24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
课时3 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
1.结合图形了解圆心角的概念，掌握圆心角的相关性质.（重点）
2.能够发现圆心角、弧、弦、弦心距间关系，并会初步运用这些关系解决有关问题. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
新课导入
新课讲解
例
1
典例分析
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC
于点E，则 的度数为________．
解：连接CD，∵∠C＝90°，
∠A＝30°，∴∠B＝60°，
∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝60°
∴∠BCD＝ 60° ，
∴ 的度数为60°.
新课讲解
知识点1 圆心角
1. 圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB .
3. 圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
2. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB.
⌒
O
A
B
M
新课讲解
练一练
1
2
下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　)
如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则 所对的圆
心角等于(　　)
A．40° B．80° C．100° D．120°
B
C
新课讲解
知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.在同圆中探究
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，那么AB与CD，弦AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
⌒
⌒
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么，AB=CD，弦AB=弦CD，OE=OF
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
F
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O
A
B
C
·
O'
D
┐
E
·
┐
F
新课讲解
新课讲解
这个条件能去掉吗？为什么？
圆心角、弧、弦与弦心距的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
④OE=OF
A
B
O
D
C
E
F
新课讲解
圆心角、弧、弦与弦心距间关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
新课讲解
例
2
典例分析
已知：如图,点O是∠ A平分线上的一点， ⊙O分别 交∠ A
两边于点C，D和点 E,F. 求证：CD=EF.
证明 :过点O作OK ⊥ CD、
OK ′⊥EF,垂足分别为K，K ′ .
∵ OK = OK ′ (角平分线性质），
∴ CD =EF.
新课讲解
例
2 3 如图24-28，AB，CD为⊙O的两条直径，CE为⊙O的弦，且
CE // AB,CE 为40°，求∠ BOD的度数.
⌒
解:连接OE.
∵ 为 40 °，∴ ∠ COE =40°
∵ OC = OE
∴ ∠ C = = 70°
∵ CE // AB,∴ ∠ AOD = ∠ C = 70°
∴ ∠ BOD = 180°-70° = 110°
新课讲解
练一练
1
已知：如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上.
求证： ∠ AOB= ∠ BOC = ∠ COA =120°.
证明：连接OA，OB，OC，如图.
∵ AB=BC=CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
A
B
C
O
课堂小结
圆心角
弦、弧、圆心角
的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弦
相等
弧
相等
弦心距
相等
当堂小练
1. 如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2. 在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则 AB 与CD
的关系是（ ）
⌒ ⌒
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB >CD
⌒ ⌒
C. AB ⌒ ⌒
D. 不能确定
D
D
当堂小练
3.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，
若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为(　　)
A．5π cm
B．6π cm
C．9π cm
D．8π cm
D
D
拓展与延伸
1.如图,AB是☉O的直径,点C在☉上,∠AOC=40°,D是BC的中点,求
∠OCD的度数.
解:连接OD.
∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,
∴∠BOC=140°.
∵D是BC的中点，
∴∠COD=∠BOD= ∠BOC=70°，
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC= (180°-∠COD)=55°
⌒