24.2.4 圆的确定 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
课时4 圆的确定
1.理解并掌握确定圆的条件.
2.理解三角形的外接圆，三角形外心的概念，能够运用其性质进行计算. （重点）
3.理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题.（难点）
学习目标
新课导入
情境导入
破镜如何重圆？
有一天家里的圆形玻璃镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形镜片，带到商店去的一块镜子碎片应该是哪一块？
新课讲解
知识点1 圆的确定
合作探究
问题一 经过一个已知点A能确定一个圆吗
A
●O1
●O2
●O3
●O5
●O4
因为圆心不定，
所以半径也就不定，
所以可以作无数个圆
新课讲解
问题二 经过两个已知点A，B能确定一个圆吗
●
O
O
●
●
O
●
O
A
B
无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新课讲解
问题三 过不在同一直线上的三点A,B,C能不能确定一个圆
作法：
连接AB，BC，如图.
分别作线段AB，BC的垂直平分线，设它们交于点O.
以点O为圆心、OA为半径作圆.
则⊙O即为所作.
●
B
●A
● O
┓
┏
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
●
C
新课讲解
例
1 如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
典例分析
解：如图②：
(1)在圆轮所在的圆弧上任取三
点A，B，C，并连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线
DE，FG，DE，FG相交于点O；
(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O就是圆轮所在的圆
新课讲解
练一练
1
2
如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，
过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
B
新课讲解
知识点2 三角形的外接圆
1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆
⊙O叫做△ABC的 ， △ABC叫做⊙O的
.
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形的外心：
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：
三角形三边中垂线的交点.
性质：
定义：
●O
A
B
C
外心
内接三角形
新课讲解
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
锐角三角形：内部
直角三角形：
斜边中点
钝角三角形：外部
新课讲解
例
2
典例分析
如图，在△ABC中，BC＝ cm，AB＝AC，∠BAC＝120°.　
(1)尺规作图：作△ABC的外接圆(只需作出图形，并
保留作图痕迹)；
(2)求它的外接圆半径．
解：(1)如图，⊙P即
为所求作的圆．
解：
(2)如上图，连接PC.设AP与BC交于点M，
∵BC＝6 cm，
AB＝AC，∠BAC＝120°，BC⊥AP，
∴∠CAP＝60°，BM＝MC＝3 cm，
又∵PA＝PC，
∴△APC是等边三角形，∠MPC＝60°.
∵在Rt△MPC中，
sin ∠MPC＝sin 60°＝
∴PC＝ ＝6(cm)．
∴它的外接圆半径为6 cm.
新课讲解
新课讲解
练一练
1
如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE 交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　　)
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
B
新课讲解
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，
点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则△ABC
的外心坐标应是(　　)
A．(0，0)　
B．(1，0)　
C．(－2，－1)
D．(2，0)
C
新课讲解
知识点03 反证法
问题一 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
A
B
C
如图，假设经过直线l上的三点A、B、C可以作圆，设这个圆的圆心为O，
由OA=OB，点O在AB的垂直平分线l1上；
由OB=OC，点O在BC的垂直平分线l2上；
因为，AB和BC都在直线l上
这样，经过点O便有两条直线l1，l2都垂直于直线l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
所以，假设错误，过同一条直线上的三点不能作圆．
新课讲解
l1
l2
A
B
C
O
新课讲解
上面的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法．
①反设：假设命题的结论不成立；
②推理：从①中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、
定义、基本事实、定理等中任一相矛盾的结果；
③结论：由矛盾的结果判定①中的“反设”不成立，从而肯定命
题的结论成立.
反证法的一般步骤：
新课讲解
例
典例分析
3 已知：如图,直线AB//直线CD，直线EF分别交 AB, CD 于
点O1，O2. 求证： ∠EO1B＝∠EO2D
A
B
C
D
E
F
O1
O2
A'
B'
新课讲解
证明：假设∠EO1B≠∠EO2D ，
过点O1作直线A ' B ' ，使 ∠EO1B ' ＝∠EO2D.
根据“同位角相等，两直线平行”，得A' B ' //CD.
这样，过点O1就有两条直线AB ， A ' B '平行于直线
CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条
直线平行”相矛盾，
即∠EO1B≠∠EO2D的假设不成立，
所以∠EO1B＝∠EO2D.
课堂小结
圆的确定
圆的确定
三角形的外接圆
反证法
不在同一直线上的三个点确定一个圆
外接圆
外心
内接三角形
三角形外心的到三角形的三个顶点距离相等
反设
推理
正轮
当堂小练
1.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是(　　)
A.三个点一定能确定一个圆
B.以已知线段为半径能确定一个圆
C.以已知线段为直径能确定一个圆
D.菱形的四个顶点能确定一个圆
2.等腰三角形底边上的高与一腰的垂直平分线的交点是（ ）
A.重心 B.垂心 C.外心 D.无法确定.
D
C
当堂小练
3. 用反证法证明：一个圆只有一个圆心．
证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，
在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，
连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，
过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，
O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，
故一个圆只有一个圆心．
D
拓展与延伸
1. 小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,
如图,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,
保留作图痕迹);
(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,
试求小明家圆形花坛的面积.
解:(1)如图所示,☉O就是花坛的位置
(2)∵∠BAC=90°,
∴BC是☉O的直径.
∵AB=8米,AC=6米,
∴BC=10米,
∴△ABC外接圆的半径为5米,
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
拓展与延伸