24.3.2 圆内接四边形 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
第24章 圆
24.3 圆周角
课时2 圆内接四边形
1.理解圆内接多边形的概念.
2.掌握圆内接四边形的性质，并能够运用其进行简单的计算与证明. （重难点）
学习目标
新课导入
情境导入
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
O
A
C
B
D
E
O
A
C
B
D
α
β
新课讲解
知识点1 圆内接四边形的概念和性质
合作探究
问题一 如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. ∠A 与∠C，∠B 与∠D之间:有什么关系？如图，延长DC 到E，∠A 与∠BCE有什么关系？
∠A + ∠C =180 ，
∠B + ∠D =180 .
∠A =∠BCE
O
A
C
B
D
E
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
新课讲解
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任
何一个外角都等于它的内对角.
新课讲解
例
典例分析
1 在圆内接四边形ABCD中， ∠A、 ∠B、 ∠C的度数之比是2:3:6,求这个四边形各角的度数.
解：设∠A、 ∠B、 ∠C的度数分别等于2x°、3x°、6x°.
∵四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠A+ ∠C = ∠B+ ∠D =180°.
∵2x+6x=180, ∴x=22.5.
∴ ∠A=45°, ∠B=67.5°, ∠C=135°,
∠D=180° － 67.5°=112.5°.
新课讲解
例
2 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
新课讲解
练一练
1
2
下列说法正确的是(　　)
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
下列多边形中一定有外接圆的是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
B
A
新课讲解
3
如图所示，P是等边三角形ABC外接圆的弧BC上一点，CP
的延长线和AB的延长线相交于D点，连接BP.
求证：(1)∠D＝∠CBP；
(2)AC2＝CP·CD.
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°.
∴∠DBC＝180°－∠ABC＝120°.
∵四边形ABPC为圆内接四边形，
∴∠A＋∠BPC＝180°.∴∠BPC＝120°.
∴∠DBC＝∠BPC.
又∵∠BCP＝∠DCB，∴△BPC∽△DBC.∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BPC∽△DBC，∴ .又∵在等边三角
形ABC中，AC＝BC，∴AC2＝CP·CD.
新课讲解
课堂小结
一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
圆内接四边形
定义
定理
当堂小练
1 圆内接四边形ABCD中，若∠A＝70°，则∠C 等于(　　)
A．20° B．30° C．70° D．110°
2 下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
B
当堂小练
3.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
90
4.如图,圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E,F,若∠A=55°,∠E=30°,则∠F=　　°.
40
3. 如图,四边形ABCD内接于☉O,∠DAE是四边形ABCD的一个外角,且AD平分∠CAE.求证:DB=DC.
证明:∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角,
∴∠DAC=∠DBC.
∵AD平分∠CAE,∴∠EAD=∠DAC,
∴∠EAD=∠DBC.
∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠EAD=∠BCD,∠DBC=∠BCD,
∴DB=DC.
当堂小练
D
拓展与延伸
7. 已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C、点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E、点F.若CD∥EF，
求证：四边形CEFD是平行四边形
拓展与延伸
证明：连接AB，如图.
∵四边形ABEC是⊙O1
的内接四边形，
∴∠BAD＝∠E.
又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠BAD＋∠F＝180°，∴∠E＋∠F＝180°.
∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，∴四边形CEFD是平行四边形．