24.3.1 圆周角定理及推论 课件（共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 24.3.1 圆周角定理及推论 课件（共22张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 350.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 19:31:12 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第24章 圆
24.3 圆周角
课时1 圆周角定理及推论
1.识别圆周角，了解圆周角与圆心角的关系.（重点）
2.能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
新课讲解
知识点1 圆周角及其定理
像∠A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.
O
A
B
C
新课讲解
(1) 圆心O在∠BAC的一边上
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
新课讲解
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
(2) 圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
新课讲解
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
D
O
A
B
D
(3) 圆心O在∠BAC的外部
新课讲解
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
∠ABC= ∠AOC
新课讲解
例
典例分析
1 如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．
解：∵∠AOC＝150°，
∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°
－150°＝210°，
新课讲解
∴∠ADC＝ ∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC 相 等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．
新课讲解
练一练
1
下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( )
A．25°B．30° C．40°D．50°
2
C
D
新课讲解
知识点2 圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
O
A1
A2
A3
A
C
B
D
A
B
O
C
E
F
半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
O
A
C1
C2
C3
B
新课讲解
例
典例分析
2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC =70°，求∠APC的度数.
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD
=90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC
=30°+70°=100°.
. O
A
D
C
P
B
新课讲解
练一练
如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于( )
A．64° B．58° C．72° D．55°
1
2
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，
若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75° B．60° C. 45° D．30°
A
D
课堂小结
圆
周
角
定义
定理
推论
1.顶点在圆上；
2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
当堂小练
1.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求
∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B= ∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
当堂小练
2 .如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
B
当堂小练
3.如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，
AC＝ (1)求∠BAC的度数；
(2)求⊙O的周长．
分析：(1)观察图形发现∠BAC与∠BDC为
同弧所对的圆周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；
(2)要求圆的周长，必须先求出半径，可利用垂径
定理，即连接OA，作OE⊥AC于点E，构造直
角三角形求出半径．
当堂小练
解： (1)在⊙O中，∠BDC与∠BAC均为 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
(2)∵∠ACB＝60°，又由(1)知∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．连接OA，作OE⊥AC于点
E，如图.
∵OE⊥AC，AC＝ cm，∴AE＝ cm.
在Rt△AOE中，∠AOE＝∠ABC＝60°，
∴∠OAE＝30°，∴OE＝ OA，
又∵OE2＋AE2＝OA2，∴OA＝2 cm，
∴⊙O的周长为2π×2＝4π(cm)．
D
拓展与延伸
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC＝3，sinP＝ ，求⊙O的直径．
(1)证明：∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BCD＝∠P.
又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.
(2)解：如图，连接AC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，∴
∴∠P＝∠CAB，
∴sin∠CAB＝ ，即
又∵BC＝3，
∴AB＝5，∴⊙O的直径为5.
拓展与延伸
第24章 圆
24.3 圆周角
课时1 圆周角定理及推论
1.识别圆周角，了解圆周角与圆心角的关系.（重点）
2.能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明. （难点）
学习目标
新课导入
情境导入
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC,仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
新课讲解
知识点1 圆周角及其定理
像∠A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.
O
A
B
C
新课讲解
(1) 圆心O在∠BAC的一边上
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
新课讲解
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
(2) 圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
新课讲解
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
D
O
A
B
D
(3) 圆心O在∠BAC的外部
新课讲解
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
∠ABC= ∠AOC
新课讲解
例
典例分析
1 如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．
解：∵∠AOC＝150°，
∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°
－150°＝210°，
新课讲解
∴∠ADC＝ ∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC 相 等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．
新课讲解
练一练
1
下列四个图中，∠x为圆周角的是( )
如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( )
A．25°B．30° C．40°D．50°
2
C
D
新课讲解
知识点2 圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
O
A1
A2
A3
A
C
B
D
A
B
O
C
E
F
半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
O
A
C1
C2
C3
B
新课讲解
例
典例分析
2 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD = 60°，∠ADC =70°，求∠APC的度数.
解：连接BC，如图，则∠ACB=90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD
=90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC
=30°+70°=100°.
. O
A
D
C
P
B
新课讲解
练一练
如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于( )
A．64° B．58° C．72° D．55°
1
2
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，
若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．75° B．60° C. 45° D．30°
A
D
课堂小结
圆
周
角
定义
定理
推论
1.顶点在圆上；
2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
当堂小练
1.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求
∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B.
又∵∠B= ∠AOC=39°.
∴∠DAB=39°.
当堂小练
2 .如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
B
当堂小练
3.如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，
AC＝ (1)求∠BAC的度数；
(2)求⊙O的周长．
分析：(1)观察图形发现∠BAC与∠BDC为
同弧所对的圆周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；
(2)要求圆的周长，必须先求出半径，可利用垂径
定理，即连接OA，作OE⊥AC于点E，构造直
角三角形求出半径．
当堂小练
解： (1)在⊙O中，∠BDC与∠BAC均为 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
(2)∵∠ACB＝60°，又由(1)知∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．连接OA，作OE⊥AC于点
E，如图.
∵OE⊥AC，AC＝ cm，∴AE＝ cm.
在Rt△AOE中，∠AOE＝∠ABC＝60°，
∴∠OAE＝30°，∴OE＝ OA，
又∵OE2＋AE2＝OA2，∴OA＝2 cm，
∴⊙O的周长为2π×2＝4π(cm)．
D
拓展与延伸
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC＝3，sinP＝ ，求⊙O的直径．
(1)证明：∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BCD＝∠P.
又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠P，∴CB∥PD.
(2)解：如图，连接AC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，∴
∴∠P＝∠CAB，
∴sin∠CAB＝ ，即
又∵BC＝3，
∴AB＝5，∴⊙O的直径为5.
拓展与延伸