24.2.2 垂径分弦 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
课时2 垂径分弦
1.理解并掌握垂径定理及其推论，并能应用其解决一些简单的计算和证明问题.（重点）
2.认识垂径定理及其推论在实际问题中的应用，能解决实际问题. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
新课讲解
知识点1 圆的对称性
问题一 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O的一条直径将⊙O折叠，你发现了什么？
合作探究
O
发现：圆是轴对称图形，圆的对称轴是“直径所在的直线”或说“圆的对称轴是经过圆心的直线”
新课讲解
例
1
典例分析
下列说法：
(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称轴；
(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；
(4)圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
新课讲解
练一练
1
如图，不是轴对称图形的是（ ）
过圆内一点A可以作出几条圆的对称轴，(　　)
A．1条 B．2条 C．无数条 D．1条或无数条
2
B
D
新课讲解
知识点2 垂径定理
问题二 已知：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB，AD=BD（或AC=BC）.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新课讲解
证明：连接OA,OB,则OA=OB , △OAB为等腰三角形，
所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线， 因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交于点Q,则点 P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于直线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，AE与BE重合，点A与点B重合， AD 与BD 重合，AC与 BC重合.
因此，AE=EB，AD =BD ，AC= BC .
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
D
E
C
Q
B
新课讲解
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AE=BE，AC =BC，AD =BD.(结论)
⌒
⌒
⌒
⌒
新课讲解
问题二 AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新课讲解
垂径定理的逆定理：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，AE=BE，(条件)
∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.(结论)
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
新课讲解
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
新课讲解
例
2 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.
典例分析
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
又∵OA=5cm，
∴在Rt△OEA中，有
·
O
A
B
E
新课讲解
练一练
已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm，EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
1
2
已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE B．AE＝OE
C. D．△OCE≌△ODE
14cm或2cm
B
课堂小结
垂径定理
内容
逆定理
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径;作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
当堂小练
1.下列说法正确的是(　　)
A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线一定经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
2.如图,AB是☉O的直径,∠BAC=42°,D
是AC的中点,则∠DOC的度数是　　
48°
C
当堂小练
3.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求
半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
·
O
A
B
E
C
D
当堂小练
4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为
什 么？
O
.
A
C
D
B
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
解：AC=BD
E
D
拓展与延伸
1.如图，在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，AB＝CD，
AB不平行于CD.
求证：∠AMN＝∠CNM.
分析：由弦AB，CD的中点M，N联想到
垂径定理的推论，连接OM，ON，则可得OM⊥AB，
ON⊥CD，再结合AB＝CD可得AM＝CN，连接OA，
OC，由勾股定理易得OM＝ON，所以∠OMN＝
∠ONM，进而得出结论．
证明：如上图，连接OA，OC，OM，ON.
∵M，N分别是弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，AM＝ AB，CN＝ CD.
又∵AB＝CD，∴AM＝CN.
在Rt△AOM 和 Rt△CON中，由勾股定理得
OM＝ ，ON＝ .
又∵OA＝OC，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM.
∵∠AMN＝90°＋∠OMN，∠CNM＝90°＋
∠ONM，∴∠AMN＝∠CNM.
拓展与延伸