表达式求矩形的面积时，都要加上绝对值符号.
课堂练习
A
课堂练习
2.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(－2，4)，下列说法正确的是( )
A．正比例函数y1的表达式是y1＝2x
B．两个函数图象的另一交点坐标为(4，－2)
C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
D．当x<－2或0D
课堂练习
D
课堂练习
C
拓展提高
5.如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数 的图象交于点A(a，4)．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D.
(1)求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
拓展提高
(2)若BD＝10，求△ACD的面积．
中考链接
6.【2020·衡阳】反比例函数 的图象经过点(2，1)，则下列说法错误的是( )
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而增大
D．当x>0时，y随x的增大而减小
C
中考链接
C
课堂总结
这节课你获得了哪些知识？
2.一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质:
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
1.反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.
课堂总结
这节课你获得了哪些知识？
3.反比例函数中k的几何性质：过双曲线 (k≠0)上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|
板书设计
课题：6.2.2 反比例函数的性质
教师板演区
学生展示区
一、反比例函数的性质
二、反比例函数中k的几何性质
作业布置
课本 P157 练习题
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北师版九年级上册数学6.2.2 反比例函数的性质教学设计
课题 6.2.2 反比例函数的性质 单元 第六单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质。2.知道反比例函数中k的几何意义,并能运用它解决与面积有关的问题。3.在熟悉反比例函数的图象和性质的基础上,能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。4.培养学生探究和解决数学问题的能力。
重点 理解并掌握反比例函数的图象和性质，探究k的几何意义，并能利用它们解决一些综合问题。
难点 学会从图象上分析、解决问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.画反比例函数图象的一般步骤：(1)列表 (2)描点 (3)连线2.反比例函数的图象：当k>0时，函数的图象分布在第一、三象限；当k<0时，函数的图象分布在第二、四象限.3.双曲线既是一个____________又是一个_______________．对称轴有两条，分别是直线________与直线___________；对称中心是___________，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于________对称．答案：轴对称图形；中心对称图形；y＝x；y＝-x；坐标原点；原点 学生思考回答问题，教师纠正答案。 通过复习上节课所学知识，为后面学习反比例函数的性质做铺垫。
讲授新课 观察反比例函数 的图像，你能发现它们的共同特征吗？【小组讨论】（1）上述函数图象分别位于哪几个象限内 答：在第一、三象限内（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗 答：在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数 的图像，你能发现它们的共同特征吗？【小组讨论】（1）上述函数图象分别位于哪几个象限内 答：在第二、四象限内（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗 答：在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.通过上面的探究，你能根据反比例函数的图像发现反比例函数的有关性质吗？一般地，反比例函数还有以下性质：当k>0时,在图像所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.当k＜0时,在图像所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.【做一做】（1）已知点(-6，y1), (-4，y2)在反比例函数 的图象上，试比较y1与y2的大小。答：∵k<0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，∵-6<-4，∴y10，∴函数值y随自变量x的增大而减小，∵4<6，∴y3>y4【总结】将下表填写完整。【探究】在一个反比例函数图象上任取两点P， Q. 过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2 . S1与S2有什么关系 过任意一点P(x，y) 分别作x轴、y轴的垂线PM，PN所得的矩形PMON的面积S1=PM·PN=|y|·|x|=|xy| . ∵ xy=k， ∴ S1=|k|同理S2=|k|∴ S1=S2【总结归纳】双曲线的几何特性：矩形的面积：过双曲线上任意一点P(x，y) 分别作x轴、y轴的垂线， 所得的矩形的面积S=|x| · |y| = |xy| . ，∴ xy=k， ∴ S=|k|， 即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线， 所得的矩形面积为|k|.因为k有正、负之分，所以在利用函数表达式求矩形的面积时，都要加上绝对值符号. 学生观察反比例函数的图象,类比正比例函数,归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。教师启发引导学生对比思考，关注反比例系数“k”的作用;并用几何画板验证归纳，加强理解。学生归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。学生利用所学知识解决问题。学生思考问题，小组内讨论。 学生类比正比例函数的学习自主探究得到反比例函数的性质，增强学习成就感，教师利用信息技术拓展所学，提升思维认识。引导学生根据已有经验猜想,使学生巩固在探究一中获得的经验和思考方法。同时, 引出对k课堂练习 1.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是( A )A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y22.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(－2，4)，下列说法正确的是( D )A．正比例函数y1的表达式是y1＝2xB．两个函数图象的另一交点坐标为(4，－2)C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大D．当x<－2或00)，得a＝2，∴点A的坐标为(2，4)．将点A(2，4)的坐标代入y＝kx，得k＝2.∴正比例函数的表达式为y＝2x.(2)若BD＝10，求△ACD的面积．解：当BD＝10，即yD＝10时，将yD＝10代入y＝2x，得xD＝5.∴OB＝5. 将x＝5代入y＝，得y＝，即BC＝.∴CD＝BD－BC＝10－＝.∴S△ACD＝×CD×(xD－xA)＝××(5－2)＝12.6.6.【2020·衡阳】反比例函数的图象经过点(2，1)，则下列说法错误的是( C )A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而减小7.【2020·兰州】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝－的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是( C )A．x1＜x2＜0 B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2 D．0＜x2＜x1 学生自主做完课堂练习，做完之后班级内交流。 借助练习，检测学生本节课的知识掌握程度。
课堂小结 这节课你获得了哪些知识？1.反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.2.一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质:当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.3.反比例函数中k的几何性质：过双曲线 (k≠0)上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|
板书 课题：6.2.2 反比例函数的性质一、反比例函数的性质二、反比例函数中k的几何性质
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