24.4.1-24.4.2直线与圆的位置关系&切线的性质与判定 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
课时1 直线与圆的位置关系
切线长性质与判定
1.理解直线和圆的三种位置关系的定义．
2.掌握用数量关系判定直线和圆的位置关系的方法.（重点）
3.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质；能够运用切线的判定方法证明直线是圆的切线.（难点）
学习目标
新课导入
情境导入
你看过日出吗，如图是海上日出的一组图片，如果把海平面看做一条直线，太阳看做一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系呢？
新课讲解
知识点1 直线与圆的位置关系
(2) 如果直线与圆只有一个公共点，
这时直线与圆的位置关系叫做
相切，这条直线叫做圆的切线，
这个公共点叫做切点.
(3) 如果直线与圆没有公共点，这时
直线与圆的位置关系叫做相离.
O
O
O
(1) 如果直线与圆有两个公共点，这时直线
与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫
做圆的割线.
新课导入
d>r 直线l与⊙O相离
d=r 直线l与⊙O相切
dr
r
r
新课讲解
例
典例分析
1 如图 , Rt△ABC 的斜边 AB= 10 cm，∠A =30°.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C 相切？
(2)以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个
圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
A
C
B
┐
新课讲解
A
C
B
┐
D
解：（1）过点C作边AB上的高CD.
∵∠A=30°，AB=10cm，
当半径为 时，AB与☉C相切.
∴∠B=60°，
在Rt△BCD中，有
当r =4cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r =5cm时，d＜r，⊙C与AB相交.
（2）由 (1) 可知圆心 C 到 AB 的距离
新课讲解
练一练
1
2
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(　　)
A．相交　　 B．相切　　
C．相离　　 D．不能确定
A
如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为(　　)
A．2.3 B．2.4
C．2.5 D．2.6
B
新课讲解
知识点2 切线的性质
切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
A
l
O
r
┐
切线的性质（归纳）：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)圆心到切线的距离等于半径；
(3)圆的切线垂直于过切点的半径．
新课讲解
例
典例分析
2 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2，
∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径，
因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥AP，
又∠APO＝30°，OP＝2，
所以OA＝ OP＝1，即⊙O的半径为1.
新课讲解
练一练
1
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(　　)
A．25°
B．40°
C．50°
D．65°
B
新课讲解
2
如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于
点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为(　　)
A．70°
B．35°
C．20°
D．40°
D
新课讲解
3
如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半
圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E.
求证：PD＝PE.
分析：要证PD＝PE，需证∠PDE
＝∠PED，而题目缺少直
接证明这两个角相等的条件，因此
需证其余角相等，所以要构造出它们
的余角的基本图形，需作出相应的辅助线．
证明：如图，连接OC，OD.
∵PD为⊙O的切线，
且C为半圆ACB的中点，
∴OD⊥PD，OC⊥AB.
∴∠PDE＝∠PDO－∠ODE＝90°－∠ODE，
∠PED＝∠CEO＝90°－∠C.
又∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODE，
∴∠PDE＝∠PED. ∴PD＝PE.
新课讲解
新课讲解
知识点3 切线的判定定理
问题一 已知⊙O上一点P，怎样根据圆的切线定义过点 P作⊙O的切线？
作法：1. 连接OP.
2. 过点 P 作直线 l⊥OP.
则直线 l 即为所作.
P
l
O
合作探究
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理：
应用格式
OA为⊙O的半径
l ⊥ OA于A
l为⊙O的切线
A
l
O
新课讲解
新课讲解
切线的判定方法有三种：
①定义法：直线与圆有唯一公共点；
②数量法：圆心到直线的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条
半径的直线是圆的切线.
l
l
r
d
A
l
O
新课讲解
1 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线 上，
BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．
例
典例分析
新课讲解
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，
∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．
新课讲解
练一练
1
2
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝ 30°，
以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB ＝
_____cm时，BC与⊙A相切．
如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的
延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB
＝30°. 求证：DC是⊙O的切线．
6
分析：因为点C在圆上，所以连接OC，
证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD，
只需证△OCD为直角三角形．
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．
新课讲解
课堂小结
（d< r）
（d= r）
（d> r）
直线与圆没有公共点
直线与圆有唯一公共点
直线与圆有两个公共点
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
切线的
性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
见切线，连切点，得垂直.
课堂小结
切线的
判定方法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
定义法
课堂小结
当堂小练
1.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆
心的圆与AB相切,则☉C的半径为(　　)
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
B
2. 如图,△ABC的边AC与☉O相交于点D,C,且经过圆心O,边AB与
☉O相切,切点为B.如果∠C=28°,那么∠A的度数为　　.
34o
当堂小练
3. 如图,已知AB为☉O的直径,CD,CB为☉O
的两条切线,切点分别为D,B,连接AD.
求证:AD//OC.
证明:如图,连接OD.
∵CD,CB为☉O的两条切线,
∴OD⊥CD,OB⊥CB,
∴∠ODC=∠OBC=90°.
又∵OD=OB,OC=OC,
∴Rt△COD≌Rt△COB,
∴∠BOD=2∠BOC.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠A.
∵AB为☉O的直径,∠BOD是△AOD的外角,
∴∠BOD=∠ODA+∠A=2∠A.
∴∠BOC=∠A,
∴AD//OC.
当堂小练
当堂小练
4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作
OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的
延长线于点E. 求证：DE是⊙O的切线．
分析:连接OC，已知DA是⊙O的切线，则∠DAO＝90°，要证∠DCO＝90°，只需证明△DAO与△DCO全等即可．
当堂小练
证明：如图，连接OC.
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，∴∠DAB＝90°.
∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵OC＝OB，∴∠2＝∠4.∴∠1＝∠3.
在△COD和△AOD中，
∴∠OCD＝∠DAB＝90°，即OC⊥DE于点C.
∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
D
拓展与延伸
1.如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于E，过点D的切线MN
直线AB于M，交直线AC于N，连接DB，CD.
(1)求证：AE·DE＝BE·CE；
(2)若MN∥BC，试探究BD与CD之间的数量关系；
(3)在(2)的条件下，已知AB＝6，AN＝15，求AD的长．
拓展与延伸
(1)证明：∵∠ABC＝∠ADC，∠1＝∠3，
∴△ABE∽△CDE, ∴ ，
∴AE·DE＝BE·CE.　
(2)解：连接OD，如图，
∵MN切⊙O于点D，
∴OD⊥MN，
∵MN∥BC，∴OD⊥BC，
∴在⊙O中， ，∴BD＝CD.
拓展与延伸
(3)解：∵BC∥MN，∴∠4＝∠ANM.
又∵∠4＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AND.
由(2)知 ，
∴∠1＝∠2.∴△ADB∽△AND.
∴ ，
即