广西桂林中学2013届高三10月月考 数学理试题

桂林中学2013届高三10月份月考试题（理科数学）
本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间：120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本题共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i是虚数单位,则= （　 ）
A．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i
2、已知全集,集合,则为（　　）
A． B． C． D．
3 、 设α是第二象限角,为其终边上的一点,且,则=（ ）
A. B. C. D.
4、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若； ②若
③若； ④若.
其中正确命题的个数是 21世纪教育网 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5、． 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当
时，的表达式为 ( )
A． B．
C． D．
6．函数的定义域是 ( )
(-) B. C. (2,+) D. [1,+)[21世纪教育网]
7、 长方体ABCD—ABC1D1中，，则点到直线AC的距离是 ( )
A．3 B． C． D．4
8、. 已知函数，若对任意都有，则有（ ）
A. B.
C. D.
9.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知双曲线上一点P到两焦点的距离之差为2，则该双曲线的离心率是( )21世纪教育网
A．2 B． C． D．
11、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 （ ）
A. B. C. D.
12.已知函数是减函数，那么的取值范围是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4题，每题5分，共20分．）
在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝
14 函数的单调递增区间为____________________. 21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
15、直线：与圆M：相切，则的值为
16、若函数图像在点（1，1）处的切线为在x轴，y轴上的截距分别为，则数列的最大项为
三、解答题：（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡上答题）
17（本小题满分10分）
（10分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的取值范围.
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[来源:21世纪教育网]
18、（本小题满分12分）
设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
19 （本小题满分12分）
已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1)求f(9)，f(27)的值；
(2)解不等式：f(x)＋f(x－8)<2.
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20、（本小题满分12分）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小. 21世纪教育网
21. （本小题满分12分）已知等差数列满足：.
（1）求的通项公式；
（2）若()，求数列的前n项和.
22. （本题满分12分）设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。21世纪教育网21世纪教育网
（1）求的值;
（2）证明：当时，.[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
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桂林中学2013届高三10月月考(数学理科)答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1221世纪教育网
答案 D C D A C C A A A C B C
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二、填空题
13. 88 14. 15. 1或 16. 16
三、解答题：
17.解：（1）因为
, 所以函数的最小正周期为. 4分
（2）. 当时，，6分
当时，， 8分
所以当，即时，；21世纪教育网
当，即时，
；故函数的取值范围是. 10分
18、（12分）设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B A，求实数a的取值范围．
．解　∵A＝{0，－4}，∴B A 2分
分以下三种情况：
(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得解得a＝1. 5分
(2)当 ≠B?A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意． 8分
(3)当B＝ 时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1. 11分
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 12分
19 （12分）已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1)求f(9)，f(27)的值；
(2)解不等式：f(x)＋f(x－8)<2.
[解答] (1)f(9)＝f(3)＋f(3)＝2， f(27)＝f(9)＋f(3)＝3. 6分
(2)∵f(x)＋f(x－8)＝f[x(x－8)]又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴解得8即原不等式的解集为{x|820.（12分）已知等差数列满足：.
（1）求的通项公式；
（2）若()，求数列的前n项和.
20. （理）解：（1）设的首项为，公差为，则21世纪教育网
由得 …………2分
解得
所以的通项公式 …………5分
（2）由得. …………7分
①当时，
；…………10分
② 当时，，得；
所以数列的前n项和…………12分
21、（12分）直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小. 21世纪教育网
21 .解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形.
由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC ，
所以DC1⊥DC. 2分
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
BC 平面BCD，故DC1⊥BC. 5分
（2）由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直.
两相互垂直.
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2). 7分
则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1).
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即可取n＝(1,1,0).
同理，设m是平面C1BD的法向量，则可得m＝(1,2,1). 10分
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°. 12分
22.（22分）设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。
（1）求的值;
（2）证明：当时，.
22. 解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1. ………21世纪教育网………2分
由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，
又，得a＝0. …………………………5分
（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.……7分
记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－
＜－＝. …………………………9分
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.
于是当0＜x＜2时，f(x)<. …………………………12分
(证法二)
由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.
由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.①
令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝＜0，
故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②
由①②得，当x＞0时，f(x)＜x.
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
＜x＋(x＋6)－9
＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]
<[3x(x＋1)＋(x＋6)－18(x＋1)]
＝(7x－18)＜0.
因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)＜0，即f(x)＜. 21世纪教育网