广西桂林中学2013届高三8月月考 数学理试题

桂林中学2013届高三8月月考试题（理科数学）
本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数连续，则常数的值是（ ）
Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５
2．物体运动的方程为，则当的瞬时速度为 （ ）
A．5 B. 25 C. 125 D. 625
3．随机变量服从二项分布X～，且则等于（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
4. 已知，则 （ ）
A． 　　 B． C．或 D．不存在
5．从甲袋中摸出1个红球的概率为，从乙袋中摸出1个红球的概率为，从两袋中各摸出一个球，则等于 ( )
Ａ.　2个球都不是红球的概率 Ｂ.　2个球都是红球的概率
C.　至少有1个红球的概率 　 D.　2个球中恰有1个红球的概率
6．设复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为 （ ）
A． B． C． D．
7．展开式中含项的系数为 （ ）
A. 240 B.120 C. 60 D. 15
8.下列四个命题中，不正确 的是 （ ）
A．若函数在处连续，则
B．函数的不连续点是和
C．若函数，满足，则
D．
9．用数学归纳法证明时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加了的项数是 （ ）
A． B． C． D．
10．世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到、、 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到馆，则不同的分配方案有 （ ）
A.种 B. 种 C. 种 D. 种
11.在各项均为实数的等比数列中，，则 （ ）
A. 2 B. 8 C. 16 D. 32
12.已知,则的值为（ ）。
A. B. C. D.不存在21世纪教育网
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4题，每题5分，共20分．
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0, ），若P（ξ>2）=0.023，则P（-2ξ2）
= 。
14．三棱锥A－BCD的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s＝8π，则侧棱的长＝_________________。
15．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。
16．函数的导数是 。
三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10分）（请在答题卡上答题）
（1）求的展开式中的第3项的系数.
(2) 求展开式中的常数项.
18、（本小题满分12分）（请在答题卡上答题）
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数的数学期望.
19 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、（本小题满分12分）（请在答题卡上答题）
如图，已知在直四棱柱中，，19 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、（本小题满分12分）（请在答题卡上答题）
如图，已知在直四棱柱中，，
，．
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值．
20 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、（本小题满分12分）（请在答题卡上答题）
某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为
，每件产品的售价与产量之间的关系式为
．
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．
21．（本题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．
⑴求异面直线PD与AE所成角的大小；
⑵求证：EF⊥平面PBC ；
⑶求二面角F—PC—B的大小．.
22．（本题满分12分）设函数 （a、b、c、d∈R）满足：对任意 都有，，
（1）的解析式；21世纪教育网
（2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直；
（3）设 ，证明：时，
桂林中学2013届高三8月月考(数学理科)答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D A C A B C A C B B
二、填空题
13. 0.954 14. 15. 40 16.
三、解答题：
１８.甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数的数学期望.21世纪教育网
解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：
即 或 （舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、. ┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）因为
所以= ┅┅┅┅┅┅┅12分
１９． （本题满分12分）
如图，已知在直四棱柱中，，
，．
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值．
１９． 解法一：（I）设是的中点，连结，则四边形为正方形，
．故，，，，即．……….. 2分21世纪教育网
……..3分平面， …….5分
（II）由（I）知平面，
又平面，，
取的中点, 连结，又，则．
取的中点，连结，则,.
为二面角的平面角． ………8分
连结，在中，，，
取的中点，连结，，
在中，，，． ………..10分
．
二面角的余弦值为． …..12分
解法二：（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,. ……….. 2分
，, ………..3分
又因为 所以，平面. ……..5分
（II）设为平面的一个法向量．
由，，
得 取，则． ……….7分
又，，设为平面的一个法向量，
由，，得取，则，…….9分
设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，
, ………..12分
２０、.某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为
，每件产品的售价与产量之间的关系式为
．
（Ⅰ）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；
（Ⅱ）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润．
２０. 解：(Ⅰ)总成本为．1分
所以日销售利润
(Ⅱ)①当时，
．
令，解得或．……７分
于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000；……９分
②当时，．
综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）连结BD ∵PD⊥平面ABCD，
∴平面PDB⊥平面ABCD，
过点E作EO⊥BD于O，连结AO.
则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD
.∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角…………3分
∵E是PB的中点，则O是BD的中点，且EO=PD=1.
在Rt△EOA中，AO=， .
即异面直线PD与AE所成角的大小为 …………………………… 4分
（Ⅱ）连结FO， ∵F是AD的中点， ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD，
由三垂线定理，得EF⊥AD.又∵AD∥BC，∴EF⊥BC. ………………… 6分
连结FB.可求得FB = PF =则EF⊥PB.又∵PB∩BC = B，∴EF⊥平面PBC. …………………8分
（Ⅲ）取PC的中点G，连结EG，FG.则EG是FG在平面PBC内的射影
∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC又DC⊥BC，且PD∩DC = D，
∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∵EG∥BC，则EG⊥PC∴FG⊥PC
∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角 ………………………………………10分
在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ，
∴二面角F—PC—B的大小为…12分
说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。
22．解：（I）因为，成立，所以：，
由： ，得 ，
由：，得
解之得： 从而，函数解析式为：…………4分
（2）由于，，设：任意两数 是函数图像上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：
又因为：，所以，，得：知：
故，当 是函数图像上任意两点的切线不可能垂直…………9分
（3）当： 时， 且 此时
当且仅当：即，取等号，故：…………12分
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B
C
D
A
D
E
F
B
C
P
A
E
B
C
D
A
F
M
H
z
y
x
B
C
D
A
18本小题14分）
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D
F
B
C
P
A